人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.1.2导数的概念

第一章导数及其应用
1.1变化率与导数
导数的观点
A 级基础稳固
一、选择题
1． y＝ x2在 x＝ 1 处的导数为 ()
A． 2x B． 2 C． 2＋ x D． 1
分析：由于 f(x)＝ x2，x＝ 1，因此y＝ f(1＋x)－ f (1)＝ (1＋x)2－ 1＝ 2x＋ (x)2，所
以y＝(2＋x)＝ 2.
x
答案： B
2．一物体运动知足曲线方程s＝4t2＋ 2t－ 3，且 s′(5)＝ 42(m/s)，其实质意义是 () A．物体 5 秒内共走过42 米
B．物体每 5 秒钟运动42 米
C．物体从开始运动到第 5 秒运动的均匀速度是42 米/秒
D．物体以 t＝ 5 秒时的刹时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的行程为42 米
分析：由导数的物理意义知，s′ (5)＝ 42(m/s)表示物体在t＝ 5 秒时的刹时速度．
答案： D
3．设函数 f (x)在点 x0邻近有定义，且有 f(x0＋x)－ f(x0 )＝ a x＋ b(x)2，(a，b 为常数 )，则 ()
A． f′ (x)＝ a B． f′ (x)＝ b
C． f′ (x0)＝ a D． f′ (x0)＝ b
分析：由于 f′(x
＝f（ x0＋
x）－f（x
）
＝
0)x
a x＋ b（x）2
＝(a＋ b x)＝ a，因此 f′(x
x0)＝a.答案： C
4．已知 y＝x＋ 4，则 y′|x1＝ ________．
＝
555
A. 2
B. 10
C. 5 D．－10
分析：由题意知y＝1＋x＋ 4－ 1＋ 4＝5＋x－5，
y＋－
5＋－
5
所以＝5x1＝5x＝
. 所以 y′|x
x x＝x
x
＝
5
x （ 5＋ x ＋
5） 10.
答案： B
5．假如某物体做运动方程为
s ＝ 2(1－ t 2)的直线运动 (s 的单位为 m ， t 的单位为 s)，那么 其在 1.2 s 末的刹时速度为 (
)
A ．－ 4.8 m/s
B ．－ 0.88 m/s
C ． 0.88 m/s
D ． 4.8 m/s
解 析 ： 运 动 物 体 在
1.2
s 末 的 瞬 时 速 度 即 为 s 在 1.2 处 的 导
数 ， 所 以
f （ 1.2＋ t ）－ f （ 1.2）
＝
t
2
2
2[1－（ 1.2＋
t ） ]－ 2×（ 1－ 1.2 ）
＝
2(－ 答案： A 二、填空题
6．设函数
t － 2.4)＝－ 4.8(m/s)．
f(x)知足
f （ 1）－ f （ 1－ x ）
＝－ 1，则 f ′(1)＝ ________．
x
分析： f （ 1）－ f （ 1－ x ） ＝ f （ 1－ x ）－ f （ 1）
＝ f ′(1)＝－ 1.
x
－ x
答案：－ 1
7．函数 f(x)＝ x 2
＋ 1 在 x ＝ 1 处可导，在求 f ′(1)的过程中，设自变量的增量为
x ，则函
数的增量
y ＝ ________．
分析：
y ＝ f(1＋ x)－ f(1) ＝－ (1 2＋ 1)＝2 x ＋ ( x)2.
答案： 2 x ＋ (
x)2
8．某物体做匀速直线运动，其运动方程是 s ＝ vt ，则该物体在运动过程中其均匀速度与
任何时辰的刹时速度的大小关系是
________．
s （ ＋
t ）－ s （ t ）
分析： v 0＝
＝ s t 0
＝
t
t
v （ t 0＋ t ）－ v （ t 0）
＝
v t
t
＝ v.
t
答案：相等
三、解答题
1
9．利用导数的定义，求函数
y ＝ x 2＋ 2 在点 x ＝ 1 处的导数． 解：由于
y ＝ 1 2＋2 － 1 ＝
（ x ＋ x ） x 2＋ 2
－ 2x x －（
x ） 2
，因此
y ＝
－ 2x － x ，
（ x ＋ x ） 2· x 2 x （ x ＋ x ） 2· x 2
因此 y ′＝
y ＝ － 2x － x
2＝－ 23，
（ x ＋
2
x
x ） · x
x
因此 y ′|x ＝1＝－ 2.
