2023年河南省郑州市中考第一次适应性测试数学试题(含答案解析)

2023年河南省郑州市中考第一次适应性测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反．若把向东走2km 记作“+2km”，那么向西走1km 应记作（）
A ．﹣2km
B ．﹣1km
C ．1km
D ．+2km
2．星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度．1纳秒9110-=⨯秒，那么20纳秒用科学记数法表示应为（）
A ．8210-⨯秒
B ．9210-⨯秒
C ．92010-⨯秒
D ．10210-⨯秒
3．图1是由6个相同的小正方体组成的几何体，移动其中一个小正方体变成图2所示的几何体，则移动前后（
）
A ．主视图改变，俯视图改变
B ．主视图改变，俯视图不变
C ．主视图不变，俯视图改变
D ．主视图不变，俯视图不变
4．把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数为（
）
A ．15°
B ．20°
C ．25°
D ．30°
5．下列调查中，最适宜采用普查的是（）
A ．调查郑州市中学生每天做作业的时间
B ．调查某批次新能源汽车的电池使用寿
命
C ．调查全市各大超市蔬菜农药残留量
D ．调查运载火箭的零部件的质量
6．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上，若线段6AB =，则线段BC 的长是（
）
A ．2
B ．4
C ．1
D ．3
7．若关于x 的方程210x ax ++=有两个相等的实数根，则a 值可以是（）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．1
-8．如图，在ABCD Y 中，将ADC △沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若60,2B AB ∠=︒=，则ADE V 的周长为（
）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．15
9．已知点()()()1233,,1,,1,y y y --在下列某一函数的图象上，且312y y y <<，那么这个函数是（）
A ．3y x
=B ．2
3y x =-C ．3y x
=
D ．3y x
=-
10．如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB ，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC 长为m ，则大树AB 的高为（
）
A ．()cos sin m αα-
B ．()sin cos m αα-
C ．()
cos tan m αα-D ．
sin cos m m
αα
-
二、填空题
11．数学具有广泛的应用性．请写出一个将基本事实“两点之间，线段最短”应用于生活
的例子：________．
12．不等式组26
20x x -<⎧⎨-<⎩
的解集是_________．
13．甲乙两人参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“做交通引导员”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是__．
14．如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，且()()1,,3,6A m C m +，反比例函数()0k
y x x
=>的图象同时经过点B 与点D ，则k 的值为_________．
15．如图，ABC 与BDE △均为等腰直角三角形，点A ，B ，E 在同一直线上，BD AE ⊥，垂足为点B ，点C 在BD 上，2,5AB BE ==．将ABC 沿BE 方向平移，当这两个三角形重叠部分的面积等于ABC 面积的一半时，ABC 平移的距离为______．
三、解答题
16．（1()1
01π2023
3-⎛⎫+- ⎪⎝⎭
；
（2）化简：2444122m m m m -+⎛
⎫-÷
⎪++⎝⎭
．17．家务劳动是劳动教育的一个重要方面．某校为了了解七年级学生参加家务劳动的情
况，随机调查七年级男，女生各18名，得到他们上周末进行家务劳动的时间（单位：分钟）如下：
男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105；
女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，88，69，73，55，90，98，69，72．
统计数据，得到家务劳动时间x （分钟）的频数分布表．
时间x 030
x ≤≤3060
x <≤6090
x <≤90120
x <≤男生人数（频数）2574女生人数（频数）
1
5
9
3
整理并分析数据，得到以下统计量．统计量平均数中位数众数方差
男生66.768.570617.3女生
69.7
70.5
69和88
547.2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)该年级共360名学生，且男，女生人数基本相同，则该年级上周末进行家务劳动的时间超过90分钟的学生约有多少人?
(2)政教处老师认为上周末该校七年级女生比男生进行家务劳动的时间长，你同意吗?请说明理由．
18．如图1，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，且BD CE =，连接,AD AE ．
(1)判断AD 与AE 的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，过点B 作BF AC ∥，交AD 的延长线于点F ．若DAE C α∠=∠=，请直接写出图2中所有顶角为α的等腰三角形．
19．如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因为222222420,1242,2064=-=-=-，故4，12，20都是神秘数．(1)写出一个除4，12，20之外的“神秘数”_________
(2)设两个连续偶数为2k 和22k +（k 为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗?为什么?
