2018版高中数学第三章空间向量与立体几何疑难规律方法学案人教B版2-1

第三章 空间向量与立体几何
1 空间向量加减法运用的三个层次
空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算． 第1层 用已知向量表示未知向量
例1 如图所示,M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用向量错误!,错误!,错误!表示错误!和错误!。

解 错误!＝错误!＋错误!
＝错误!错误!＋错误!错误!
＝12错误!＋错误!(错误!－错误!）
＝错误!错误!＋错误!(错误!－错误!错误!)
＝错误!错误!＋错误!×错误!(错误!＋错误!)
＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!；
错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!
＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!）
＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!错误!）
＝错误!错误!＋错误!×错误!（错误!＋错误!)
＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!。

点评用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．
第2层化简向量
例2如图，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD.设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．
(1）错误!＋错误!＋错误!;
（2)错误!＋错误!(错误!＋错误!）；
（3）错误!－错误!（错误!＋错误!)．
解(1）错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。

(2）错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!＋错误!错误!＋错误!错误!
＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.
（3) 错误!－错误!（错误!＋错误!）
＝错误!－错误!＝错误!。

错误!、错误!、错误!如图所示．
点评要求空间若干向量之和,可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0。

两个向量相加的平行四边形法则在空间仍成立,求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则．
第3层证明立体几何问题
例3如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD 与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA ＝1∶3。

求证：B、G、N三点共线．
证明设错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c，
则错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!
＝－a＋错误!(a＋b＋c)＝－错误!a＋错误!b＋错误!c，
错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!(错误!＋错误!)
＝－a＋错误!b＋错误!c＝错误!错误!。

∴错误!∥错误!,即B、G、N三点共线.
2空间向量易错点扫描
易错点1对向量夹角与数量积的关系理解不清
例1“a·b〈0”是“<a，b〉为钝角”的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
错解a·b〈0⇔cos〈a，b〉＝a·b
｜a｜｜b｜〈0⇔〈a，b〉为钝角，所以“a·b<0”是“<a，b〉为钝角”的充要条件．错因分析错解中忽略了两个向量共线且反向的情
况．
剖析当〈a,b〉＝π时,a·b<0,但此时夹角不为钝角，所以“a·b<0"是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件．
正解必要不充分
总结a·b<0⇔a与b夹角为钝角或a与b方向相反，a·b>0⇔a与b夹角为锐角或a与b方向相同．
易错点2忽略两向量的夹角的定义
例2如图所示，在120°的二面角α—AB—β中，AC ⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB,BD⊥AB，垂足分别为A，B。

已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．
错解∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴错误!·错误!＝0,错误!·错误!＝0，
∵二面角α—AB—β的平面角为120°，∴〈错误!，错误!〉＝120°.
∴CD2＝错误!2＝（错误!＋错误!＋错误!)2
＝错误!2＋错误!2＋错误!2＋2错误!·错误!＋2错误!·错误!＋2错误!·错误!＝3×62＋2×62×cos 120°＝72，∴CD＝62。

错因分析 错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念．向量错误!，错误!的夹角与二面角α-AB —β的平面角互补，而不是相等．
正解 ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，
∴错误!·错误!＝0,错误!·错误!＝0,
∵二面角α—AB —β的平面角为120°，
∴〈错误!，错误!〉＝180°－120°＝60°.
∴CD 2＝错误!2＝（错误!＋错误!＋错误!）2
＝错误!2＋错误!2＋错误!2＋2错误!·错误!＋2错误!·错误!＋2错误!·错误!＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD ＝12。

易错点3 判断是否共面出错
例3 已知O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点，a ＝错误!
＋OB
→＋错误!,b ＝错误!＋错误!－错误!，则与a 、b 不能构成空间的一个基底的是( )
A.错误!
B.错误!
C.错误! D 。

错误!或错误!
错解 a ＝错误!＋错误!＋错误!，b ＝错误!＋错误!－错误!， 相加得错误!＋错误!＝错误!(a ＋b ），
所以错误!、错误!都与a 、b 共面，不能构成空间的一个基底，故选D 。

