概率的定义和基本性质
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(1)A1 没有红球; (2) A2 恰好有两个红球; (3) A3 至少有两个红球;
(4) A4 至多有两个红球; (5) A5 颜色相同的球;
12
(2) 有放回地摸球(有放回抽样)
例2 一个口袋中装有10个外形相同的球,其中6个是白球, 4个是红球."有放回"地从袋中取出3个球(所谓"有放回"是指 第一次取出一个球,记录下这个球的颜色后,再把这个球放回 袋中,然后再去任取一个球,依次类推), 求下述事件发生的概率.
这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现 可能性的大小.它就是事件发生的概率.
6
定义（概率的统计定义）
在一组不变的条件S下, 独立地重复做n次试验.
当试验次数n很大时,如果A的频率fn A稳定地在某一数值p
附近摆动; 而且一般来说随着试验次数的增多, 这种摆动的 幅度会越来越小, 则称数值p为事件A在条件组S下发生的概率.
3
实验者
德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
f 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f (H ) n的增大 1 . 2
4
性质
设 A 是随机试验 E 的任一事件,则当试验次数n 固定时,事件A的频率满足
21
作业(12-27)
P176 2. 4. 5. 6. 7.
22
排列组合的几个定理
1. 加法原理 定理 1 设完成一件事有n类方法,只要选择任何一类中 的一种方法,这件事就可完成.若第一类方法有m1种, 第二类 方法有m2种, ,第n类方法有mn种,并且这些方法里, 任何两种 方法都不相同,则完成这件事就有m1 m2 mn种方法.
例1 由甲地到乙地,有飞机、火车、汽车三种交通工具， 已知飞机每天一班, 火车每天两列, 汽车每天三趟, 问一天中由甲地到乙地有几种走法?
23
2. 乘法原理 定理2 设完成一件事有n个步骤,第一步有m1种方法, 第二步有m2种方法, ,第n步有mn种方法,并且完成这件事 必须经过每一步,则完成这件事共有m1 m2 mn种方法.
为什么？
5
6
有限性 等可能性
7
8 9 5 6 7 8 9109 8 7 6 5 9 8
7 6
5
10
古典概型中事件概率的计算公式
设试验 E 的样本空间由n 个样本点(基本事件)
构成, 即 1,2, ,n.
如果A为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点 (基本事件), 则事件 A 出现的概率为:
公理2 P() 1.
公理3 若A1, A2, , An , 两两互斥(两两互不相容),则
P
Ai
P
A1
A2
An
i1
=P A1 P A2 P An = P Ai .
15
i 1
（四）概率的基本性质
性质1 P() 0
性质2（有限可加性）
若事件A1, A2 ,, An两两互不相容，则
24
例3 由1,2,3三个数码可以组成多少个不同的两位数?
定理4 从n个不同元素中,无放回地取出m个(m n)元素
进行排列(简称选排列),共有n n 1
n
m
1
n
n! m
!
种不同的排列.选排列的种数用Anm或Pnm来表示,即Anm
=
n
n! m
!.
特别,当m n时的排列(简称为全排列)共有nn -1n 2 3 21 n!
试验 序号
1 2 3 4 5 6 7
n5
n 50
n 500
nH
f
nH
f
nH f
2
0.4
22 0.44 251 0.502
3
0.6
在2512处波动0.较 50大 249 0.498
波动最小
1
0.2 21 0.42 256 0.512
5 1
1.0
在1
25
处波动较小
0.50
0.22 24 0.48
247 0.494
20
例：某商店销售的某种商品由甲厂与乙厂供货，历 年供货资料表明，甲厂按时供货的概率为0.8，乙厂 供货的概率为0.7，甲乙厂同时供货的概率为0.6， 求此种商品在该商店货架上不断档的概率 ．
例：某人选购了两支股票．据专家预测，在未来的一 段时间里，第一支股票能赚钱的概率为2/3，第二支 股票能赚钱的概率为3/4，两支股票都能赚钱的概率 为3/5，求此人购买这两支股票中，至少有一支能赚 钱的概率 ．
证明：因为 A A A(B B) AB AB
且 AB AB
所以 P(A) P(AB) P(AB), 又 P(A- B) P(AB), 于是 P(A- B) P(A) P(AB)
18
例 设 A 、B为两事件，
且设 P(B) 0.3，P(A B) 0.6求 P(AB)
解
(1) 0 fn( A) 1;
(2) fn () 1, fn () 0
(3) 若 A1, A2 , , Ak 是两两互不相容的事件,则 f ( A1 A2 Ak ) fn( A1 ) fn( A2 ) fn( Ak ).
5
频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增 大时 , 频率趋于稳定值, 这就是频率的稳定性.
P( A)
m n
A中样本点的个数 中样本点总数
.