(3)两个相邻的“神秘数”之差是否为定值?若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．
20．学校需购买测温枪与消毒液，若购买5个测温枪与1瓶消毒液需440元，若购买1个测温枪与3瓶消毒液需200元．(1)求测温枪和消毒液的单价；
(2)学校计划购买两种物资共60件，并要求测温枪的数量不少于消毒液数量的1
4
，设计最省钱的购买方案，并说明理由．
21．如图，点O 在ABC 的边AB 上，O 与边AC 相切于点E ，与边BC ，AB 分别交于点D ，F ，且DE EF =．
(1)求证：90C ∠=︒；
(2)当3,4BC AC ==时，求O 半径的长．
22．原地正面掷实心球是中招体育考试项目之一．受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度()m y 与水平距离()m x 近似满足函数关系2(0)y ax bx c a =++<．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．
(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离()m x 与竖直高度()m y 的几组对应数据如下：水平距离x /m 01234567竖直高度y /m
1.8
2.3
2.6
2.7
2.6
2.3
1.8
1.1
则：①抛物线顶点的坐标是______，顶点坐标的实际意义是________；②求y 与x 近似满足的函数关系式，并直接写出本次训练的成绩．(2)第二次训练时，y 与x 近似满足函数关系2
0.090.72 1.8y x x =-++，则第二次训练成
绩与第一次相比是否有提高？为什么？
(3)实心球的抛物线轨迹是影响成绩的重要因素，可以通过多种方法调整实心球的轨迹．小明掷实心球的出手高度不变，即抛物线2(0)y ax bx c a =++<中c 的值不变，要提高成绩应使a ，b 的值做怎样的调整?
23．在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点（点E 不与点B ，C 重合），AE EF ⊥，垂足为点E ，EF 与正方形的外角DCG ∠的平分线交于点F ．
(1)如图1，若点E 是BC 的中点，猜想AE 与EF 的数量关系是______；证明此猜想时，可取AB 的中点P ，连接EP ．根据此图形易证AEP EFC △≌△．则判断AEP EFC △≌△的依据是_________(2)点E 在BC 边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立?请说明理由．
②如图3，连接AF DF ，，若正方形ABCD 的边长为1，直接写出AFD △的周长c 的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：若把向东走2km 记做“+2km”，那么向西走1km 应记做﹣1km ．故选：B ．
【点睛】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．2．A
【分析】根据科学记数法的一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤＜，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数．【详解】解：20纳秒9820211010--=⨯⨯=⨯秒，故选：A
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．C
【分析】根据三视图的定义即可作出判断．【详解】解：仔细观察图1到图2的变化，
移动前后主视图都是，没有改变；
移动前的俯视图为，移动后俯视图为，发生了改变，
故移动前后主视图不变，俯视图改变，故选：C ．
【点睛】本题考查了三视图的定义，从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键．4．B
【分析】利用平行线的性质求出∠3可得结论．【详解】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝25°，
∵∠2＋∠3＝45°，
∴∠2＝45°﹣∠3＝20°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用平行线的性质求出∠3．
5．D
【分析】根据普查和抽样调查的意义逐项判断即可．
【详解】解：A、调查郑州市中学生每天做作业的时间，人数太多，适宜抽样调查，不符合题意；
B、调查某批次新能源汽车的电池使用寿命，具有破坏性，适宜抽样调查，不符合题意；
C、调查全市各大超市蔬菜农药残留量，数量太大，适宜抽样调查，不符合题意；
D、调查运载火箭的零部件的质量，要求精确，适宜普查，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．6．D
⊥于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线【分析】如图，过点A作AF CF
===，利用平行线分线段成比例定理计算即可．
于点D，根据题意，AD DE EF h
⊥于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线【详解】如图，过点A作AF CF
===，
于点D，根据题意，AD DE EF h
所以
26