剖析错误!＋错误!＝错误!(a＋b)，说明错误!＋错误!与a、b共面，但不能认为错误!、错误!都与a、b共面．
对A、B:设错误!＝x a＋y b，
因为a＝错误!＋错误!＋错误!,b＝错误!＋错误!－错误!，
代入整理得（x＋y－1)错误!＋（x＋y）错误!＋（x－y）错误!＝0,因为O、A、B、C四点不共面，
所以OA，→、错误!、错误!不共面，
所以x＋y－1＝0，x＋y＝0，x－y＝0，
此时，x、y不存在，所以a、b与错误!不共面，
故a、b与错误!可构成空间的一个基底．
同理a、b与错误!也可构成空间的一个基底．
对C:因为a＝错误!＋错误!＋错误!，b＝错误!＋错误!－错误!，相减有错误!＝错误!(a－b），所以错误!与a、b共面，故不能构成空间的一个基底．
正解C
易错点4混淆向量运算和实数运算
例4阅读下列各式,其中正确的是（）A．a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c
B．a·b＝0⇒a＝0或b＝0
C．(a·b）·c＝a·（b·c)
D。

错误!·错误!＝｜错误!｜|错误!｜cos（180°－∠AOB）
错解A(或B或C）
剖析想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错．向量的数量积运算不满足消去律、结合律，故A、C错误；若a·b＝0⇒a＝0或b＝0或a⊥b，故B错误；错误!·错误!的夹角是180°－∠AOB。

正解D
易错点5忽略建系的前提
例5四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AE＝2，F为CE中点，试合理建立坐标系,求错误!、错误!所成角的余弦值．
错解以A为坐标原点,以错误!、错误!、错误!的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz.
此时错误!＝（1,1,1)，错误!＝(0，2，0),所以cos<错误!,错误!〉＝错误!.
剖析空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB与AD不垂直．
正解设AC、BD交于点O，则AC⊥BD.
因为F为CE中点,所以OF∥AE，
因为AE⊥平面ABCD，
所以OF⊥平面ABCD，OF⊥AC，OF⊥BD，
以O为坐标原点，以错误!、错误!、错误!的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。

此时错误!＝(1，0,1)，错误!＝(1，错误!，0),
所以cos<错误!,错误!〉＝错误!.
易错点6求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误
例6在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角A－BD1－C的大小．
错解以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则D(0，0,0），A1（1，0，1)，C1（0，1，1）．
由题意知错误!是平面ABD1的一个法向量，错误!＝（1，
0,1)，错误!是平面BCD1的一个法向量，错误!＝(0，1，1），所以cos〈错误!,错误!〉＝错误!＝错误!.
所以〈错误!,错误!〉＝60°。

所以二面角A－BD1－C的大小为60°.
剖析利用向量法求所成角问题,需注意所求的角的确切位置．
正解以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,
则D(0,0，0），A1（1,0，1），C1（0，1，1）．
由题意知错误!＝(1，0，1）是平面ABD1的一个法向量，错误!＝(0,1，1)是平面BCD1的一个法向量．
所以cos〈错误!,错误!〉＝错误!＝错误!,
所以〈错误!，错误!>＝60°。

结合图形知二面角A－BD1－C的大小为120°.
3空间直角坐标系构建三策略
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，
通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢,化解自如．
1．利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1已知直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB为直角，AB∥CD，AB＝4,AD＝2,DC＝1，试求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．
解如图，以D为坐标原点,分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴,建立空间直角坐标系,
则D（0，0，0)，C1（0，1，2），B(2，4,0)，C（0，1，0)，
所以错误!＝(－2，－3，2)，
错误!＝(0,－1，0）．
所以cos〈错误!，错误!〉＝错误!＝错误!.
故异面直线BC1与DC所成角的余弦值为错误!.
点评本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系,写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可．
2．利用线面垂直关系
例2如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知AB＝2，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝错误!。

试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．
解过B点作BP垂直BB1交C1C于P点，
因为AB⊥平面BB1C1C，所以BP⊥平面ABB1A1，
以B为原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x，y，z轴,建立空间直角坐标系．
因为AB＝错误!，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝错误!，
所以CP＝错误!，C1P＝错误!,BP＝错误!，则各点坐标分别为B（0，0，0）,A（0,0，错误!)，B1（0，2,0）,C(错误!，
－错误!，0)，C1(错误!,错误!，0),E(错误!,错误!，0)，A1（0，2，错误!）．
点评空间直角坐标系的建立,要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB⊥平面BB1C1C”，可作为建系的突破口．
3．利用面面垂直关系
例3如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD ＝2,∠ABC＝60°,E是BC的中点．将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图2），连接BC，BD。

