2018届高考数学二轮复习 寒假作业(二十三)小题限时保分练——郑州质检试题节选(注意命题点分布)文

寒假作业(二十三) 小题限时保分练——郑州质检试题节选(注意命
题点分布)
(时间：40分钟 满分：80分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R}，B ＝{y |y ＝x 2
，x ∈R}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0≤x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |－1≤x ≤1}
D ．∅
解析：选A 依题意得A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}，A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}． 2．已知向量a ＝(－2，－3)，b ＝(λ，2)，若(a ＋b )⊥a ，则λ等于( ) A.12 B.72 C ．－12
D ．－7
2
解析：选B 依题意得(a ＋b )·a 2
，即13－2λ－6＝0，解得λ＝72.
3．若1＋tan α1－tan α＝2，则cos 2α
D ．－3
5
2－2tan α，tan α＝13，cos 2α＝1－tan 2
α1＋tan 2
α＝1－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1321＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫132
)
A.12i
B.12 C ．－i
D ．－1
解析：选D 依题意得，复数z ＝1－3i
3＋i ＝－i 2
－3i 3＋i ＝
－3＋3＋i
＝－i ，所以z
的虚部是－1.
5．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一
个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( )
A.176升
B.72升
C.
11366升 D.10933
升 解析：选A 设自上而下各节的容积构成等差数列{a n }，则自上而下依次设各节竹子的
容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，
a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9
＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝17
6
.
6．设双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1(a >0)的一条渐近线与直线3x －2y ＋1＝0平行，则a 的值为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：选C 依题意得，双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x ，于是有3a ＝3
2，解得a ＝2.
7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的n 的值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：选C 依题意，结合题中的程序框图，注意到sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＝3＋3
2<3，
sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋sin 4π6＝3
2
＋3>3，因此输出的n 的值为5.
8．设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆x 2
＋y 2
＝1相切，则m －n 的最大值是( )
A ．2 2
B ．2 3
C. 3
D. 2
解析：选A 依题意得，圆心(0,0)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离等于圆的半径1，于是有
2
m ＋
2
＋n ＋
2
＝1，即(m ＋1)2＋(n ＋1)2
＝4，设m ＋1＝2cos θ，n
＋1＝2sin θ，则m －n ＝(m ＋1)－(n ＋1)＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤22，当且仅当cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时取等号，因此m －n 的最大值是22，选A.
9．若x >y >0,1>z >0，则下列结论正确的是( ) A ．log y z >log x z B ．x z
<y z
C ．log z y >log z x
D ．z y
<z x
解析：选C 依题意，对于A ，注意到当x ＝4>y ＝2，z ＝12时，log y z ＝－1<log x z ＝－1
2，
因此A 不正确；对于B ，当x ＝4>y ＝2，z ＝12时，x z ＝2>y z
＝2，因此B 不正确；对于C ，
注意到此时函数f (t )＝log z t 在(0，＋∞)上单调递减，因此有log z y >log z x ，因此C 正确；对于D ，注意到此时函数g (t )＝z t
在(－∞，＋∞)上单调递减，因此有z y
>z x
，选项D 不正确．综上所述，选C.
10．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )
A ．20π B.205π
3
C ．5π D.55π
6
解析：选D 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r ＝1，其高h ＝1，∴球半径为R ＝
r 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫h 2
2＝1＋14＝54，∴该球的体积V ＝43πR 3＝55π6
. 11．设0<x <π2，则“x sin 2
x <1”是“x sin x <1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵0<x <π2，∴0<sin x <1，故x sin 2x <x sin x ，若“x sin x <1”，则“x sin 2
x <1”，
若“x sin 2
x <1”，则x sin x <
1sin x ，1
sin x
>1，此时x sin x <1可能不成立．由此可知，“x sin 2
x <1”是“x sin x <1”的必要不充分条件．
12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2
，若对任意的x ∈[m －2，m ]，不等式f (x ＋m )－9f (x )≤0恒成立，则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－4]
B ．[－4,0)
C ．(0,4]
D ．[4，＋∞)
解析：选D 依题意，函数f (x )在R 上单调递增，且当x ∈[m －2，m ]时，f (x ＋m )≤9f (x )＝f (3x )，所以x ＋m ≤3x ，x ≥m 2恒成立，于是有m
2≤m －2，解得m ≥4，即实数m 的取值范围
是[4，＋∞)．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分)
13．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝5，cos A ＝4
5，在△ABC 内任取一点P ，则△PAB 面积大于
1的概率为________．
解析：依题意，sin A ＝3
5，作CD ⊥AB 于D ，则有CD ＝AC ·sin A
＝3，在线段CD 上取点E ，使得DE ＝1，过点E 作AB 的平行线与边AC 交于点M ，与边BC 交于点N ，当点P 位于线段MN 上时，△PAB 的面积
为1.由MN ∥AB ，得MN AB ＝CE DC ＝23，则MN ＝4
3
，因此，要使△PAB 的面积大
于1，相应的点P 应位于△CMN ＝12×4
3×2
3＝4
9
.
答案：4
＋1≥0，
－1≥0，
y －3≤0，
则z ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －4y ＋1的最小值是________．
(1,0)x －4y 取得最大值1－4×0
的最小值是14. 答案：1
4
15．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是________．
解析：由三视图可知此几何体是如图所示的四棱锥，底面是对角线长
为2的正方形，顶点E 在底面的射影落在点A ，高为2，EC 的中点O 为外接球的球心．因为△EBC ，△EDC ，△EAC 都是直角三角形，所以点O 到顶点的距离都等于1
2EC ，根据勾股定理，得EC ＝22，即外接球的半径R ＝2，
所以其体积V ＝43πR 3
＝82π3
.
答案：82π
3
16．给出下列命题：
①实验测得四组数据(x ，y )的值为(1,2.1)，(2,2.8)，(3,4.1)，(4,5)，则y 与x 的回归直线方程为y ＝2x ＋1；
②函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g (x )＝2sin 3x 的图象；
③当x ∈[0,1]时，函数y ＝x 1－x 2
的最大值为12
；
④幂函数f (x )的图象经过点A (4,2)，则它在A 点处的切线方程为x －4y ＋4＝0. 其中正确命题的序号是________．
解析：对于①，注意到x ＝14×(1＋2＋3＋4)＝2.5，y ＝1
4×(2.1＋2.8＋4.1＋5)＝3.5，
样本点的中心(2.5,3.5)不在直线y ＝2x ＋1上，因此①不正确；对于②，将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象向右平移π4个单位长度得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π4＝2sin(3x －π)＝
－2sin 3x 的图象，因此②不正确；对于③，注意到当x ∈[0,1]时，y ＝x 1－x 2
＝x 2
－x
2
≤
x 2＋
－x
2
2
＝12，当且仅当x 2＝1－x 2，x ∈[0,1]，即x ＝22
时取等号，因此y ＝x 1－x 2
的最大值为12，③正确；对于④，设f (x )＝x α，则有f (4)＝4α＝22α
＝2，α＝12，所以f (x )
＝x 12，f ′(x )＝12x －12，f ′(4)＝12×4－12＝1
4
，因此函数f (x )的图象在点A 处的切线方程为
y －2＝14
(x －4)，即x －4y ＋4＝0，④正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④.
答案：③④。