2AB AE h BC EF h BC
====．解得3BC =．故选D ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．7．A
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：∵方程210x ax ++=有两个相等的实数根，∴24110a -⨯⨯=，解得：2a =±，∴a 值可以是2．故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程
()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240
b a
c ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=-时，方程没有实数根是解题的关键．8．C
【分析】根据平行四边形的性质和折叠性质证得60D ∠=︒，AD AE =，再证明AED △是等边三角形即可．
【详解】解：在ABCD Y 中，2CD AB ==，60B D ∠=∠=︒，由折叠性质，得AD AE =，2CE CD ==，∴AED △是等边三角形，∴24AE AD DE CD ====，∴ADE V 的周长为3412⨯=，故选：C ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握折叠性质，证得AED △是等边三角形是解答的关键．9．D
【分析】分别根据一次函数、二次函数和反比例函数的图象与性质逐项判断即可．【详解】解：A 、对于3y x =，y 随x 的增大而增大，由311-<-<得123y y y <<，故不符合题意；
B 、对于23y x =-，图象开口向下，对称轴为直线0x =，由311-<-<得123y y y <=，故不符合题意；
C 、对于3y x
=，图象位于第一、三象限，在每一支上，y 随x 的增大而减小，由311-<-<得213y y y <<，故不符合题意；
D 、对于3
y x
=-，图象位于第二、四象限，在每一支上，y 随x 的增大而增大，由311
-<-<得312y y y <<，故符合题意；故选：D ．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数和反比例函数的图象与性质，熟知相关函数的图象与性质是解答的关键．10．A
【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．【详解】解：如图，过点C 作水平线与AB 的延长线交于点D ，则AD ⊥CD ，
∴∠BCD =α，∠ACD =45°．
在Rt △CDB 中，CD =m cos α，BD =m sin α，在Rt △CDA 中，AD =CD ×tan45°
=m ×cos α×tan45°
=m cos α，
∴AB =AD -BD
=（m cos α-m sin α）
=m （cosα-sin α）
．故选：A ．
【点睛】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函数时要注意各边相对．
11．从A 地到B 地时，走AB 之间的线段比走任何一条弯路都短（答案不唯一）
【分析】根据“两点之间，线段最短”，即可求解．
【详解】解：从A 地到B 地时，走AB 之间的线段比走任何一条弯路都短．
故答案为：从A 地到B 地时，走AB 之间的线段比走任何一条弯路都短（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了线段的基本事实，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键．12．32x -<<##23
x >>-【分析】先分别求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解．
【详解】解：2620x x -<⎧⎨-<⎩①②
解①，得3x >-，
解②，得2x <，
∴不等式组的解集为32x -<<，
故答案为：32x -<<．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法，正确求解是解答的关键．
13．14
##0.25【分析】画树状图，展示所有4种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：把“做社区志愿者”和“做交通引导员”分别记为A 、B ，
画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两人同时选择“做社区志愿者”的结果有1种，
∴两人同时选择“做社区志愿者”的概率为
14，故答案为：14
．【点睛】本题考查了树状图法与列表法求概率，解题的关键是用树状图列出所有等可能的结果以及熟记概率=所求情况数与总情况数之比．
14．9
【分析】根据四边形ABCD 为矩形，结合()()1,,3,6A m C m +，得出点B 、D 的坐标，然后再根据点B 、D 在反比例函数()0k y x x =>的图象上，列出关于m 的方程，解方程即可得出m 的值，最后求出k 的值即可．
【详解】解：∵矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，()()1,,3,6A m C m +，
∴点B 的坐标为()1,6m +，点D 的坐标为()3,m ，
∵点B 、D 在反比例函数()0k y x x =>的图象上，
∴()163m m ⨯+=，