求平面ABE与平面BCD所成的锐角的大小．
解取AE中点M，连接BM，DM.
因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC ＝60°,E是BC的中点，
所以△ABE与△ADE都是等边三角形，
所以BM⊥AE，DM⊥AE.
又平面BAE⊥平面AEC，所以BM⊥MD。

以M为原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x,y，z轴，
建立空间直角坐标系Mxyz,如图，
则E（1，0,0)，B(0，0,错误!)，C(2，错误!,0），D(0,错误!,0),所以错误!＝（2，0,0)，错误!＝(0，错误!，－错误!)，
设平面BCD的法向量为m＝（x，y，z），
由错误!取y＝1，得m＝（0，1，1),
又因平面ABE的一个法向量错误!＝（0，错误!,0），
所以cos〈m,错误!〉＝错误!＝错误!，
所以平面ABE与平面BCD所成的锐角为45°.
点评本题求解关键是利用面面垂直关系,先证在两平面内共点的三线垂直,再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值,即可得所求的两平面所成的锐角的大小．用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最
后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.
4用向量法研究“动态”立体几何问题
“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活．本文介绍巧解“动态"立体几何问题的法宝-—向量法，教你如何以静制动．1．求解、证明问题
例1在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F 分别是AB、BC上的动点,且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E。

证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1（a，0，a），C1（0，a，a）．
设AE＝BF＝x,
∴E（a，x，0），F(a－x，a，0)．
∴错误!＝（－x，a，－a），
错误!＝(a，x－a，－a)．
∵错误!·错误!＝(－x，a，－a)·（a，x－a，－a）
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
∴错误!⊥错误!,即A1F⊥C1E。

2．定位问题
例2如图,已知四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，在DG上是否存在点M，使得直线MB与平面BEF的夹角为45°？若存在,求出点M的位置;若不存在,请说明理由．
解题提示假设存在点M，设平面BEF的法向量为n,设BM与平面BEF所成的角为θ，利用sin θ＝错误!求出点M的坐标，若满足条件则存在．
解因为四边形CDGF，ADGE均为正方形，
所以GD⊥DA，GD⊥DC。

又DA∩DC＝D,所以GD⊥平面ABCD。

又DA⊥DC,所以DA,DG,DC两两互相垂直，如图,以D 为原点建立空间直角坐标系,
则B(1，1,0），E（1，0，1），F(0,1，1)．
因为点M在DG上，假设存在点
M(0，0，t)(0≤t≤1）使得直线BM与平面BEF的夹角为45°.
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z）．
因为错误!＝(0,－1，1），错误!＝(－1，0,1）,
则错误!即错误!令z＝1，得x＝y＝1，
所以n＝（1,1，1)为平面BEF的一个法向量．
又错误!＝(－1，－1，t），直线BM与平面BEF所成的角为45°,所以sin 45°＝错误!＝错误!＝错误!，
解得t＝－4±3错误!.又0≤t≤1,
所以t＝32－4.
故在DG上存在点M（0，0，3错误!－4），且DM＝3错误!－4时,直线MB与平面BEF所成的角为45°。

点评由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量
积将几何问题代数化，达到以静制动的效果.
5向量与立体几何中的数学思想
1．数形结合思想
向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系,体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形"和代数中的“数”有机地结合在一起．
例1如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，且A1A＝AB＝AD ＝2BC＝2，点E在棱AB上,平面A1EC与棱C1D1相交于点F.
(1）证明：A1F∥平面B1CE;
(2)若E是棱AB的中点，求二面角A1－EC－D的余弦值；
（3)求三棱锥B1－A1EF的体积的最大值．
（1)证明因为ABCD－A1B1C1D1是棱柱,
所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1。

又因为平面ABCD∩平面A1ECF＝EC，平面A1B1C1D1∩平面A1ECF＝A1F，
所以A1F∥EC.又因为A1F⊄平面B1CE，
EC⊂平面B1CE，所以A1F∥平面B1CE.
（2）解因为AA1⊥底面ABCD，∠BAD＝90°,
所以AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点，以AB,AD，AA1分别为x轴，y轴和z轴,建立如图所示空间直角坐标系．
则A1(0，0，2），E(1，0，0),
C(2，1,0），
所以错误!＝(1，0,－2）,错误!＝（2，1,－2）．
设平面A 1ECF 的法向量为m ＝（x ,y ,z )， 由错误!·m ＝0，错误!·m ＝0,
得错误!
令z ＝1，得m ＝（2,－2,1)．
又因为平面DEC 的法向量为n ＝(0，0，1），
所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ｜·｜n ｜＝13，
由图可知，二面角A 1－EC －D 的平面角为锐角， 所以二面角A 1－EC －D 的余弦值为错误!.
(3)解 过点F 作FM ⊥A 1B 1于点M ， 因为平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，
FM ⊂平面A 1B 1C 1D 1，
所以FM ⊥平面A 1ABB 1, 所以11111113
B A EF F B A E A B E V V S FM ∆⨯⨯－－＝＝ ＝错误!×错误!×FM ＝错误!FM 。

