2019-2020学年广西贵港市桂平市高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年广西贵港市桂平市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合{|15},{|22}A x x B x x =∈-<<=-≤Z …，则A B =I ( ) A ．{0,1,2} B ．{0,1}
C ．{|12}
x x -<≤
D ．|25x x 〈-≤<〉
【答案】A
【解析】先确定集合A 中元素，然后根据交集定义求解． 【详解】
由题意{0,1,2,3,4}A =，∴{0,1,2}A B ⋂=． 故选：A ． 【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题． 2．若1
sin 4
θ=，则cos2θ= （ ） A ．1516-
B ．
1516
C ．
78
D ．78
-
【答案】C
【解析】根据二倍角余弦公式计算可得. 【详解】 解：4
1sin θ=
Q ， 217
cos 212sin 188
θθ∴=-=-=，
故选：C. 【点睛】
本题考查二倍角余弦公式的应用，属于基础题. 3．函数3()9f x x =-的零点所在的区间是( ) A ．()0,1 B ．()1,2
C ．()2,3
D ．()3,4
【答案】C
【解析】根据零点存在定理判断．
(0)9f =-，(1)8f =-，(2)1f =-，(3)18f =，(2)(3)0<f f ，零点在区间(2,3)
上． 故选：C ． 【点睛】
本题考查零点存在定理，属于基础题．
4．已知向量(),6a m =-r ，()4,3b =-r ，若//a b r r
，则a =r （ ）
A ．
152
B ．
132
C ．9
D ．10
【答案】D
【解析】根据平面向量共线定理求出参数m 的值，再根据坐标法求模. 【详解】
解：因为//a b r r ，(),6a m =-r
，()4,3b =-r ，所以()()346m =-⨯-，即8m =， ()8,6a ∴=-r
.
所以643610a =+=r
.
故选：D. 【点睛】
本题考查平面向量共线定理的应用，向量的模的计算，属于基础题.
5．已知0a >且1a ≠，则函数2
2()2log f x x x a =-和()x g x a =在同一个平面直角坐标系的图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】按1a >和01a <<分类，确定()g x 的单调性，()f x 的对称轴．
1a >时，()x g x a =是增函数，只有C 、D 满足，此时()f x 的对称轴是2log 0x a =>，
C 、
D 都不满足，不合题意；
01a <<时，()x g x a =是减函数，只有A 、B 满足，此时()f x 的对称轴是2log 0x a =<，其中只有B 满足． 故选：B ． 【点睛】
本题考查函数的图象，根据1a >和01a <<分类讨论指数函数的单调性和二次函数的对称轴从而得出结论．
6．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．
1
4
B ．
1
2
或2 C ．1 D ．
1
4
或1 【答案】D
【解析】根据弧长公式及扇形的面积公式得到方程组，计算可得. 【详解】
解：由题意得212,
18,2
l r lr =-⎧⎪
⎨=⎪⎩解得8,2,r l =⎧⎨=⎩或4,4,r l =⎧⎨=⎩故14l r α==或1l r α==.
故选：D 【点睛】
本题考查弧长公式及扇形的面积公式的应用，属于基础题. 7．为了得到函数sin3y x =的图象，只需把函数sin 34y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象（ ） A ．向左平移6
π
个单位长度 B ．向右平移6
π
个单位长度 C ．向左平移12
π
个单位长度
D ．向右平移
12
π
个单位长度
【答案】C
【解析】根据三角函数的平移变换规则计算可得. 【详解】 解：因为sin 3sin 3412x x ππ⎛⎫
⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，所以只需把函数sin 34y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移
12
π
个单位长度，就可以得到函数sin3y x =的图象.
【点睛】
本题考查三角函数的相位变换，属于基础题.
8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为( ) A ．33,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭ B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-
⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-
⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】C
【解析】先研究0x >时，()f x 的正负，然后根据奇函数性质得出0x <时函数值的正负，从而可得不等式()0f x >的解集． 【详解】
0x >时， ()32f x x =-，∴302x <<
时，()0f x >，3
2
x >时，()0f x <， 又()f x 是奇函数，∴302x -<<时，()0f x <，3
2
x <-时，()0f x >，
又(0)0f =，∴()0f x >的解集为33
(,)(0,)22
-∞-U ．
故选：C ． 【点睛】
本题考查奇函数的性质．利用奇函数在关于原点对称的区间上函数值相反，可以通过只讨论0x >时()0f x >和()0f x <的解得出0x <时相应的解，从而得出在整个定义域上原不等式的解集．
9．设向量153,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，2,3b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
r ，若a r 与b r
的夹角为锐角，则实数x 的取值范围是
（ ） A ．5
,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．4,15⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭ C ．544,
,31515⎛⎫⎛⎫
-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U
D ．45 ,
,153⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
U 【答案】C
r r r r r r
解：因为a r 与b r 的夹角为锐角，所以0a b ⋅>r r
，即350x +>，解得5
3
x >-.当a r 与b r 同向时，
设λa b =r r （0λ>），则1523,,23x λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3,
152,2
3x λλ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得415x =，从而53x >-
且4
15
x ≠
. 故选：C 【点睛】
本题考查平面向量的数量积的坐标表示，及平面向量共线定理的应用，属于基础题.
