圆的标准方程

（3）过点(0，1)和点(2，1)，半径为 5 . 解：（3）设圆心坐标为(a，b)，则圆的方 程为(x－a)2+(y－b)2=5. 已知圆过点(0，1)和点(2，1)，代入圆的 方程得
a 2 (1 b) 2 5 (2 a ) 2 (1 b) 2 5
a1 1 解得 b1 1
三．确定圆的方程的方法和步骤 1．圆的标准方程中含有三个参变数，必 须具备三个独立的条件；才能定出一个圆 的方程，当已知曲线为圆时，一般采用待 定系数法求圆的方程。 2．求圆的标准方程的一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为 (x－a)2+(y－b)2=r2；
（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的
18.51 b r 2 2 (7.2 b) r
2 2 2
Hale Waihona Puke 解得 b 20.19 2 r 750.21
因此拱圆方程为x2+(y+20.19)2=750.21.
例4．已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以 P1P2为直径的圆的方程，并判断M(6，9) 和N(5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内? 解：由已知得圆心坐标为C(5，6)，半径r 的平方为r2=10 所以圆的方程为(x－5)2+(y－6)2=10，
例3．赵州桥的跨度是37.02m，圆拱高 约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程。 解：如图，以AB的中点为原点，x轴通 过AB建立直角坐标系。 根据已知条件，B，C的坐 标分别为(18.51，0)，(0， 7.2)，设圆心的坐标为(0， b)，则圆的方程为x2+(y－ b)2=r2，
因为B，C都在圆上，所以它们的坐标满 足这个方程，于是得到方程组
( x a ) ( y b) r
2 2
两边平方得 (x－a)2+(y－b)2=r2.
注意以下三点： 1．已知圆心C(a，b)，半径为r，则圆的 标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2. 2．当圆心在坐标原点时，圆的标准方程
为x2+y2=r2.
3．圆的标准方程的优点在于明确地指出
（2）圆心在点C(1，3)，并与直线3x－4y －6=0相切； 解：（2）因为直线3x－4y－6=0是所求圆 的切线，所以圆心到这条直线的距离等于 半径， 根据点到直线的距离公式，得
r | 3 1 4 3 6 | 32 42 3
所以所求圆的方程是(x－1)2+(y－3)2=9.
方程组；
（3）解此方程组，求出a、b、r的值；
（4）将所得的a、b、r的值代回所设的圆
的方程中，就得到所求的圆的标准方程.
例1．根据下列条件，求圆的方程： （1）圆心在点C(－2，1)，并过点A(2， －2)； （2）圆心在点C(1，3)，并与直线3x－ 4y－6=0相切； （3）过点(0，1)和点(2，1)，半径为 5 . 解：（1）所求圆的半径r=|CA|=5，因为圆 心在点C(－2，1)，所以所求圆的方程为 (x+2)2+(y－1)2=25.
（C）(x－3)2+(y－4)2=25， （D）(x+3)2+(y+4)2=25，
3．已知圆心在P(－2，3)并且与y轴相切，
则该圆的方程是（ （A）(x－2)2+(y+3)2=4 （B）(x+2)2+(y－3)2=4 （C）(x－2)2+(y+3)2=9 （D）(x+2)2+(y－3)2=9 ） B
或
a2 1 b2 3
因此所求圆的方程为(x－1)2+(y+1)2=5或 (x－1)2+(y－3)2=5。
例2．求过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在 直线l：2x－7y+8=0上的圆的方程。 解法1. 直线AB的斜率k=－1，所以AB的垂 直平分线m的斜率为1， AB的中点的横坐标和纵坐标分别为 7 5 x= ，y= .
一． 圆的标准方程
平面内到一个定点的距离等于定长的轨 迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径。 求以C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程. 设M(x，y)是⊙C上任意一点，点C在 ⊙C上的条件是|CM|=r.
也就是说，如果点M在⊙C上，则|CM|=r, 反之如果|CM|=r，则点M在圆C上。 由两点间的距离公式，所说的条件转 化为方程表示
了圆心和半径.
二．点与圆的位置关系 给出点M1(x1，y1)和圆C：(x－a)2+(y－ b)2=r2，通过比较点到圆心的距离和半径r 的大小关系，得到：
（1）若点M1在圆C上，则有(x1－a)2+(y1 －b)2=r2； （2）若点M1在圆C外，则有(x1－a)2+(y1 －b)2>r2； （3）若点M1在圆C内，则有(x1－a)2+(y1 －b)2<r2.
4．过点A(1，－1)，B(5，6)且圆心在直线 x+y－2=0上的圆的方程为（ C ）
（A）(x－3)2+(y+1)2=4
（B）(x+3)2+(y－1)2=4
（C）(x－1)2+(y－1)2=4
（D）(x+1)2+(y+1)2=4
5．以(A(－1，2)，B(5，6)为直径端点的
圆的方程是 (x－2)2+(y－4)2=13 。
将M，N点的坐标代入方程得
(6－5)2+(9－6)2=10，(5－5)2+(3－6)2<10,
所以点M在圆上，点N在圆内.
练习题： 1．圆(x－1)2+(y+1)2=2的周长是（ C ）
（A） 2 π
（C）2 2π
（B）2π
（D）4π
2．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的
方程是（ C ） （A）x2+y2=25 （B）x2+y2=5
解法2. 设所求的圆的方程为(x－a)2+(y－ b)2=r2，由题意得
a2 (6 a) 2 (0 b) 2 r 2 2 2 2 (1 a) (5 b) r 解得 b 3 r 2 13 2a 7b 8 0
所以圆的方程是(x－3)2+(y－2)2=13.
2 2
因此直线m的方程为y－
即x－y－1=0.
7 2
=x－
5 2
，
又圆心在直线l上，所以圆心是直线l与直 线m的交点，解联立方程组
x y 1 0 2 x 7 y 8 0
得
x 3 y 2
所以圆心的坐标是C(3，2)，半径 r=|CA|= 13，
所以圆的方程是(x－3)2+(y－2)2=13.
6．圆心在 3x－y=0 上与x轴相切并且被直
线 y=x 截得的弦长为2 7 的圆的方程 (x－1)2+(y－3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9 。 是