高中数学课时分层作业18平面向量基本定理含解析新人教B版必修4

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高中数学第二章平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.1 平面向量基本定理示范教案新人教B版必修4

2.2.1 平面向量基本定理示范教案整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明．教学时要注意，形式化证明可以省略，特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解，但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题．建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式．特别强调直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆．三维目标1．通过探究活动，推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达，并通过例题的探究，掌握直线的向量表达式和中点公式．重点难点教学重点：平面向量基本定理和直线的向量表达式．教学难点：平面向量基本定理的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，用课件给出图象演示和讲解．通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题(1)给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？(2)如图1(1)，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，你能通过作图探究a与e1、e2之间的关系吗？(1) (2)图1活动：如图1(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM →＝λ1e 1，ON →＝λ2e 2.由于OC →＝OM →＋ON →，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式．或先让学生计算特例，从感性猜想入手．如图2，e 1，e 2是两个不平行的向量，容易看出AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2， EF →＝4e 1－4e 2，GH →＝－2e 1＋5e 2.图2由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来．由此可得：平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.教师强调：①我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}，a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式；②基底不唯一，关键是不共线；③由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解； ④基底给定时，分解形式唯一．接下来教师可引导学对该定理给出证明．证明：在平面内任取一点O(如图3)，作OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，OA →＝a .图3由于e 1与e 2不平行，可以进行如下作图：过点A 作OE 2的平行(或重合)直线，交直线OE 1于点M ，过点A 作OE 1的平行(或重合)直线，交直线OE 2于点N ，于是依据平面向量基本定理，存在两个唯一的实数a 1，a 2，分别有OM →＝a 1e 1，ON →＝a 2e 2，所以a ＝OA →＝OM →＋ON →＝a 1e 1＋a 2e 2.证明表示的唯一性：如果存在另一对实数x ，y 使OA →＝x e 1＋y e 2，则a 1e 1＋a 2e 2＝x e 1＋y e 2，即(x －a 1)e 1＋(y －a 2)e 2＝0.由于e 1与e 2不平行，如果x －a 1，y －a 2中有一个不等于0，不妨设y －a 2≠0，则e 2＝－x －a 1y －a 2e 1，由平面向量基本定理，得e 1与e 2平行．这与假设矛盾，因此x －a 1＝0，y －a 2＝0，即x ＝a 1，y ＝a 2.讨论结果：(1)(2)略．应用示例思路1例 1如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，F 使BF ＝13BC ，以a ，b 为基底分解向量AM →与HF →.图4解：由H 、M 、F 所在位置，有AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13BC →－12AD →＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b .点评：以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →，实为用a 与b 表示向量AM →与HF →.变式训练已知ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b .试用基底{a ，b }表示MA →，MB →，MC →和MD →(图5)图5解：因为AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b ，MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ，MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－12DB →＝－12a ＋12b .例 2 如图6，质量为10 kg 的物体A 沿倾斜角为θ＝30°的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力．(g ＝10 m/s 2)图6解：物体受到三个力：重力AG →，斜面支持力AN →，滑动摩擦力AM →.把重力AG →分解为平行于斜面的分力AF →和垂直于斜面的分力AE →.因为物体做匀速运动，所以AN →＝－AE →，AM →＝－AF →.因为|AG →|＝10(kg)×10(m/s 2)＝100(N)， |AF →|＝|AG →|·sin30°＝100×12＝50(N)，|AE →|＝|AG →|·cos30°＝100×32＝503(N)，所以|AM →|＝|AF →|＝50(N)，|AN →|＝|AE →|＝503(N)．答：物体所受滑动摩擦力大小为50 N ，方向沿斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50 3 N ，方向与斜面垂直向上．例 3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A ．①② B．②③ C ．①③ D．①②③ 活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵．让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．解析：平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量．综上所述，②③正确．答案：B图7．a>0，b<0 ．a<0，b<0 思路2例 1如图8，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图8活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具．由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a＝a 1e 1＋a 2e 2＝b 1e 1＋b 2e 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1，a 2＝b 2.