(*)
称此为概率的古典定义.
所谓古典概型就是利用关系式(*)来讨论事件发生的概率的模型.
11
古典概型的基本模型
(1) 无放回地摸球(无放回抽样)
例1 一个口袋中装有10个外形相同的球,其中6个是白球, 4个是红球."无放回"地从袋中取出3个球(所谓"无放回"是指 第一次取出一个球,不再把这个球放回袋中,再去取另一个球, 依次类推),求下述事件发生的概率.
8
问题1：向一个圆面内随机地投射一个点，如 果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认 为这是古典概型吗？为什么？
有限性
等可能性
9
问题2：某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验
的结果有：“命中10环”、“命中9环”、“命中8
环”、“命中7环”、“命中6环”、“命中5环”和
“不中环”。
你认为这是古典概型吗？
Cnm
Cm n1
Cnm11.
26
P(A B) P(A) P(B) Pຫໍສະໝຸດ AB)16证明 性质3
性质3 对任一事件A有P(A) 1 P(A)
证明： 因为 A A 且 AA 由性质2可得
1 P() P(A A) P(A) P(A)
P(A) 1 P(A)
17
证明 性质4 P(A B) P(A) P(AB)
251 0.502
2
0.4 18 0.36 262 0.524
4
0.8 27 0.54 258 0.516
随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 2
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得
的f 不一定相同; (2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动 幅度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定 性.即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近 摆动, 且逐渐稳定于 0.5.
例2 由甲地到乙地有A,B两条路线,由乙地到丙地有C,D,E 三条路线,问由甲地经乙地赴丙地有几种不同的路线? 3. 排列
定义 从n个不同的元素中,每次取出m个元素,按照一定顺序 排成一列, 称作从n个元素中每次取出m个元素的排列.
定理3 从n个不同元素中,有放回地逐一取出m个元素进行排列, (简称为可重复排列), 共有 nm 种不同的排列.
P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2 ) P(An )
性质3 对任一事件A有P(A) 1 P(A)
性质4 P(A B) P(A) P(AB)
若事件A, B满足A B，则有
P(A B) P(A) P(B) P( A) P(B) 性质5（加法原理） 对任意两个事件A与B，有
6.2 概率的定义和基本性质
（一）概率的统计定义
定义 : 在一组不变的条件下, 独立地重复进行了 n 次试验E,
如果事件 A 发生了次,则称为事件 A 发生的频数,
称比值
n
为在n次试验中事件
A 发生的频率,并记成
fn (A).
1
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次,
各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
P(AB) P(A B) P(A) P(AB)
而 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
所以 P(A B) P(B) P(A) P(AB)
于是 P(AB) 0.6 0.3 0.3
19
例 一批产品共有100件,其中90件为合格品, 10件为次品,从这些产品中任取3件,求其中有次品的概率.
记作P A p.
概率的统计定义直观地描述了事件发生 的可能性大小，反映了概率的本质内容，但 也有不足，即无法根据此定义直接计算某事 件的概率。
7
（二）概率的古典定义 古典型随机试验
如果一个随机试验E具有以下特性: 1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点； 2、每个样本点出现的可能性相同。 则称该随机试验为古典概型随机试验。
种不同的排列. 全排列的种数用Pn来表示.
例4 在北京,武汉,广州的民用航空线上需要几种不同的飞机票?
例5 在旗杆上有红,黄,蓝三面旗子,旗子的次序不同表示 不同的信号,问它们一共可以组成多少种不同的信号?
25
4. 组合
定义 从n个不同元素中,每次取出m个元素不考虑其先后 顺序作为一组, 称为从n个元素中每次取出m个元素的组合.
数字互不相同的概率.
(答案 : p P170 10 7 )
14
定义 设E是一个随机试验, 为它的样本点(基本事件)空间. 以E中所有的随机事件组成的集合为定义域, 定义一个函数 P(A) (A为任意一个随机事件),且P(A)满足如下三条公理, 则称函数P( A)为事件A的概率.
公理1 0 P( A) 1.
(1)A1 没有红球; (2) A2 恰好有两个红球; (3) A3 至少有两个红球;
(4) A4 至少有一个白球; (5) A5 颜色相同的球;
13
课堂练习
1o 将一枚硬币连抛3次,求恰有一次出现正面及至少 有一次出现正面的概率. 答案：3/8；1-1/8=7/8.
2o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,求各位
定理5 从n个不同元素中取出m个元素的组合(简称为一般组合)
共有 n n-1
n
m!
m
1
n!
m!n
m!
种不同的组合.
一般组合的组合种数用Cnm来表示,即Cnm
n!
m!n
m!.
易见,Cnm
Anm Pm
m!
n! n
m!.
例6 在北京,武汉,广州这些民用航线上,头等舱的座位有
几种不同的票价?
