河北省唐山一中2019届高三下学期(4月)冲刺考试数学文试题 Word版含答案.doc_

唐山一中2019届高三冲刺卷（一）
数学文科试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

卷I （选择题 共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合2
{|210}A x x x =-+>，212B y y x ⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭
，则A
B = （ ）
A ．1[,)2+∞
B ．(1,+∞)
C ．1[,1)2
D ．1[,1)
(1,)2
+∞
2. 已知10<<<a b ，则在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是 （ ） A.a b
B.a a
C.b a
D.b b
3.已知复数2i
2i 5
a z -=
+
-的实部与虚部和为2，则实数a 的值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
4. 关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x ，y )；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y )的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是34m =，那么可以估计π的值约为（ ） A.
227 B. 4715
C.5116
D.
53
17 5.在正项等比数列{}n a 中，若1321
3,,22
a a a 成等差数列，则2016
201820152017a a a a --的值为（ ）
A. 3或 1-
B. 9或 1
C. 3
D. 9 6.已知锐角α满足π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．1225
B ．1225±
C ．2425
D ．2425
±
7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A.376+ B.310+ C.312+ D.12
8.过点(1,1)P --且不垂直于y 轴的直线l 与圆2
2
:230M x y x +--=交于,A B 两点，点C 在圆M 上，若ABC ∆是正三角形，则直线l 的斜率是 （ ） A.
34 B. 32 C. 23 D. 43
9. 在△ABC 中，,AB a AC b ==， M 是AB 的中点，N 是CM 的中点，则AN =( ) A ．1233a b +
, B ．1132a b + C ．1124a b + D ．1142
a b + 10.设函数()()f x x R ∈满足()()s i n f x f x x π+=+. 且当0x π≤<时，()0f x =，则23()6
f π
= （ ）
A.
12 B. C. 0 D. 1
2
-
11. 已知F 1，F 2是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若点F 1关于双曲线渐近线的对称点
P 满足∠OPF 2＝∠POF 2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为 （ ）
A B ．2 C D 12.若对于函数()()2ln 1f x x x =++图象上任意一点处的切线1l ，在函数x x
x a x g -=
2
cos 2sin 2)(的图
象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 ( )
A.(,[2,)-∞+∞ B ．1⎡-⎢⎣⎦
C ．12122⎛
⎡⎤
---∞+∞ ⎢⎥ ⎝⎦⎣⎦
，
， D ．1⎤⎥⎣⎦ 卷Ⅱ(非选择题 共90分)
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 边长为a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于
2
a ；将这个结论推广到空间是：棱长为a 的正四面体内任一点到各面距离之和等于 _________ .（具体数值）
14. 已知实数x ，y 满足约束条件10,220,2,x y x y y -+≥-+≤⎧⎪⎩
≤⎪
⎨则2z x y =+的最大值为__________．
15.已知向量a 与b 的夹角是3
π，||1a =，1
||2b =，则向量2a b -与a 的
夹角为 ．
16. 如图，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为 .
三．解答题：本大题共6小题，共70分.
17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c , 且c a >, 若
)sin(2tan C B b B a +=.
（1）求角B 的大小； （2）若7=
b , 且△ABC 的面积为
4
3
3, 求sin A 的值. 18. 如图，四边形ABCD 为菱形，ACEF 为平行四边形，且平面ACEF ⊥平面ABCD ，设BD 与AC 相交于点G ，H 为FG 的中点. （Ⅰ）证明：BD ⊥CH ；
（Ⅱ）若AB =BD =2，AE
，CH
=
2
，求三棱锥F -BDC 的体积. 19.(本小题满分12分）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果如图表所
示．
，
（Ⅰ）分别求出a ，b ，x ，y 的值；
（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人
中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．
20.（本题满分12分）
如图，P 是抛物线上位于第四象限点，直线
,,PA PB PC 分别与抛物线24y x =交于点,,A B C ，与x 轴的正半轴分别交于点,,L M N ，且
L M MN =，直线PB 的方程为240x y --=．
（Ⅰ）设直线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，求证：1212k k k k +=；
（Ⅱ）求PAB
PBC
S S ∆∆的取值范围．
21.(本题满分12分）已知x n x m
x f ln 1
)(++=
（m ，n 为常数），在1x =处的切线方程为20x y +-=． （Ⅰ）求)f x （
的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若1,1x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，使得对1,22
t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
上恒有32)22f x t t at ≥--+（
成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若)(1
2
)()(R a x ax x f x g ∈+-
-=有两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e ⋅>. 选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为2x y α
α
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α是参数），直线l 的方程为y kx =，
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）曲线C 和直线l 交于,A B 两点，若OA OB +=,求k 的值. 23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数m x x x f +--+=22)( ).(R m ∈ （Ⅰ）若m =1，求不等式0)(≥x f 的解集；
（Ⅱ）若函数x x f x g -=)()(有三个零点，求实数m 的取值范围．
唐山一中2019届高三冲刺卷（一）
数学文科答案
一.选择题
1-5DCDBC 6-10CCDDA 11-12BA 二．填空题
13.