解：∵AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，∴由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得(AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0.∴AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又∵A、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →，∴λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.∴(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.∴CM →＝－NM →＝MN →. ∴CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .点评：这里选取BN →，NM →作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1＋λ2e 2＝0的形例 2如图9，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE ＝2EC ，求AG GD 及BGGE的值．图9活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化后，结合向量的相等进行求解．解：设AG GD ＝λ，BGGE ＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)， ∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ21＋λAB →＋λ21＋λAC →.①又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ31＋μAC →.②比较①②，∵AB →、AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ21＋λ＝11＋μ，λ21＋λ＝2μ31＋μ.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32. 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果．3已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图10)，求证：对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP →关于基底{OA →，OB →}的分解式为OP →＝(1－t)OA →＋tOB →. ① 并且，满足①式的点P 一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平面向量基本定理知，存在实数t ，使AP →＝tAB →＝t(OB →－OA →)．图10所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →.所以点P 满足等式OP →＝(1－t)OA →＋tOB →，即有AP →＝tAB →，即P 在l 上．点评：由本例可知，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式①；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式①叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．在①中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，回忆我们是如何探究发现定理的？并通过思路2例3的证明又探究得到了线段AB 中点的向量表达式．教师点拨学生，在今后的学习中，要继续发扬这种勇于探索、勇于发现的科学精神．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图等，并把本节所学纳入知识体系中．作业课本本节练习B 组 2,3.设计感想1．本节课内容是在上节向量学习的基础上探究到的一个新定理——平面向量基本定理．教科书首先通过特例验证：对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1＋λ2e 2的向量表示．2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题目．3．应充分借助多媒体进行教学，整节课的教学主线应以学生探究为主，教师给予引导和点拨．充分让学生经历分析、探究问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决问题的方法就越恰当而简捷．备课资料一、三角形中三条中线共点的证明如图11所示，已知在△ABC 中，D 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点，设中线AD 、BE 相交于点P.图11求证：AD 、BE 、CL 三线共点．分析：欲证三条中线共点，只需证明C 、P 、L 三点共线．证明：设AC →＝a ，AB →＝b ，则AL →＝12b ，CL →＝AL →－AC →＝－a ＋12b .设AP →＝mAD →，则AC →＋CP →＝m(AC →＋CD →)，CP →＝(－1＋m)AC →＋mCD →＝(－1＋m)a ＋m[12(b －a )]＝(－1＋12m)a ＋12m b .①又设EP →＝nEB →，则CP →－CE →＝n(EC →＋CB →)，∴CP →＝(1－n)CE →＋nCB →＝－12(1－n)a ＋n(b －a )＝(－12－12n)a ＋n b .②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋12m ＝－12－12n ，12m ＝n.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝13.∴CP →＝－23a ＋13b ＝23(－a ＋12b )＝23CL →.∴C、P 、L 三点共线．∴AD、BE 、CL 三线共点．二、备用习题1．如图12所示，已知AP →＝43AB →，AQ →＝13AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )图12A.13OA →＋43OB → B ．－13OA →＋43OB →C ．－13OA →－43OB → D.13OA →－43OB →2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|＝m ，|e 2|＝n ，若c ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则|c |的最大值为( )A ．λ1m ＋λ2nB ．λ1n ＋λ2mC ．|λ1|m ＋|λ2|nD ．|λ1|n ＋|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→等于( )A.12(e 1＋e 2＋e 3)B.13(e 1＋e 2＋e 3) C.23(e 1＋e 2＋e 3) D ．－13(e 1＋e 2＋e 3) 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如图13，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中与OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图13参考答案：1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.611。