10．已知0,4
1.3
311,,log 882a b c --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
，则( )
A ．b a c <<
B ．c a b <<
C ．a b c <<
D ．c b a <<
【答案】B
【解析】把,a b 化为同底数的幂比较大小，再借助于数2与c 比较． 【详解】
0.4 1.211()()82a --==，又 1.2 1.3->-，∴1 1.2 1.3111
2()()()222
---=<<．而
33log 8log 92<=，
∴c a b <<． 故选：B ． 【点睛】
本题考查比较大小，比较幂的大小尽量化为同底数的幂或化为同指数的幂，同样比较对数大小也尽量化为同底数的对数，如果不能化为同底数（或同指数）或不同类型的数则要借助于中间值比较，如0,1,2等等． 11．知函数()2sin 3
sin 2
x f x x -=-，则()f x 的最大值是（ ）
A ．
53 B ．2
C ．
32
D ．1
【答案】A
【解析】由()1
2sin 2f x x =+
-，令sin x t =，则[]1,1t ∈-，则()122
g t t =+-根据
函数的单调性求出最值. 【详解】 解：()2sin 312sin 2sin 2x f x x x -=
=+--，令sin x t =，则[]1,1t ∈-，令()1
22
g t t =+-，
易知()122g t t =+-，在区间[]1,1-上单调递减.所以()f x 的最大值是()5
13
g -=. 故选：A 【点睛】
本题考查函数单调性的应用，换元法的应用，属于基础题.
12．已知函数()()21,2,
2,2,x
x f x f x x ⎧-<⎪=⎨
-⎪⎩…
()132g x x =-，则方程()()f x g x =的解的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
【答案】B
【解析】画出函数图象，数形结合即可得解. 【详解】
解：因为()()21,2,2,2,x
x f x f x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩…
当2x <时，()21x
f x =-是增函数，且()3f x <，
()1
32
g x x =-是R 上的减函数，经过点()0,3和()6,0.又因为当2x …
时，()()2f x f x =-，所以()f x 在[)2,4、[)4,6、[)6,8……上的图象与[)0,2上的图
象相同，()f x 与()g x 的图象如图所示，共有4个交点，所以方程()()f x g x =共有4个解. 故选：B
本题考查分数函数的性质的应用，数形结合思想的应用，属于中档题.
二、填空题
13．已知函数()1,0,
3,0,x x x f x x ⎧+<=⎨⎩
…则
21log 8f f ⎛
⎫⎛
⎫= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭_________.
【答案】9
【解析】直接根据分段函数解析式代入求值. 【详解】 解：因为2
1
log 38=-，所以()21log 33128f f ⎛
⎫=-=-+= ⎪⎝
⎭，
()221log 2398f f f ⎛
⎫⎛
⎫=== ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭.
故答案为：9 【点睛】
本题考查分段函数求值，属于基础题. 14．若1tan 2
α=，1
tan 3β=-，则()tan αβ+=_________.
【答案】
1
7
【解析】直接利用两角和的正切公式计算可得. 【详解】 解：1tan 2α=
Q ，1tan 3
β=-， ()11
tan tan 123tan 111tan tan 7123αβαβαβ
-
+∴+===-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭
.
故答案为：17
【点睛】
本题考查两角和的正切公式的应用，属于基础题.
15．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，满足4BE EA =u u u r u u u r
，连接DE 交AC 于点M ，若DM AC AD λ=-u u u u r u u u r u u u r
，则λ=_________. 【答案】
1
【解析】依题意画出草图，可得AME CMD ∆∆∽，即
1
5
AM AE MC CD ==，再根据向量的减法法则计算可得. 【详解】
解：因为4BE EA =u u u r u u u r
，四边形ABCD 为平行四边形，
AME CMD ∴∆∆∽，
1
5AM AE MC CD ∴==，所以16AM AC =u u u u r u u u r . 因为16DM AM AD AC AD =-=-u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以16
λ=.
