线性代数第5章 特征值及特征向量

k1 p1 ( k1 0 常数)是对应于1 2 的全部特征向量.
18
回答问题
(1) 向量 0 满足 A ,
0 是 A 的特征向量吗？
(2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗? (3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值______.
E A 0 或
④
23
二、填空题
１．已知三阶方阵Ａ的三个特征值为１，－２，３．则
|A|＝（
－６
），
Ａ－１的特征值为（ ＡＴ的特征值为（
１，-1/2, 1/3
１，－２，３．
）， ）， ）．
Ａ２＋２Ａ＋Ｅ的特征值为（
4, 1, 16 0
２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ ３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（
）．
当
齐次线性方程组为 ( A 2E ) X O 2 3 2 时，
4 1 1 4 1 1 A 2E 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 1 得基础解系 P2 1 , P3 0 . 1 4
( ) a0 a1 a22 am m
是
( A) a0 E a1 A a2 A2 am Am
的特征值。如果 A 可逆，则
( ) a k k a11 a0 a1 am m
是
( A) a k A k a1 A1 a0 E a1 A am Am
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法
1
一、特征值与特征向量的定义 定义1 设 A 是 n 阶方阵，
若数 和 n维非零列向量 X，使得
注意
AX X 成立，则称 是方阵 A 的一个特征值， X 为方阵 A 的对应于特征值 的一个特征向量。 （1） A 是方阵
0, 1 ） ．
24
二、填空题
4．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ 都不可逆，则Ａ的特征值为（
1, -1, 3
）．
５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２， 则｜Ａ－５Ｅ｜＝（
-72 ）。
）
1 |A|
6、单位矩阵E的特征值，特征向量（ 7、AA* 的特征值是( )
8、设A为n阶方阵，｜A 0，A＊为伴随矩阵 ｜
(ri r ( A i E ))
且k1， , kn ri 不全为0
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例2 求
的特征值与特征向量.
解 特征值为 当 时, 解 同解方程组
得基础解系为
是 当 时, 解
时全部特征向量。
同解方程组 得基础解系为 是
T
时全部特征向量。
2 1 1 例3 A 0 2 0 的特征值和全部特征向量. 4 个特征值为 1,1,2
求 A 3 A 2 E 解 A的特征值全不为零，故A可逆。
A 123 2, A A A1 2 A1
( A) A 3 A 2 E 2 A1 3 A 2 E
的三个特征值为 (i ) 21 3i 2 ( i 1,2,3) i 计算得 (1) 1, ( 1) 3, ( 2) 3
解
第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.
2
A E
0 4
2 1 2 0 (2 ) 4 3 1 3
1
1
( 2) 2 ( 1)
特征值为 1 1, 2 3 2. 第二步：对每个特征值
代入齐次线性方程组
16
A E x 0, 求非零解。
A 12 n
(4) A 0 ，A 有一个特征值为______.
A E 0 ，A 有一个特征值为______.
A E 可逆, A 的特征值一定不等于______.
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(5) 一个特征值对应于几个特征向量? 0 是 Ann 的一个特征值，它对应的最大无关的
n 特征向量的个数=____。 r( 0 E A)
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n f A E 0 a n1 an 2 ann
称为矩阵 A 的特征方程。 特征方程 | A E | 0 的根即为A的特征值。 定理5.1.2 由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有 n 个根(重根按 重数计算)。因此，n 阶方阵在复数范围恰有 n 个特征值。 本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数范围内 进行。
因此， A 3 A 2 E ( 1) ( 3) 3 9
10
性质三 是对应于 证 设有一组数
两边左乘A，
的特征向量，
定理
设1 , 2 , , m是方阵A的m个特征值, p1 , p2 ,
, pm依次是与之对应的特征向量. 如果1 , 2 , , m 各不相等, 则 p1 , p2 , , pm 线性无关
A E 0 或 E A 0
定义2
已知 Ann (aij )nn , 数 ，则 E A 为A的特征矩阵
a11 a21 A E a n1 a12 a22 an 2 a1 n a2 n ann
是关于 的一个多项式，称为矩阵 A 的特征多项式。 4
是对应于 2 3 2 k2 P2 k3 P (k2 , k3不全为零） 3
的全部特征向量.