解得：3m =，
∴点B 的坐标为()1,9，
∴9k =．
故答案为：9
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，矩形的性质，解题的关键是根据题意得出()1,6B m +，()3,D m ．
15．2
5
【分析】先根据等腰直角三角形的性质求得2AB BC ==，5BE BD ==，
45A ACB D E ∠=∠=∠=∠=︒，2ABC S =△，设平移的距离为x ，根据题意，分①当02x <<时和②当5x =时两种情况，分别画出图形，利用平移性质和三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵ABC 与BDE △均为等腰直角三角形，2,5AB BE ==，BD AE ⊥，∴2AB BC ==，5BE BD ==，45A ACB D E ∠=∠=∠=∠=︒，∴12222
ABC S =⨯⨯= ，设平移的距离为x ，根据题意，分两种情况：
①当02x <<时，如图1，则BN x =，2AN x =-，
由题意，重叠部分四边形FNBC 的面积为1，则1ANF S = ，
∵45A ∠=︒，90ANF ∠=︒，
∴45AFN ∠=︒，
∴2NF AN x ==-，则有()21212
x -=，
解得2x =或2x =（舍去）；
②当5x =时，如图2，点B 与点E 重合，则2AE =，
根据题意，重叠部分AHE ，
∵45CAB DEA ∠=∠=︒，
∴90AHE =︒∠，则·sin 45HA HE AE ==︒=
=，
∴2112AHE S =⨯= ，满足重叠部分的面积为1，
综上，ABC 平移的距离为25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、平移性质、解直角三角形，注意平移不改变图形的形状和大小，对应线段相等，对应角相等，分类讨论是解答的关键．
16．（1）1；（2）1
2
m -【分析】（1）先根据二次根式的性质、负整数指数幂和零指数幂运算法则计算各数，再加减运算即可求解；
（2）利用分式的混合运算法则，结合完全平方公式化简原式即可求解．
【详解】解：（1()1
01π20233-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭331
=-+1=；
（2）2444122m m m m -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭
()2
2222m m m m -+=⨯+-12m =
-．【点睛】本题考查实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确计算是解答的关键．
17．(1)约70人
(2)同意，理由见解析
【分析】（1）用该年级总人数乘以男女生周末进行家务劳动的时间超过90分钟的百分比即可求解；
（2）通过比较男女生的平均数、中位数、众数和方差进行判断即可．
【详解】（1）解：根据表格，调查周末进行家务劳动的时间超过90分钟的学生中，男生有4人，女生3人，∴43360701818
+⨯=+（人），答：该年级上周末进行家务劳动的时间超过90分钟的学生约有70人；
（2）解：同意，理由：
对比平均数，由69.766.7>知女生周末进行家务劳动的时间的平均时间更长，因此女生周末
进行家务劳动的时间更长一点；
对比中位数，由70.568.5>知经过排序后，中间位置的数据女生比男生更好一点，因此女生周末进行家务劳动的时间更长一点；
对比众数，女生的众数88比男生的70更长一点，因此女生周末进行家务劳动的时间更长一点；
对比方差，由547.2617.3<知，女生周末进行家务劳动的时间比男生稳定一些，因此女生周末进行家务劳动的时间更稳定点；
综上，上周末该校七年级女生比男生进行家务劳动的时间长．
【点睛】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、方差、样本估计总体，理解各个统计量的意义正确判断的前提．
18．(1)AD AE =，理由见解析
(2)ADE V ，ACD ，ABE ，BDF
V 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再利用SAS 可证明ABD ACE ≌△△，即可；
（2）由（1）得：AD AE =，可得ADE V 是顶角为α的等腰三角形，然后根据DAE C α∠=∠=，ABC C ∠=∠，可得DAE C ABC ∠=∠=∠，然后根据ABD ACE ≌△△，可得BAD CAE ∠=∠，ADC CAD ∠=∠，从而得到ACD 是顶角为α的等腰三角形，ABE 是顶角为α的等腰三角形，再根据BF AC ∥，可得,DBF ACD F CAD α∠=∠=∠=∠，从而得到F BDF ∠=∠，进而得到BDF V 是顶角为α的等腰三角形，即可．
【详解】（1）解：AD AE =，理由如下：
∵AB AC =，
∴B C ∠=∠，
在ABD △和ACE △中，
∵BD CE =，B C ∠=∠，AB AC =，
∴()SAS ABD ACE △≌△，
∴AD AE =；
（2）解：∵AD AE =，
∴ADE V 是顶角为α的等腰三角形，
∵DAE C α∠=∠=，ABC C ∠=∠，
∴DAE C ABC ∠=∠=∠，
∵ABD ACE ≌△△，
∴BAD CAE ∠=∠，
∵,ADC ABC BAD DAC DAE CAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，