故答案为：1
6
【点睛】
本题考查平面向量的减法运算，属于基础题.
16．函数()1
13
934
x x f x --⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭
在[)1,-+∞上的值域为_________. 【答案】3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】令13x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，原函数的值域等价于函数()2
2333342g t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭
（03t <…）的值域，根据二次函数的性质计算可得. 【详解】
解：()1
2131139334334
x x x x
f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-+⨯+ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭，令13x
t ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈-+∞，所以(]03t ∈,
， 原函数的值域等价于函数()2
2
333342g t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭
（03t <…）的值域，
所以()f x 在30,2⎛⎤
⎥⎝⎦上单调递增，3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递减，332f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()()3034f f ==
所以()3
,34
f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. 故答案为：3,34⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查二次函数的性质及换元法求函数的值域，属于基础题.
三、解答题
17．已知角α
的终边上有一点()
P . （1）求与角α终边相同的角的集合；
（2）求()()3sin sin 2cos cos 2ππααππαα⎛⎫
+++ ⎪
⎝⎭
⎛⎫
----- ⎪
⎝⎭
的值.
【答案】（1）22,3k k Z π
α
απ⎧⎫=+
∈⎨⎬⎩
⎭
；（2
）2-【解析】（1
）根据三角函数的定义可得tan y
x
α==出α，最后根据终边相同的角的表示方法得解.
（2）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代值计算可得. 【详解】
解：（1）因为角α
的终边上有一点()
P ，
所以tan y
x
α=
=α的终边在第二象限.
因为2tan
3
π
=， 所以与角α终边相同的角的集合为22,3k k Z π
ααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
. （2）由（1
）知tan α= 所以
()()3sin sin 2cos cos 2ππααππαα⎛⎫
+++ ⎪
⎝⎭
⎛⎫
----- ⎪
⎝⎭
sin cos sin cos cos sin cos sin αααααααα--+=
=-+- tan 11tan αα+=
-=
2=-+.
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用，属于基础题.
18．（1）计算：()0.5
1lg2411log 2109--⎛⎫--++ ⎪
⎝⎭
；
（2）已知集合1393x A x ⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭
，{}|121B x a x a =-<<+，且B A ⊆，求a 的取值范围. 【答案】（1）
72；（2）
(]1,20,2⎡⎤
-∞-⎢⎥⎣⎦
U 【解析】（1）根据指数幂的运算及对数的性质计算可得.
（2）首先求出集合A ，再根据集合的包含关系得到不等式组解得. 【详解】
解：（1）原式1
2
lg 2lg 210192lg 210=-+
+11352
=-++7
2=. （2）{}139|123x A x
x x ⎧⎫
=<<=-<<⎨⎬⎩⎭
， ①当集合B =∅时，只要121a a -+…，解得2a -…；
②当集合B ≠∅时，必须满足121,
11,212,
a a a a -<+⎧⎪--⎨⎪+⎩
……解得1
02a 剟. 综上可知，a 的取值范围是(]1,20,2⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦
U .
【点睛】
本题考查指数幂的运算，集合的包含关系求参数的值，属于基础题. 19．已知函数()2ln x
f x a b x =⋅+，且()12f =，()24ln 2f =+.
（1）求a ，b 的值；
（2）求()f x 在1,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域.
【答案】（1）1
a =⎧⎨；（2
）ln 2,162ln 2⎤+⎦
【解析】（1）由()12f =，()24ln 2f =+.代入得到方程组，解得. （2）由（1）知()2ln x
f x x =+，根据函数的单调性即可得解.
【详解】
解：（1）因为()12f =，()24ln 2f =+，所以22,4ln 24ln 2,a a b =⎧⎨
+⋅=+⎩ 解得1,
1.a b =⎧⎨=⎩
（2）由（1）知()2ln x
f x x =+.因为2x
y =，ln y x =都是()0,∞+上的增函数，
所以()2ln x
f x x =+在1,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上也是增函数，
又1ln 22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()4162ln 2f =+，
所以()f x 在1
,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域为ln 2,162ln 2⎤+⎦. 【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式，指数、对数函数的单调性的应用，属于基础题. 20．已知函数()cos cos 4444x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. （1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）设函数()f x 在[]0,2π上的图象的最高点和最低点分别为A ，B ，O 为坐标原点，
(),0M π-，求()
OA OB MB +⋅u u u r u u u r u u u r
的值.