组合数的两个性质: Cnm Cnnm ,
(4) A4 至多有两个红球; (5) A5 颜色相同的球;
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(2) 有放回地摸球(有放回抽样)
例2 一个口袋中装有10个外形相同的球,其中6个是白球, 4个是红球."有放回"地从袋中取出3个球(所谓"有放回"是指 第一次取出一个球,记录下这个球的颜色后,再把这个球放回 袋中,然后再去任取一个球,依次类推), 求下述事件发生的概率.
这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现 可能性的大小.它就是事件发生的概率.
6
定义（概率的统计定义）
在一组不变的条件S下, 独立地重复做n次试验.
当试验次数n很大时,如果A的频率fn A稳定地在某一数值p
附近摆动; 而且一般来说随着试验次数的增多, 这种摆动的 幅度会越来越小, 则称数值p为事件A在条件组S下发生的概率.
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实验者
德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
f 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f (H ) n的增大 1 . 2
4
性质
设 A 是随机试验 E 的任一事件,则当试验次数n 固定时,事件A的频率满足
21
作业(12-27)
P176 2. 4. 5. 6. 7.
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排列组合的几个定理
1. 加法原理 定理 1 设完成一件事有n类方法,只要选择任何一类中 的一种方法,这件事就可完成.若第一类方法有m1种, 第二类 方法有m2种, ,第n类方法有mn种,并且这些方法里, 任何两种 方法都不相同,则完成这件事就有m1 m2 mn种方法.
例1 由甲地到乙地,有飞机、火车、汽车三种交通工具， 已知飞机每天一班, 火车每天两列, 汽车每天三趟, 问一天中由甲地到乙地有几种走法?
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2. 乘法原理 定理2 设完成一件事有n个步骤,第一步有m1种方法, 第二步有m2种方法, ,第n步有mn种方法,并且完成这件事 必须经过每一步,则完成这件事共有m1 m2 mn种方法.
为什么？
5
6
有限性 等可能性
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8 9 5 6 7 8 9109 8 7 6 5 9 8
7 6
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古典概型中事件概率的计算公式
设试验 E 的样本空间由n 个样本点(基本事件)
构成, 即 1,2, ,n.
如果A为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点 (基本事件), 则事件 A 出现的概率为:
公理2 P() 1.
公理3 若A1, A2, , An , 两两互斥(两两互不相容),则
P
Ai
P
A1
A2
An
i1
=P A1 P A2 P An = P Ai .
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i 1
（四）概率的基本性质
性质1 P() 0
性质2（有限可加性）
若事件A1, A2 ,, An两两互不相容，则
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例3 由1,2,3三个数码可以组成多少个不同的两位数?
定理4 从n个不同元素中,无放回地取出m个(m n)元素
进行排列(简称选排列),共有n n 1
n
m
1
n
n! m
!
种不同的排列.选排列的种数用Anm或Pnm来表示,即Anm
=
n
n! m
!.
特别,当m n时的排列(简称为全排列)共有nn -1n 2 3 21 n!
试验 序号
1 2 3 4 5 6 7
n5
n 50
n 500
nH
f
nH
f
nH f
2
0.4
22 0.44 251 0.502
3
0.6
在2512处波动0.较 50大 249 0.498
波动最小
1
0.2 21 0.42 256 0.512
5 1
1.0
在1
25
处波动较小
0.50
0.22 24 0.48
247 0.494
20
例：某商店销售的某种商品由甲厂与乙厂供货，历 年供货资料表明，甲厂按时供货的概率为0.8，乙厂 供货的概率为0.7，甲乙厂同时供货的概率为0.6， 求此种商品在该商店货架上不断档的概率 ．
例：某人选购了两支股票．据专家预测，在未来的一 段时间里，第一支股票能赚钱的概率为2/3，第二支 股票能赚钱的概率为3/4，两支股票都能赚钱的概率 为3/5，求此人购买这两支股票中，至少有一支能赚 钱的概率 ．
证明：因为 A A A(B B) AB AB
且 AB AB
所以 P(A) P(AB) P(AB), 又 P(A- B) P(AB), 于是 P(A- B) P(A) P(AB)
18
例 设 A 、B为两事件，
且设 P(B) 0.3，P(A B) 0.6求 P(AB)
解
(1) 0 fn( A) 1;
(2) fn () 1, fn () 0
(3) 若 A1, A2 , , Ak 是两两互不相容的事件,则 f ( A1 A2 Ak ) fn( A1 ) fn( A2 ) fn( Ak ).
5
频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增 大时 , 频率趋于稳定值, 这就是频率的稳定性.
P( A)
m n
A中样本点的个数 中样本点总数
.
(*)
称此为概率的古典定义.