人教新课标版数学高一B版必修4学案平面向量基本定理

2.2.1 平面向量基本定理明目标、知重点 1.理解平面向量的基本定理及其意义.2.了解向量一组基底的含义，在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.掌握直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式.4.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.1.平面向量基本定理如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2. 2.基底的概念把不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}.a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式. 3.直线的向量参数方程式已知A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，对直线l 上任意一点P ，存在唯一的实数t 满足向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →，反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应.向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数. 4.线段中点的向量表达式在向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →中，若t ＝12，则点P 是AB 的中点，且OP →＝12(OA →＋OB →)，这是线段AB 的中点的向量表达式.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？探究点一平面向量基本定理的提出思考1 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .答通过观察，可得：AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →＝4e 1－4e 2， GH →＝－2e 1＋5e 2， HG →＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1.思考2 根据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？答若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.思考3 上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a 的表示式是否相同？平面向量的基底唯一吗？答同一平面内可以作基底的向量有无数组，不同基底对应向量a 的表示式不相同. 不唯一.只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底. 探究点二平面向量基本定理的证明思考1 证明定理中λ1，λ2的存在性.如图，e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式，请通过作图探究a 与e 1、e 2之间的关系. 答如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a ，过点C 分别作平行于OB ，OA 的直线，交直线OA 于点M ，交直线OB 于点N ，有OM →＝λ1OA →，ON →＝λ2OB →，∵OC →＝OM →＋ON →，∴a ＝λ1e 1＋λ2e 2.思考2 如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和e 1、e 2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，证明λ1，λ2是唯一确定的.(提示：利用反证法) 答假设存在另一组实数λ′1，λ′2也能使a ＝λ′1e 1＋λ′2e 2成立，则λ′1e 1＋λ′2e 2＝λ1e 1＋λ2e 2. ∴(λ′1－λ1)e 1＋(λ′2－λ2)e 2＝0.∵e 1、e 2不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0， ∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.∴使a ＝λ1e 1＋λ2e 2成立的实数对λ1，λ2是唯一的.例1 已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c . 解 ∵a ，b 不共线，∴可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2.又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4.解得x ＝1，y ＝－2，∴c ＝a －2b .反思与感悟选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.这有时要利用平面几何知识.要注意将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析解决.跟踪训练1 如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →. 解设AB →＝a ，AD →＝b ，则AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →＝12a ＋b ，①AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b ，②由①②得⎩⎨⎧12a ＋b ＝c ，a ＋12b ＝d ，解得⎩⎨⎧a ＝－23c ＋43d ，b ＝43c －23d ，即AB →＝－23c ＋43d ，AD →＝43c －23d .例2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →. 解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .反思与感悟用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.跟踪训练2 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b . (1)用a 和b 表示向量OC →、DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值.解 (1)由题意，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.探究点三直线的向量参数方程式思考1 阅读教材97页下半页到98页上半页，你能说出什么是直线的向量参数方程吗？答若P 在直线AB 上(或P 、A 、B 共线)，则一定存在实数t ，使得OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. 思考2 直线的向量参数方程式有什么用途？答利用直线的向量参数方向可证明三点共线.小结若点A 、B 、P 满足此方程式且OA →与OB →系数之和为1，则A 、B 、P 三点共线.反过来也成立，即若A 、B 、P 共线，且OP →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n ＝1.例如，如图，设一直线上三点A 、B 、P 满足AP →＝λPB →(λ≠－1)，O 是平面上任一点，则OP →＝OA →＋λOB →1＋λ.1.已知O 、A 、B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，且P 为靠近A 点的线段AB 的一个三等分点，则OP →等于( ) A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.14a ＋34b D.34a ＋14b 答案 B解析 ∵AP →＝13AB →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b .2.设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______.(写出所有满足条件的序号) 答案 ①②④解析对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)， ∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底.3.如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________. 答案 43解析设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.4.已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →. 解连接AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23×⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC → ＝23AB →＋13BC → ＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .1.对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底. 2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.一、基础过关1.若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A.e 1－e 2，e 2－e 1 B.2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C.2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2 答案 D2.下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量. A.①② B.②③ C.①③ D.①②③答案 B3.若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A.a ＝0，b ＝0 B.λ＝μ＝0 C.λ＝0，b ＝0 D.a ＝0，μ＝0 答案 B4.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( ) A.a >0，b >0 B.a >0，b <0 C.a <0，b >0 D.a <0，b <0答案 C解析当点P 落在第Ⅰ部分时，OP →按向量OP 1→与OP 2→分解时，一个与OP 1→反向，一个与OP 2→同向，故a <0，b >0.5.设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案－74m ＋138n解析设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.6.在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________. 答案 23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c . 7.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN →与CM →相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →. 解 ∵AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知存在实数λ满足AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →＝13λb ＋(1－λ)a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数μ满足 AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →＝μ2a ＋(1－μ)b .∴⎩⎨⎧1－λ＝μ2，1－μ＝λ3，解得⎩⎨⎧λ＝35，μ＝45.∴AE →＝25a ＋15b .二、能力提升8.M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( )A.6ME →B.－6MF →C.0D.6MD → 答案 C解析 MA →＋MB →＋MC →＝MA →＋2MD →＝MA →＋AM →＝0.9.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为______. 答案 6解析如图，以OA 、OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →. 在Rt △OCD 中，∵|OC →|＝23， ∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →， OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.10.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 答案 12解析易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝12.11.在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →. 解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .12.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1. 证明设AB →＝b ，AC →＝c ，则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →，又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →， ∴由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得 ⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b .又∵b 与c 不共线.∴⎩⎨⎧ 12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧ λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1. 三、探究与拓展13.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE 的值.解设AGGD ＝λ，BGGE ＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →，∴AD →＝12(AB →＋AC →).又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)，∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AGGD ＝4，BGGE ＝32.。