3a 14. 6 15. 3π 16. 6
π 三．解答题
17. （1）在∆ABC 中，sin(B+C) = sinA , 由正弦定理和已知条件得： sinA ⋅tanB = 2sinB ⋅sinA , 由于sinA ≠0 , sinB ≠0, 则有：cosB =1
2
, 又0<B<π , 所以，B =
3
π…………………
4分
（2）由题可知：S ∆ABC =
12acsinB = 12ac ⋅sin 3
π
=4, ∴ ac=3 ,
在∆ABC 中由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2ac ⋅cos
3
π
, 即有：7= a 2+c 2- ac , 整理得： (a+c)2 - 3ac = 7 , 代入得：(a+c)2 =16 ，∴ a + c = 4 , 解方程组⎩⎨
⎧=+=43c a ac , 又a>c ，得：a=3,c=1 , 由正弦定理得：A sin 3
3
sin 7=
π , ∴ sinA =
14
213………………
12分
18. （1）证明： 四边形ABCD 为菱形
AC BD ⊥∴，………………1分
又Q 面ACFE ⋂面ABCD =AC
ABCD BD 平面⊂∴………………2分
面ABCD ⊥面ACFE C………………3分
ACFE BD 面⊥∴,………………4分
Q ACFE CH 面⊂ ………………5分
CH BD ⊥∴………………………………6分
（2）在FCG ∆中，GF CH CH CF CG ⊥=
==,2
3
,3 所以︒=∠120GCF ,………………6分
3=GF ………………8分
ACFE BD 面⊥ ，ACFE GF 面⊂
GF BD ⊥∴,………………9分
3322
1
21=⨯⨯=⋅=
∆GF BD S BDF ………………………… 又BD CH ⊥∴,GF CH ⊥,G GF BD =⋂∴,
BDF GF BD 平面⊂∴,
∴CH ⊥平面BDF . . . . . . . . .
2
3
2333131=⋅⋅=⋅⋅==∆--CH S V V BDF BDF C BDC F ……………………………12分
19.解：（Ⅰ）第1组人数5÷0.5=10，所以n =10÷0.1=100，…（1分） 第2组人数100×0.2=20，所以a =20×0.9=18，…（2分） 第3组人数100×0.3=30，所以x =27÷30=0.9，…（3分） 第4组人数100×0.25=25，所以b =25×0.36=9…（4分） 第5组人数100×0.15=15，所以y =3÷15=0.2．…（5分） （Ⅱ）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1， 所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．…（8分）
（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为a 1，a 2，第3组的记为b 1，b 2，b 3，第4组的记为c ， 则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，
它们是：（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，b 3），（a 1，c ），（a 2，b 1）， （a 2，b 2），（a 2，b 3），（a 2，c ），（b 1，b 2），（b 1，b 3），（b 1，c ）， （b 2，b 3），（b 2，c ），（b 3，c ）．…（10分） 其中第2组至少有1人的情况有9种，
它们是：（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，b 3），（a 1，c ），（a 2，b 1）， （a 2，b 2），（a 2，b 3），（a 2，c ）．
故所求概率为
53159=．…（12分） 20.【详解】（Ⅰ）联立
，解得
，由图象可知，
易知，由题意可设，
∴
（
），
,
, 故
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，， 联立
，得:
，
同理，得2,42)t +C((2+t) 设A 点到PB 的距离为，C 点到PB 的距离为，
∴
，
∴ ．
因为 ，所以 的取值范围是．
21.解：（Ⅰ）由f （x ）=1
+x m +nlnx 可得x n x m x f ++-=2'
)1()(，
由条件可得14
)1('
-=+-
=n m
f ，把x=-1代入x +y =2可得，y =1， ∴12)1(==m f ，∴m=2，21-=n ，∴x x x f ln 2
112)(-+=，x ∈（0，+∞）， （Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）在]1,1[e 上单调递减，∴f （x ）在]1,1
[e
上的最小值为f （1）=1，
故只需t 3-t 2
-2at +2≤1，即t t t a 122+-≥对任意的]2,2
1[∈t 上恒成立，
令t t t t m 1)(2
+-=，易求得m （t ）在]1,2
1[单调递减，[1，2]上单调递增，
而47)21(=m ，25)2(=m ，∴2a ≥m （t ）max=g （2），∴45≥a ，即a 的取值范围为),4
5
[+∞
（Ⅲ）∵bx x x g --=ln 2
1
)(，不妨设x 1＞x 2＞0，
∴g （x 1）=g （x 2）=0，
∴11ln 21bx x =-
，22ln 2
1
bx x =-，相加可得，相减可得
，
由两式易得：2
1
212121ln ln ln x x x x x x x x -+=
+；要证221e x x >，即证明2ln ln 21>+x x ，即证：
2ln 212121>-+x x x x x x ，需证明2121212ln x x x x x x +->成立，令t x x
=21，则t ＞1，于是要证明1
)1(2ln +->t t t ，构造
函数1
)1(2ln )(+--=t t t t φ，∴0)1()1()1(41)(222'
>+-=+-
=t t t t t t φ，故ϕ（t ）在（1，+∞）上是增函数， ∴ϕ（t ）＞ϕ（1）=0，∴
1)
1(2ln +->
t t t ，故原不等式成立．
22.解：（1）2232
4103x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨
=⎪⎩
2分
所以曲线C 的极坐标方程为2
4cos 10ρρθ-+=.
4分
（2）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,)R θθρθπ=∈∈，其中1θ为直线l 的倾斜角，
代入曲线C 得2
14cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.
21211214cos ,10,16cos 40
∴+==>∆=->ρρθρρθ
1212OA OB +=+=+=ρρρρ
8分
1cos θ∴= 满足0∆>16πθ
∴=或56π，
l 的倾斜角为6π
或56π， 则1tan k θ==或. 10分
23. 解：（1）
3(2)1,()21(22)
35(2)1()0,42152x m f x x x x f x x x x -<-⎧⎪
==+-≤≤⎨⎪>⎩>∴≥-
⎧⎫
∴≥-⎨⎬
⎩⎭当时分
分不等式的解集为分
（2）
()():
4(2)()2(22)74(2)().42,221042
g x f x x m x f x x m x y x m x y f x y x m m m =--<-⎧⎪
=+-≤≤=⎨⎪+>⎩
==-<-⎧∴∴-<<⎨+>⎩若函数有三个零点，只须与有三个交点即可
分
只须的两个分段点位于的两侧即可分。