复杂的三视图问题-玩转压轴题,(原卷版)

一．方法综述
三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.
还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．解题时一定耐心加细心，观察准确线与线的位置关系，区分好实线和虚线的不同. 根据几何体的三视图确定直观图的方法： （1）三视图为三个三角形，对应三棱锥；
（2）三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥； （3）三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥； （4）三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥； （5）三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱.
对于几何体的三视图是多边形的，可构造长方体（正方体），在长方体（正方体）中去截得几何体.
二．解题策略
类型一 构造正方体（长方体）求解
【例1】某几何体的三视图如图所示，关于该几何体有下述四个结论：①体积可能是56；②体积可能是2
3
；③AB 和CD 在直观图中所对应的棱所成的角为3
；④在该几何体的面中，互相平行的面可能有四对；其中所有正确结论的编号是（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．①②③④
【来源】河南省开封市2021届高三三模文科数学试题
专题4.1 复杂的三视图问题
【答案】D
【举一反三】
1．（2020·江西高三）某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）
A．9B．9
2
C．6D．3
2、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A.1
6
B.
1
3
C.
1
2
D.1
3．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．14
类型二 旋转体与多面体组合体的三视图
【例2】（2020·内蒙古高三）如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（ ）
A ．620π+
B ．916π+
C ．918π+
D ．20
63
π+
【举一反三】一个四棱柱被截去一个半圆柱后剩余部分的三视图如图，则截去部分与剩余几何体的体积比为（ ）
A ．18π
π
- B ．
318π
π-
C ．
12π
π
-
D ．312ππ
-
类型三 与三视图相关的外接与内切问题
【例3】（2020·辽宁鞍山一中高三月考）已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积是（ ）
A．20πB．101
5
π
C．25πD．22π
【举一反三】
1．（2020·四川成都七中高考模拟）某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（）
A．
6
18π
B．
6
9π
C．
6
3π
D．
1
3π
2.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为
A ．30
B ．41
C ．30
D ．64
【来源】甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试（一）数学（文）试题 3．（2020·山西高三）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）
A ．11π
B ．12π
C ．13π
D ．14π
类型四 与三视图相关的最值问题
【例4】（2020·武邑宏达学校高考模拟（理））已知在直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ∠=︒，
12AB AC AA ===，若棱1AA 在正视图的投影面α内，且AB 与投影面α所成角为(3060)θθ︒≤≤︒.设
正视图的面积为m ，侧视图的面积为n ，当θ变化时，mn 的最大值是__________．
【举一反三】
1.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a+b 的最大值为 （A ）22 （B ）23 （C ）4 （D ）25
2、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为（ ）
A.32 732.B C.64 764.D
3．（2020·西安市长安区第五中学高三（理））如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（）
A．8 B．4
C．42D．43
三．强化训练
1．（2020·福建高三）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，某商鞅铜方升模型的三视图，如图所示(单位：寸)，若 取3，则该模型的体积（单位：立方寸）为（）
A．11.9 B．12.6 C．13.8 D．16.2
2．（2020·北京人大附中高三）已知某多面体的三视图如图所示，则在该多面体的距离最大的两个面中，两个顶点距离的最大值为（）
A．2 B5C6D．2
3．（2020·北京市十一学校高三）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为
A．4
3
B．4C．
42
3
D．42
4．（2020·湖南雅礼中学高三月考（理））一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（）
A．168 B．98 C．108 D．88
5．（2020·重庆一中高三月考（理））如图的虚线网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图.在该几何体的直观图中，直线AB与CD所成角的余弦值为（）
A．1
5
B．
2
5
C
5
D
25
6．（2020·江西高三）半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二
十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．8
3
B．4C．
16
3
D．
20
3
7.（2020·江西高三期末（理））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）
A．B．C．D．
8.（2020合肥市高三）我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为
A． B．40 C． D．
9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
A． B． C． D．
10．榫卯（sǔnmǎo）是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为（）
A． B． C． D．
11．如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）
A ．3682+
B ．3282+
C ．3242+
D ．3642+
【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（六）理科数学试题
12．（2020·安徽高三月考）一副三角板由一块有一个内角为60︒的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，1AB =，60A ∠=︒，90B F ∠=∠=︒，BC DE =.现将两块三角板拼接在一起，使得二面角
F BC A --为直二面角，则三棱锥F ABC -的外接球表面积为（ ）
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．π
13．已知正方体1111ABCD A B C D -（如图1），点P 在侧面11CDD C 内（包括边界）.若三棱锥1B ABP -的俯视图为等腰直角三角形（如图2），则此三棱锥的左视图不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】北京市海淀区2021届高三二模数学试题
14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是某几何体的三视图，则该几何体的各个面中最大面积为（）
A．6 B22C．32D13
【来源】贵州省普通高等学校招生2021届高三适应性测试（3月）数学（文）试题
15．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）
A．3πB．23πC．43πD．12π【来源】四川省泸州市泸县第五中学2021届高三高考数学（文）一诊试题16．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．1
2
B．
3
2
C．1D．33
17．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体内切球的表面积（单位：2
cm）是（）
A ．9π16
B ．9π4
C ．1π4
D ．9π2
【来源】安徽省江淮十校2021届高三下学期4月第三次质量检测理科数学试题
18．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面中，最大的面积为（ ）
A ．2
B ．22
C ．23
D ．42
【来源】安徽省五校联盟2021届高三下学期第二次联考理科数学试题
19．如图，正四棱锥P ABCD -的高为12，62AB =，E ，F 分别为PA ，PC 的中点，过点B ，E ，F 的截面交PD 于点M ，截面EBFM 将四棱锥分成上下两个部分，规定BD 为主视图方向，则几何体CDAB FME -的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】江西省南昌市2021届高三二模数学（理）试题
20．三棱柱被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．20
3
B．6 C．52D
162
【来源】景德镇市2021届高三第三次质检数学（理）试题21．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A ．246π-
B ．86π-
C ．246π+
D ．86π+
【来源】河南省六市2021届高三第二次联考（二模）数学（文科）试题
22．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．2
B ．4
C ．163
D ．223
23．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（）
A．5B．2 C．3D．2
24．某几何体的三规图如图所示. 则其外接球的表面积为（）
A．80
3
π
B．
136
9
π
C．
544
9
π
D．
48
3
π
【来源】百师联盟2020-2021学年高三下学期开年摸底联考考理科数学试卷（全国Ⅰ卷）25．已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为（）
A．3
2
π
B．
82
3
π
C．
83
3
π
D．8π
26．（2020·湖北高三期末（理））中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器.下图是古代的一种度量工具“斗”（无盖，不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯形），则此“斗”的体积为（单位：立方厘米）
27．（2020·陕西高三（理））某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为10
3
，则棱长为a的正方体
的外接球的表面积为
28．（2020·深圳市高级中学高三（理））某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为3的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36 ，则该几何体的体积为
__________．
29．（2020·福建高三期末（理））农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．
30．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球O的截面，截面面积最小为______．
【来源】内蒙古锡林郭勒盟全盟2021届高三第二次模拟考试数学（理科）试题
31．一个直三棱柱的三视图如图所示，则该直三棱柱的体积为_______，它的外接球的表面积为________．。