高中数学人教B版必修四学案：第二单元 2.2.1 平面向量基本定理 Word版含答案

2.2.1平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一平面向量基本定理思考1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？思考2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？思考3若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？梳理(1)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么该平面内的________向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝________.(2)基底把________向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.知识点二直线的向量参数方程式思考1 什么是直线的向量参数方程？思考2 直线的向量参数方程式有什么用途？梳理 (1)直线的向量参数方程式已知A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，对直线l 上________一点P ，存在唯一的实数t 满足向量等式OP →＝____________，反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有________的一个点P 与之对应.向量等式OP →＝________叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称________. (2)线段中点的向量表达式在向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →中，若t ＝12，则点P 是AB 的中点，且OP →＝________，这是线段AB 的中点的向量表达式.类型一对基底概念的理解例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A.①② B.②③ C.③④ D.②反思与感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.跟踪训练1 若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A.e 1－e 2，e 2－e 1 B.2e 1－e 2，e 1－12e 2C.2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2类型二平面向量基本定理的应用例2 如图所示，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.引申探究若本例中其他条件不变，设DE →＝a ，BF →＝b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →.反思与感悟将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.跟踪训练2 如图所示，在△AOB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于点P ，用基底a ，b 表示OP →.1.下列关于基底的说法正确的是( )①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A.① B.② C.①③ D.②③2.如图，已知A B →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( )A.a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b 3.已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________.4.如图所示，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则当以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，当以a ，c 为基底时，AC →可表示为________.5.已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →，BC →，EF →.1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.答案精析问题导学知识点一思考1 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．思考2 不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示．思考3 由已知得λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，即(λ1－μ1)e 1＝(μ2－λ2)e 2. ∵e 1与e 2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，∴λ1＝μ1，λ2＝μ2. 梳理 (1)不平行任一 a 1e 1＋a 2e 2 (2)不共线知识点二思考1 若P 在直线AB 上(或P 、A 、B 共线)，则一定存在实数t ，使得OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. 思考2 利用直线的向量参数方程可证明三点共线．梳理 (1)任意 (1－t )OA →＋tOB →唯一 (1－t )OA →＋tOB →参数 (2)12(OA →＋OB →) 题型探究例1 B 跟踪训练1 D例2 解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →， ∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .引申探究解取CF 的中点G ，连接EG .∵E ，G 分别为BC ，CF 的中点， ∴EG →＝12BF →＝12b ，∴DG →＝DE →＋EG →＝a ＋12b .又∵DG →＝34DC →＝34AB →，∴AB →＝43DG →＝43(a ＋12b )＝43a ＋23b . 又∵AD →＝BC →＝BF →＋FC → ＝BF →＋12DC →＝BF →＋12AB →，∴AD →＝BC →＝b ＋12(43a ＋23b )＝23a ＋43b . 跟踪训练2 OP →＝15a ＋25b .当堂训练1．C 2.B 3.－15 －12 4.a ＋b 2a ＋c5．解连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，∴DC 綊FB ，∴四边形DCBF 为平行四边形．依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝12b ， BC →＝FD → ＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝⎛⎭⎫a －12b －12×12b ＝14b －a .。