因为当F 与点D 1重合时,FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合),
所以当F 与点D 1重合时,三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最
大值为43.
2．转化与化归思想
空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题,利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．
例2如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB ＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点,D1F＝2FE。

（1）证明：平面DFC⊥平面D1EC；
(2）求二面角A－DF－C的平面角的余弦值．
分析求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
(1）证明以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A(1,0，0），B（1，2，0)，C（0，2，0），D1（0，0，2)．
∵E为AB的中点，
∴E(1，1，0）,
∵D1F＝2FE,
∴错误!＝错误!错误!＝错误!（1，1，－2）
＝（错误!，错误!，－错误!)，
∴错误!＝错误!＋错误!＝(0，0，2）＋(错误!，错误!,－错误!)
＝（错误!，错误!，错误!）．
设n＝（x，y，z）是平面DFC的法向量，
则错误!∴错误!
取x＝1得平面DFC的一个法向量n＝（1，0，－1）．设p＝（x,y，z)是平面D1EC的法向量，
则错误!∴错误!
取y＝1得平面D1EC的一个法向量p＝(1，1，1），
∵n·p＝（1，0，－1）·(1，1,1）＝0，
∴平面DFC⊥平面D1EC。

（2)解设q＝（x，y，z）是平面ADF的法向量，则错误!∴错误!
取y＝1得平面ADF的一个法向量q＝（0，1，－1)，设二面角A－DF－C的平面角为θ,由题中条件可知θ∈（错误!，π),则cos θ＝－错误!＝－错误!＝－错误!，
∴二面角A－DF－C的平面角的余弦值为－错误!. 3．函数思想
例3已知关于x的方程x2－（t－2）x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根,且c＝a＋t b，a＝（－1,1，3），b＝(1，0,－2)．问|c|能否取得最大值?若能,求出实数t的值及对应的向量b与c夹角的余弦值;若不能，请说明理由．分析写出｜c｜关于t的函数关系式，再利用函数观点求解．
解由题意知Δ≥0，得－4≤t≤－错误!,
又c＝(－1，1,3)＋t（1，0，－2)＝（－1＋t，1，3－
2t），
∴｜c｜＝－1＋t2＋3－2t2＋1
＝错误!.
当t∈错误!时，f(t）＝5错误!2＋错误!是单调递减函数，∴y max ＝f(－4），即|c|的最大值存在，
此时c＝（－5，1，11）．b·c＝－27，|c｜＝7 3.而|b｜＝错误!,
∴cos〈b,c>＝b·c
|b｜|c｜＝错误!＝－错误!.
点评凡涉及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解．4．分类讨论思想
例4如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a,P A⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方），问BC边上是否存在点Q，使错误!⊥错误!？
分析由错误!⊥错误!，得PQ⊥QD，所以平面ABCD内,点Q在以边AD为直径的圆上,若此圆与边BC相切或相交，则BC边上存在点Q，否则不存在．
解假设存在点Q（Q点在边BC上），使错误!⊥错误!,
即PQ⊥QD,连接AQ。

∵P A⊥平面ABCD,∴P A⊥QD。

又错误!＝错误!＋错误!且错误!⊥错误!,
∴错误!·错误!＝0，
即错误!·错误!＋错误!·错误!＝0.
又由错误!·错误!＝0，
∴错误!·错误!＝0,
∴AQ，→⊥错误!.
即点Q在以边AD为直径的圆上，圆的半径为错误!。

又∵AB＝1,由题图知，
当错误!＝1，即a＝2时，该圆与边BC相切，存在1个点Q满足题意；
当错误!>1,即a>2时，该圆与边BC相交,存在2个点Q 满足题意；
当错误!<1，即a〈2时，该圆与边BC相离，不存在点Q 满足题意．
综上所述,当a≥2时，存在点Q,使错误!⊥错误!;
当0<a<2时,不存在点Q，使错误!⊥错误!。

攀上山峰，见识险峰,你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。