1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性
1、(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．
2、A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，
所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2π
ω
就是它的一个周期．
3、由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.
知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)对于y ＝sin x ，x ∈R ，恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)对于y ＝cos x ，x ∈R ，恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．
知识点三 正弦、余弦函数的单调性
[－1,1]
[－1,1]
对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π
|ω|
来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解． 1、求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；
(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．
2、下列函数是以π为周期的函数是( )
A ．y ＝sin x
B ．y ＝sin x ＋2
C ．y ＝cos2x ＋2
D ．y ＝cos3x －1
3．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________.
4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________．
类型二 三角函数的奇偶性
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 判断函数奇偶性应把握好两个关键点
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．
1、判断下列函数的奇偶性．
(1) f (x )＝sin(－x )
（2）f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32π＋2x ＋x 2
sin x ； (3)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.
2、若函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则( )
A ．ω＝0
B ．φ＝k π(k ∈Z )
C ．ω＝k π(k ∈Z )
D ．φ＝k π＋π
2(k ∈Z )
3、已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2018)＝7，则f (－2018)＝________.
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π
2
的偶函数
2、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )
＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π3的值．
2、已知函数f (x )＝cos π
3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值．
3、设函数f (x )＝sin π
3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝________.
类型四 求正弦、余弦函数的单调区间
用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．
1．函数y ＝sin2x 的单调递减区间。

2 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x 的单调递增区间．
3、求函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递增区间．
类型五 正弦、余弦函数单调性的应用
命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小
用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 1、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin196°与cos156°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－174π.
2．下列不等式中成立的是( )
A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π10
B ．sin3>sin2
C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－25π D ．sin2>cos1
3、cos1，cos2，cos3的大小关系是________．(用“>”连接)
命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围
此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围． 1．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．
2、已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．
3、已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 D ．(0,2]
类型六 正弦、余弦函数的值域或最值
常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：
(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域)．
(2)形如y ＝a sin 2
x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设t ＝sin x ，将函数y ＝a sin 2
x ＋b sin x ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2
＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)． (3)对于形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值还要注意对a 的讨论． 1．函数y ＝cos x －1的最小值是
2．求函数y ＝3－2sin 1
2x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合．
3、求函数f (x )＝2sin 2
x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．
4、已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3
，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．。