数学人教b版必修4教案：2.2.1 平面向量基本定理含答案

学生学情分析：1.平面向量基本定理的学习是在学生系统学习了向量的概念及线性运算的基础上进行的，是对向量加法和数乘运算的进一步应用.此前，学生已在物理中初步掌握了力、速度、位移等的分解，为理解平面向量基本定理奠定了一定基础. 2．学生对向量加、减法及数乘等运算的意义与作用认识不够，容易将向量的运算与数的运算混淆。

3．对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。

教材分析：1.教材中给出了一个实际例子(火箭升空的某一时刻速度的分解)，已经让学生感受到向量分解的实际背景，但这个背景对于学生来说有些陈旧，且图片有些偏离实际(火箭与地面形成了45度的夹角，与实际上火箭发射方向一般开始时垂直于地面不符).因此需要设计一个更具时代气息的问题，通过类比来激发学生学习新知的兴趣和欲望.2本节课主要内容是平面向量基本定理及其应用,学生在前面已经掌握了向量的基本概念、向量的加减运算法、实数与向量的积、向量共线充要条件,这些都是学习本节内容的基础知识,本节课内容是教材第5章中最重要的内容之一.向量具有数和形的两种特征,是数学中解决几何问题的工具,可以使复杂问题简单化、直观化,使代数问题几何化、几何问题代数化,解决起来更加简捷;而平面向量基本定理是把几何问题向量化的理论基础,这一定理说明了同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合.定理本身蕴涵着严谨、条理的数学思维方式,通过合理引导,可以培养学生良好的个性心理品质和较高的数学素养.3.本节课的重点是平面向量基本定理,也是本节课的难点.突破难点的关键是在充分理解向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件的基础上,多方位、多角度设计有关训练题,从而加深对该定理的理解.4.本课之后要研究向量的坐标表示及运算.本课要从向量的线性运算中得出平面向量基本定理，为下一课定义向量的坐标提供理论基础，从而彻底实现“向量运算的代数化”.所以本课具有承前启后的作用.课标分析向量不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具。

【精选】_高中数学第二章平面向量第18课时平面向量基本定理课件新人教B版必修4

二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答，大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
1 说基础·名师导读知识点 1 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理如果 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量 a，存在唯一的一对实数 a1，a2，使 a＝a1e1＋a2e2. 2．基底把不共线向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2 叫做向量 a 关于基底{e1，e2}的分解式．
2 说方法·分类探究类型一对基底概念的理解【例 1】若向量 a，b 不共线，且 c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断 c，d 能否作为基底．
解析：设存在实数 λ 使得 c＝λd，则 2a－b＝λ(3a－2b)，即 (2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.
由于 a，b 不共线，从而 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的，从而 c，d 不共线，故 c，d 能作为基底.
解析：因为 3λ＋(1－3λ)＝1 且 λ∈R，所以结合直线的向量参数方程式可知点 C 的轨迹是直线 AB.
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。