∴ADC CAD ∠=∠，
∴ACD 是顶角为α的等腰三角形，
同理ABE 是顶角为α的等腰三角形，
∵BF AC ∥，
∴,DBF ACD F CAD α∠=∠=∠=∠，
∵ADC BDF ∠=∠，
∴F BDF ∠=∠，
∴BD BF =，
∴BDF V 是顶角为α的等腰三角形，
综上所述，所有顶角为α的等腰三角形有ADE V ，ACD ，ABE ，BDF V ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质是解题的关键．
19．(1)28
(2)能够被4整除，理由见解析
(3)两个相邻的“神秘数”之差是定值8
【分析】（1）根据“神秘数”的定义写出一个“神秘数”即可；
（2）根据题意用两个连续偶数的平方差表示出“神秘数”，利用平方差公式化简即可判断；（3）利用“神秘数”的定义和（2）中结论即可得出结论．
【详解】（1）解：∵()()2228142868686=⨯=+-=-，
∴28是“神秘数”，
故答案为：28；
（2）解：能够被4整除，理由为：
根据定义，两个连续偶数为2k 和22k +（k 为非负整数），构造的“神秘数”为()()22
222+-k k ，∵()()22222+-k k ()()
222222k k k k =+++-()42·2
k =+()421k =+，
∴构造的“神秘数”能够被4整除；
（3）解：根据（2）中结论，设两个相邻的“神秘数”为84k +，()814k ++，
∵()()
81484k k ++-+⎡⎤⎣⎦88484
k k =++--8=，
∴两个相邻的“神秘数”之差是定值8．
【点睛】本题主要考查平方差公式，理解新定义，熟练掌握平方差公式的运用是解答的关键．20．(1)测温枪的单价为80元，消毒液的单价为40元
(2)购买12个测温枪，48瓶消毒液，最节省钱．
【分析】（1）设测温枪的单价为x 元，消毒液的单价为y 元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买a 测温枪，b 瓶消毒液，总计花费m 元，根据题意列出含有不等式的方程组，采用代入消元法后，以含b 的代数式来表达m ，并得出b 的取值范围．要求最节省即转化为求m 的最小值，再根据b 的取值范围，即可求出m 的最小值，最后得到最佳方案．
【详解】（1）设测温枪的单价为x 元，消毒液的单价为y 元，
根据题意有：
54403200x y x y +=⎧⎨+=⎩
，解方程组得：
8040
x y =⎧⎨=⎩，则有测温枪的单价为80元，消毒液的单价为40元．
（2）最佳方案：购买12个测温枪，48瓶消毒液，最节省钱，
理由如下：设购买a 测温枪，b 瓶消毒液，总计花费m 元，且a 、b 、m 都是自然数，根据题意，有：60148040a b a b m a b
+=⎧⎪⎪≥⎨⎪=+⎪⎩，简化得：48480040b m b
≤⎧⎨=-⎩，且a 、b 、m 都是自然数，要想最省钱，即m 取最小值，
则当且仅当48b =时，m 值最小，且为2880m =，此时12a =，
即购买12个测温枪，48瓶消毒液，最节省钱．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的实际应用、一次函数的应用以及最值问题．正确理解题意，列出方程组和不等式是解答本题的关键．
21．(1)见解析(2)15
8
【分析】（1）连接OE ，先根据切线性质得到90OEA ∠=︒，再根据等腰三角形的性质和等弧所对的圆周角相等证得OEB EBD ∠=∠，进而证得OE BC ∥即可证得结论；
（2）先根据勾股定理求得5AB =，设O 的半径为r ，则5AO r =-，证明AEO ACB ∽得到OE AO BC AB =即535
r r -=，进而求解即可．【详解】（1）证明：连接OE ，
∵O 与边AC 相切于点E ，
∴90OEA ∠=︒，
∵OB OE =，
∴OEB OBE ∠=∠，
∵DE EF =，
∴ DE
EF =，∴OBE EBD ∠=∠，
∴OEB EBD ∠=∠，
∴OE BC ∥，
∴90C OEA ∠=∠=︒；
（2）解：在Rt ABC △中，3,4BC AC ==，90C ∠=︒，
∴5AB ==，
设O 的半径为r ，则5AO r =-，
∵OE BC ∥，
∴AEO ACB ∽，∴OE AO BC AB =即535
r r -=，解得158r =
，即O 半径的长为158．【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，弧、弦、圆周角的关系，相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
22．(1)①()3,2.7，顶点坐标的实际意义是实心球抛出后达到的最大垂直高度；
②()20.13 2.7y x =--+，本次训练的成绩为(3m
+(2)有提高，理由见解析
(3)a 变大，b 变大【分析】（1）①根据表格数据和题意可解答；②利用待定系数法求解即可；
（2）求出第二次着陆的距离，与第一次比较即可得出结论；
（3）可根据抛物线的最大垂直高度、对称轴的位置和着陆距离，结合前两次的函数解析式
和结论可作出结论．
【详解】（1）解：①根据表格数据，当2x =和4x =时，y 值相等，则直线3x =是对称轴，
∴顶点坐标为()32.7，
，由于顶点是抛物线的最高点，故实际意义为实心球抛出后达到的最大垂直高度，
故答案为：()3,2.7，顶点坐标的实际意义是实心球抛出后达到的最大垂直高度；
②设y 与x 近似满足的函数关系式为()23 2.7y a x =-+，