10．在自行车竞赛中，运动员的位移与竞赛时间
t 存在关系 s(t)＝ 10t ＋ 5t 2(s 的单位是 m ，
t 的单位是 s)．
(1)求 t ＝ 20，
t ＝ 0.1 时的
s 与
s ；
t
(2)求 t ＝ 20 时的速度．
解： (1) 当 t ＝ 20， t ＝ 0.1 时，
s ＝ s(20＋ t)－ s(20)＝ 10(20＋ 0.1)＋ 5(20＋ 0.1)2－ (10 ×20＋ 5× 202)＝ 1＋ 20＋ 5×0.01＝
21.05.
因此
s 21.05 ＝ 210.5.
＝ 0.1
t
s
（ ＋ t
）＋（＋ t
） 2－ 10t － 5t 2
(2)v ＝
＝
10 t 5 t ＝
t
t
5（
t ） 2＋ 10 t ＋ 10t
t
(5 t ＋ 10＋ 10t)＝ 10＋ 10t ，
t
＝
因此 t ＝ 20 时的速度即为
10＋ 10×20＝ 210(m/s)．
B 级 能力提高
1．某物体运动规律是 s ＝ t 2 － 4t ＋ 5，若此物体的刹时速度为 0，则 t ＝ ()
A ．3
B ．2.5
C ．2
D ．1
分析： s ＝ (t ＋ t)2－ 4(t ＋
t) ＋ 5－ ( t 2－ 4t ＋ 5)＝ 2t t ＋ ( t)2－ 4 t ，由于 v ＝
s
t
＝ 2t － 4＝ 0，因此 t ＝ 2.
答案： C
2．婴儿从出生到第
24 个月的体重变化如下图，第二年婴儿体重的均匀变化率为
________kg/ 月．
分析：第二年婴儿体重的均匀变化率为
14.25－ 11.25
＝ 0.25(kg/月 )．
24－ 12
答案： 0.25
3．若一物体运动方程是 (s 的单位是 m ， t 的单位是 s)
3t 2＋ 2（ t ≥3），
s ＝
29＋ 3（ t － 3） 2（ 0≤t ＜ 3） .
求： (1) 物体在 t ∈内的均匀速度；
(2) 物体的初速度
v 0；
(3) 物体在 t ＝ 1 时的刹时速度．
解： (1) 由于物体在 t ∈内的时间变化量为
t ＝ 5－3＝ 2，物体在 t ∈内的位移变化量为：
＝ × 2＋ 2－ (3 ×32＋ 2)＝ 3×(52－ 32
s 3 5 )＝ 48，
因此物体在 t ∈上的均匀速度为 s 48 ＝ 24(m/s)．
＝ 2
t (2) 求物体的初速度 v 0 即求物体在 t ＝ 0 时的刹时速度．
由于物体在 t ＝ 0 邻近的均匀变化率为
s （ ＋
）－ （ ） ＝
＝ f
tf
t
t
29＋ 3[（ 0＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 0－ 3） 2
＝ 3
t － 18.
t
因此物体在 t ＝ 0 处的刹时变化率为，
s (3 t － 18)＝－ 18，
t ＝
即物体的初速度为－ 18 m/s.
(3)物体在 t ＝ 1 时的刹时速度即为函数在 t ＝ 1 处的刹时变化率．
由于物体在 t ＝ 1 邻近的均匀变化率为：
s （ ＋ ）－ （ ）
＝ f 1 t f 1 ＝ t
t
29＋ 3[（ 1＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 1－ 3） 2
t － 12，
＝ 3
t
因此物体在 t ＝ 1 处的刹时变化率为：
s ＝ (3 t － 12)＝－ 12.
t
即物体在 t ＝ 1 时的速度为－ 12 m/s.。