高中数学人教B版必修4课时作业：2.2.1 平面向量基本定理 Word版含解析

2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理【情境导学】轰炸机进行投弹攻击时,并不是在攻击目标的正上方进行投弹,总是在攻击目标之前投掷,也就是说炸弹的实际位移可以分解成水平位移与竖直位移,从上面的例子我们考虑是否对任意向量都可以分解成两个不在同一方向上的向量?提示:平面内任何向量都能用两个不平行的向量来表示.【选题明细表】1.设e1,e2是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是( C )(A)e1与e1-e2 (B)e1+e2与e1-3e2(C)e1-2e2与-3e1+6e2 (D)2e1+3e2与e1-2e2解析:对于C,-3e1+6e2=-3(e1-2e2),所以e1-2e2与-3e1+6e2共线,不能作为基底,故选C.2.(2017·山西师大附中高一检测)如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为( D )(A)3e1-2e2(B)-3e1-3e2(C)2e1+3e2(D)3e1+2e2解析:由图可知a=e1+2e2,b=e1-2e2,c=e1+2e2.所以a+b+c=(e1+2e2)+(e1-2e2)+(e1+2e2)=3e1+2e2.故选D.3.如图,设一直线上三点A,B,Pλλ≠-1),O是平面上任一点,则( A )解析:法一因为A,B,P三点共线,所以一定存在实数t,,而t满足(1-t)+t=1,选择项中只有+符合.法二由=λ,得-=λ所以(λ≠-1).4.当m,n(m,n∈R)满足什么条件时,才能使a,b,c的终点在同一条直线上(设O为a,b,c的公共始点),其中c=ma+nb且( D )(A)m+n=-1 (B)m+n=0(C)m-n=1 (D)m+n=1解析:因为A,B,C三点共线,所以∈R),所以=(1-t)+t即c=(1-t)a+tb,令m=1-t,n=t,即有c=ma+nb且m+n=1.5.如图,在▱ABCD中是BC的中点,则= .(用a,b表示)解析:是BC的中点,所以又,所以所以=+=-答案a+6.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内所有向量的一组基底,则实数λ的取值范围是.解析:要使a,b作为基底,使a,b不共线即可,所以所以λ≠4,所以λ的取值范围(-∞,4)∪(4,+∞).答案:(-∞,4)∪(4,+∞)7.在△ABC中,已知AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC于H,M为AH的中点,λμ则λ,μ的值是( B )解析:如图,在Rt△ABH中,∠ABH=60°,AB=2,所以BH=1.又BC=3,所以又M为AH中点,所以故λμ故选B.8.(2017·河南郑州月考)如图所示,在△ABC中是BN上的一点,则实数m的值为( C )解析:=x,则+x=(1-x)由题意,根据平面向量基本定理得消去x,解得故选C.9.(2017·黑龙江青岗中学月考)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点λλλ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.解析:=-由平面向量基本定理得λ1λ2所以λ1+λ2答案10.(2017·湖北仙桃汉江中学期中)如图,▱ABCD中,E,F分别是BC,DC的中点,G为交点,试以a,b为基底表示解:根据图形得因为,所以存在实数x使所以又,所以同样存在实数y使=-所以解得x=,y=.所以11.点L、M、N分别为△ABC的边BC,CA,AB上的点,且若求证:l=m=n.证明:则由得由由得因为所以即(a+l b)+(b+mc)+(c+na)=0,所以(1+n)a+(1+l)b+(1+m)c=0,又因为a+b+c=0,所以a=-b-c,所以(1+n)(-b-c)+(1+l)b+(1+m)c=0, (l-n)b+(m-n)c=0,因为b与c不共线,所以l-n=0且m-n=0,所以l=n且m=n, 即l=m=n.。