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齐次线性方程组为 ( A E ) X O 当 1 1时， 系数矩阵
1 1 1 1 0 1 A E 0 3 0 0 1 0 4 1 4 0 0 0 自由未知量: x 3 1 令 x3 1 得基础解系: P 0 1 1
5
设 n 阶方阵 A (aij ) 特征值为 1 , 2 ,, n , 则
f ( ) E A ( 1 )( 2 )( n )
n (1 2 n )n1 ( 1)n 12 n
又 n
(a11 a22 ann )n1 ( 1)n A
(1) Ax x ( kA) x ( k ) x
( 2) A2 x A Ax Ax Ax x 2 x 1 1 1 1 1 ( 3) A Ax A x A x A x x

7
推广 设 是方阵 A 的特征值， k 是 Ak 的特征值。 则
则称 为 A 的特征值，非零向量 X 称为 A 的对应于 (或属于)特征值 的特征向量。 把(1)改写为
( E A) X 0 (2)
是 A 的特征值 使得(2)有非零解 E A 0
(2)的所有非零解向量都是对应于 的特征向量.
3
分析
Ax x A E x 0 或 E A x 0 已知 x 0, 所以齐次线性方程组有非零解
E为n阶单位矩阵，若A有特征值，则(A* )2 E (|A| /λ)2+1 必有特征值：（ ）
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备用题
6 6 3 A 6 3 6 6 6 9
2 1 2 B 3 1 1 2 1 2
求矩阵 A，B 的特征值和特征向量。 解 （对矩阵A）
Ａ与ＡＴ特征向量相同．
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一、单选题
３．设Ａ是一个可逆矩阵，则其特征值中（
① 有零特征值 ③ 可能有也可能无零特征值
）
② 有二重特征值零 ④ 无零特征值
4、如果方阵A的任一一行的n个元素之和 都为a ,则A有一个特征值 （1） a (2) -a (3) 0 (4)a -1
答案： １．①；
２．①;
3.
证明：设是A的特征值 则 | A E | 0
定理5.1.1
| ( A E ) | 0,
T
即 | AT E | 0
所以是AT的特征值 反之，亦然。
注意：特征值相同并不意味着特征向量相同。
1 2 T 1 0 反例，A , A 有同一特征值 1 0 3 2 3 1 1 但对应的特征向量分别为 , 0 1
（2）特征向量 X 是非零列向量
1 0 例：E , X O, EX 1 X , 0 1 （3）方阵 A 的与特征值 对应的特征向量不唯一
（4）一个特征向量只能属于一个特征值
2
定义 设 A 是 n 阶方阵，如果数 和 n 维非零列向量 X
满足
AX X (1)
推论 (1) 1 2 n a11 a22 ann
( 2) 12 n A
定理5.1.3
6
二、特征值与特征向量的性质
性质1 设 是方阵 A 的特征值，对应的一个特征向量 x
证明 (1) k 是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为 x。 (2) 2 是 A2 的特征值，对应的特征向量仍为 x。 (3) 当 A 可逆时， 1 是 A1 的特征值，对应的 特征向量仍为 x。 证
11
注意
１. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． ３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而 言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
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三、特征值与特征向量的求法
(1) A E 0 求出 i 即为特征值;
3 E A 6
6 6
3
6
6 r3 r1 6 3 6 9 3 0 3 6 0 6 1
6
3
6
6
3
3 6 1
3 6 c1 c3 3 0
0
3
6 0
6 1
26
3 6
3 32 0
21
课堂练习
一、单选题
１．可逆矩阵Ａ与矩阵（
①ＡＴ； ②
）有相同的特征值．
③
Ａ－１；
Ａ2 ； ④ Ａ＋Ｅ
２．Ａ为n 阶方阵，则（ 也是Ａ－１属于λ
）结论成立．
① Ａ可逆，则矩阵Ａ属于特征值λ 的特征向量
－１的特征向量；
② Ａ的特征向量为方程(λ Ｅ－Ａ)Ｘ＝０的全部解；
③
④
特征向量的线性组合仍是特征向量．
一个特征向量对应几个特征值?(后面证明) (6) A 的各行元素之和均等于2,则 A 有一个特征值 是___, 它对应的特征向量是______。
a11 a12 a13 1 a11 a12 a13 2 1 a a22 a23 1 a21 a22 a23 2 21 21 1 a31 a32 a33 1 a31 a32 a33 2
的特征值。
8
（4） P , P ,, P 是方阵 A 对应于特征值 的线性无关的特征向量， 则对于任意一组不全为 0 的
1 2 s
常数 k1 , k 2 ,, k s ， k1 P k 2 P2 Ps k s 也是方阵 A 对应于特征值 的特征向量。 1
A 和 AT 性质2： 矩阵 的特征值相同。