将0x =， 1.8y =代入，得()21.803 2.7a =-+，解得0.1a =-，
∴y 与x 近似满足的函数关系式为()20.13 2.7y x =--+；
令0y =，由()200.13 2.7x =--+得13x =+，23x =-，
∴本次训练的成绩为(3m +；
（2）解：有提高，理由为：
对于函数()220.090.72 1.80.094 3.24y x x x =-++=--+，抛物线的顶点坐标为()4,3.24令0y =，由()2
0.094 3.240x --+=得110x =，22x =-（负值舍去），
∵0.090.1<，103>+，
∴第二次抛出的最大垂直高度大于第一次，着陆更远，成绩更集中，
即第二次训练成绩与第一次相比有提高；（3）解：对于函数2
(0)y ax bx c a =++<的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为直线2b x a =-，由题意，2
40b ac ∆=->，0b >，着陆距离为42b b ac x a -=（负值舍去），最大垂直高度为22
444ac b b c a a
-=-，要提高成绩，只需提高最大垂直高度，对称轴尽可能的远离抛出位置，着陆距离尽可能的远，结合第一次和第二次的抛物线方程，可将a 变大，b 变大．
【点睛】本题是二次函数的综合应用题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象与x 轴的交点问题等知识，解答的关键是理解题意，熟练运用二次函数的图象与性质分析解答．
23．(1)AE EF =，ASA
(2)
14
c ≤<【分析】（1）根据提示，利用正方形的性质和“ASA ”证明两个三角形全等；
（2）①仿照（1）中方法，在AB 上取点P ，使得AP EC =，连接EP ，证明()ASA AEP EFC ≌即可得出结论；
②如图3，设AC 与BD 相交于点O ，延长AC 到A '，使AC CA '=，连接DA '，FA '，根据正方形的性质和线段垂直平分线的性质证得AF A F '=，则AF DF A F DF DA ''+=+≥，当D 、F 、A '三点共线时取等号，此时AFD △的周长的最小，最小值为AD DA '+，在Rt A OD ' 中
利用勾股定理求得A D '=AFD △
1；再讨论当点E 于C 重合时和当点E 与点B 重合时情况，即可得出AFD △的周长c 的取值范围．
【详解】（1）解：猜想AE EF =，理由：
如图1，取AB 的中点P ，连接EP ．则AP BP
=∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB BC =，90ABC BCD DCG ∠=∠=∠=︒，
∵E 是BC 的中点，
∴AP BP BE CE ===，
∴BPE 是等腰直角三角形，
∴45BPE ∠=︒，则135APE ∠=︒，
∵CF 平分DCG ∠，
∴45DCF GCF ∠=∠=︒，
∴135ECF ∠=︒，即APE ECF ∠=∠，
∵AE EF ⊥，
∴90AEB FEC ∠+∠=︒，又90AEB EAP ∠+∠=︒，
∴EAP FEC ∠=∠，
在AEP △和EFC 中，
APE ECF AP CE EAP FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴()
ASA AEP EFC ≌∴AE EF =，
故答案为：AE EF =，ASA ；
（2）解：①猜想AE EF =仍然成立．理由为：
如图2，在AB 上取点P ，使得AP CE =，连接EP ，
由（1）得EAP FEC ∠=∠，135ECF ∠=︒，90ABC ∠=︒，AB BC =，
∴AB AP BC CE -=-，即BP BE =，
∴BPE 是等腰直角三角形，
∴45BPE ∠=︒，则135APE ∠=︒，
∴APE ECF
∠=∠在AEP △和EFC 中，
APE ECF AP CE EAP FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴()ASA AEP EFC ≌，
∴AE EF =
；
②如图3，设AC 与BD 相交于点O ，延长AC 到A '，使AC CA '=，连接DA '，FA '
，∵四边形ABCD 是正方形，边长为1，
∴AC BD ⊥，OD OB OC OA ===，1AD AB BC CD ====，45ACD CAD ∠=∠=︒，
∴BD AC ==，122
OC OD BD ==
=，又∵45DCF ∠=︒，∴90ACF ∠=︒，则CF 垂直平分AA '，
∴AF A F '=，
∴AF DF A F DF DA ''+=+≥，当D 、F 、A '三点共线时取等号，此时AFD △的周长的最小，最小值为AD DA '+，
在Rt A OD ' 中，2OA OC CA ''=+=
，
∴A D '=
∴AFD △1；
当点E 于C 重合时，如图4，AC CF =，
∴45F CAD ∠=∠=︒，
又45ACD DCF ∠=∠=︒，90ACF ∠=︒，
∴90CDA CDF ∠=∠=︒，则A 、D 、F 共线，且1AD DF ==，
∴4AD DF AF ++=，此时AFD △不存在，
当点E 与点B 重合时，点F 与点C 重合，AFD △的周长即为ACD 的周长
2AD CD AC ++=
，
综上，AFD △的周长c 14c +≤<．
【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．。