所谓古典概型就是利用关系式(*)来讨论事件发生的概率的模型.
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古典概型的基本模型
(1) 无放回地摸球(无放回抽样)
例1 一个口袋中装有10个外形相同的球,其中6个是白球, 4个是红球."无放回"地从袋中取出3个球(所谓"无放回"是指 第一次取出一个球,不再把这个球放回袋中,再去取另一个球, 依次类推),求下述事件发生的概率.
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问题1：向一个圆面内随机地投射一个点，如 果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认 为这是古典概型吗？为什么？
有限性
等可能性
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问题2：某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验
的结果有：“命中10环”、“命中9环”、“命中8
环”、“命中7环”、“命中6环”、“命中5环”和
“不中环”。
你认为这是古典概型吗？
Cnm
Cm n1
Cnm11.
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P(A B) P(A) P(B) Pຫໍສະໝຸດ AB)16证明 性质3
性质3 对任一事件A有P(A) 1 P(A)
证明： 因为 A A 且 AA 由性质2可得
1 P() P(A A) P(A) P(A)
P(A) 1 P(A)
17
证明 性质4 P(A B) P(A) P(AB)
251 0.502
2
0.4 18 0.36 262 0.524
4
0.8 27 0.54 258 0.516
随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 2
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得
的f 不一定相同; (2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动 幅度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定 性.即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近 摆动, 且逐渐稳定于 0.5.
例2 由甲地到乙地有A,B两条路线,由乙地到丙地有C,D,E 三条路线,问由甲地经乙地赴丙地有几种不同的路线? 3. 排列
定义 从n个不同的元素中,每次取出m个元素,按照一定顺序 排成一列, 称作从n个元素中每次取出m个元素的排列.
定理3 从n个不同元素中,有放回地逐一取出m个元素进行排列, (简称为可重复排列), 共有 nm 种不同的排列.
P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2 ) P(An )
性质3 对任一事件A有P(A) 1 P(A)
性质4 P(A B) P(A) P(AB)
若事件A, B满足A B，则有
P(A B) P(A) P(B) P( A) P(B) 性质5（加法原理） 对任意两个事件A与B，有
6.2 概率的定义和基本性质
（一）概率的统计定义
定义 : 在一组不变的条件下, 独立地重复进行了 n 次试验E,
如果事件 A 发生了次,则称为事件 A 发生的频数,
称比值
n
为在n次试验中事件
A 发生的频率,并记成
fn (A).
1
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次,
各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
P(AB) P(A B) P(A) P(AB)
而 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
所以 P(A B) P(B) P(A) P(AB)
于是 P(AB) 0.6 0.3 0.3
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例 一批产品共有100件,其中90件为合格品, 10件为次品,从这些产品中任取3件,求其中有次品的概率.
记作P A p.
概率的统计定义直观地描述了事件发生 的可能性大小，反映了概率的本质内容，但 也有不足，即无法根据此定义直接计算某事 件的概率。
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（二）概率的古典定义 古典型随机试验
如果一个随机试验E具有以下特性: 1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点； 2、每个样本点出现的可能性相同。 则称该随机试验为古典概型随机试验。
种不同的排列. 全排列的种数用Pn来表示.
例4 在北京,武汉,广州的民用航空线上需要几种不同的飞机票?
例5 在旗杆上有红,黄,蓝三面旗子,旗子的次序不同表示 不同的信号,问它们一共可以组成多少种不同的信号?
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4. 组合
定义 从n个不同元素中,每次取出m个元素不考虑其先后 顺序作为一组, 称为从n个元素中每次取出m个元素的组合.
数字互不相同的概率.
(答案 : p P170 10 7 )
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定义 设E是一个随机试验, 为它的样本点(基本事件)空间. 以E中所有的随机事件组成的集合为定义域, 定义一个函数 P(A) (A为任意一个随机事件),且P(A)满足如下三条公理, 则称函数P( A)为事件A的概率.
公理1 0 P( A) 1.
(1)A1 没有红球; (2) A2 恰好有两个红球; (3) A3 至少有两个红球;
(4) A4 至少有一个白球; (5) A5 颜色相同的球;
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课堂练习
1o 将一枚硬币连抛3次,求恰有一次出现正面及至少 有一次出现正面的概率. 答案：3/8；1-1/8=7/8.
2o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,求各位
定理5 从n个不同元素中取出m个元素的组合(简称为一般组合)
共有 n n-1
n
m!
m
1
n!
m!n
m!
种不同的组合.
一般组合的组合种数用Cnm来表示,即Cnm
n!
m!n
m!.
易见,Cnm
Anm Pm
m!
n! n
m!.
例6 在北京,武汉,广州这些民用航线上,头等舱的座位有
几种不同的票价?
组合数的两个性质: Cnm Cnnm ,