【答案】（1）[]
4,42k k πππ+（k Z ∈）；（2）26π 【解析】（1）由诱导公式及二倍角公式化简可得()1cos 22
x
f x =，再根据余弦函数的性质解答即可.
（2）由（1）可求A ，B 的坐标，再根据向量数量积的坐标运算计算可得. 【详解】 （1）因为2cos cos cos sin 44444444x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 所以
()11
cos cos cos sin sin cos
444444442222
2x x x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+⋅+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 令222
x
k k πππ+剟
（k Z ∈）， 得442k x k πππ+剟（k Z ∈），
所以函数()f x 的单调递减区间为[]
4,42k k πππ+（k Z ∈）. （2）由（1）知函数()f x 在[]0,2π上单调递减，
()1010cos 222f ==，()121
2cos 222
f ππ==-
所以10,
2A ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，12,2B π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
， 所以()110,2,2,022OA OB ππ⎛⎫⎛⎫
+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，又
()112,,03,22MB πππ⎛⎫⎛
⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭u u u r ，
所以()
2
236OA OB MB πππ+⋅=⨯=u u u r u u u r u u u r .
【点睛】
本题考查余弦函数的性质及平面向量的数量积的计算，属于基础题.
21．电子芯片是“中国智造”的灵魂，是所有整机设备的“心脏”.某国产电子芯片公司，
通过大数据分析，得到如下规律：生产一种高端芯片x （010x 剟
）万片，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万片的生产成本为200万元（总成本
=固定成本+生产成本），销售收入()F x （单位：万元）满足
()24004200,06,
8001000,610.x x x F x x x ⎧-+=⎨-<⎩
剟…假定生产的芯片都能卖掉.
（1）将利润()f x （单位：万元）表示为产量x （单位：万片）的函数；
（2）当产量x （单位：万片）为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？
【答案】（1）()()()24004000800,06
6001800,610x x x f x F x G x x x ⎧-+-=-=⎨
-<⎩
剟…；（2）产量为5万片时，公司所获利润最大，最大利润为9200万元.
【解析】（1）首先求出总成本函数()G x ，再由()()()f x F x G x =-计算可得； （2）由（1）利用分段函数的性质及二次函数的性质计算可得.
【详解】
（1）当产量为x 万片时，由题意得()800200G x x =+.
因为()()()24004000800,06,
6001800,610.x x x f x F x G x x x ⎧-+-=-=⎨
-<⎩剟… 所以()()()24004000800,06,
6001800,610.
x x x f x F x G x x x ⎧-+-=-=⎨
-<⎩剟… （2）由（1）可得，当06x 剟
时，()()2
40059200f x x =--+. 所以当5x =时，()max 9200f x =（万元）.
当610x <…时，()6001800f x x =-，()f x 单调递增，所以()()104200f x f =…（万元）
综上，当5x =时，()max 9200f x =（万元），即当产量为5万片时，公司所获利润最大，最大利润为9200万元. 【点睛】
本题考查分段函数模型的应用，二次函数的性质的应用，属于基础题. 22．已知函数()sin 2cos
cos 2sin
3
3
f x x x π
π
=+.
（1）若对任意,63x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，都有4f x m π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭…成立，求实数m 的取值范围；
（2）设函数(
)1
22
6g x f x π⎛⎫=-+
⎪⎝⎭求()g x 在区间[],3ππ-内的所有零点之和. 【答案】（1）1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
；（2）2π
【解析】（1）首先根据两角和的正弦公式得到()sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，从而得到4f x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的解析式，根据正弦函数的性质求出其值域，从而得到参数的取值范围；
（2）首先求出()g x 的解析式，根据正弦函数的对称性即可解答. 【详解】
解：（1）因为()sin 2cos
cos 2sin
3
3
f x x x π
π
=+
()sin 23f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭， 所以
sin 2sin 24436f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦.
又,63x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦
，所以2,662x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 故1sin 2,162x π⎛
⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即
min 142f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1
2
m …，
所以实数m 的取值范围为1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
（2）由（1）得
(
)1
122sin 22sin 2622
6322g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
令()0g x =
，得sin x =
，由正弦函数图象可知，sin x =[],3ππ-上有4个零点
这4个零点从小到大不妨设为1x ，2x ，3x ，4x ，则由对称性得
1222
x x π
+=-，34322
x x π
+=， 从而所有零点和为12342x x x x π+++=. 【点睛】
本题考查两角和的正弦公式的应用，三角函数的性质的应用，属于基础题.。