高B数学必修四课件平面向量基本定理

05
典型例题解析
例题一：判定向量共线
题目描述
已知向量$vec{a} = (2, 1)$，向量 $vec{b} = (4, m)$，若$vec{a}$ 与$vec{b}$共线，求$m$的值。
解析过程
根据向量共线的性质，若两向量共线，则它们的坐标成比例。设 $vec{a} = kvec{b}$，则有$(2, 1) = k(4, m)$。通过比较对应坐标，可得$2 = 4k$和$1 = km$，解这个方程组可得$k = frac{1}{2}$，$m = 2$。
平面向量基本定理表明，平面内的任一向量都可以由两个不共线的向量线性表示。
几何意义
平行四边形法则
以两个向量为邻边作平行四边形，则这个平行四边形的对角线就表示这两个向量的和。
三角形法则
向量的线性运算
向量的加、减、数乘等运算都可以归结为向量的线性运算，而平面向量基本定理为这些运算提供了几何解释和依据。
向量的减法
若向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，则向量a-向量b=(x1-x2,y1-y2)。即向量的减法满足三角形法则。
向量的数乘运算
定义
实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的模是|λa|=|λ||a|，它的方向与λ的值有关：当λ>0时，λa与a同向；当λ<0时，λa与a反向；当λ=0时，λa是零向量。
向量垂直性质
若向量a与向量b垂直，则它们的点积a·b=0；反之，若a·b=0
，则向量a与向量b垂直。
03
平面向量的坐标运算
向量的坐标表示
定义
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 a=xi+yj。因此，把实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。

数学人教B版必修4课后训练：2.2.1平面向量基本定理含

平面向量基本定理练习1．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2.则x －y 的值等于( )A ．3B ．－3C ．0D ．22．设e 1，e 2是一个平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 1＋e 23．在ABCD 中，AC 与BD 交于点M .若设AB ＝a ，AD ＝b ，则以下各选项中，与－12a ＋12b 相等的向量有( ) A ．MA B ．MB C ．MC D ．MD4．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R )与b ＝－(e 2－2e 1)共线，则有( )A ．λ＝0B ．λ＝－1C ．λ＝－2D ．λ＝125．如图所示，已知在△ABC 中，M ，N ，P 是线段AB 的四等分点，CB ＝e 1，CA ＝e 2，则下列正确的是( )A ．CN ＝12e 1＋12e 2，CM ＝14e 1＋34e 2 B ．AB ＝e 1－e 2，CP ＝14e 1＋34e 2 C ．CP ＝34e 1＋14e 2，AM ＝14(e 1＋e 2) D ．AM ＝14(e 1－e 2)，AB ＝e 1＋e 2 6．设e 1，e 2为一组基底，a ＝－e 1＋2e 2，b ＝e 1－e 2，c ＝3e 1－2e 2，以a ，b 为基底可以将c 表示为c ＝p a ＋q b ，则实数p ，q 的值分别为__________．7．起点相同的三个非零向量a ，b,3a －λb 的终点在一条直线上，则λ＝__________.8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点A (1,1)，B (－1,2)，若点C 满足OC ＝αOA ＋βOB ，其中，α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为__________．9．如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM .表示成a＝λb＋μc(λ，μ∈R)的形式？若能，写出表达式；若不能，请说明理由．参考答案1．答案：A2．答案：B3．解析：12-a＋12b＝12(b－a)＝12(AD－AB)＝12BD＝BM＝MD.答案：D4．解析：∵a与b共线，且b≠0，∴存在实数μ，使得a＝μb，即e1＋λe2＝－μ(e2－2e1)，则(2μ－1)e1＝(μ＋λ)e2.∴210,0.μμλ-=⎧⎨+=⎩解得1,21.2μλ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩答案：D5．解析：由题意得，N为线段AB的中点，所以CN＝12(CB＋CA)＝12(e1＋e2)＝12e1＋12e2，又M为AN的中点，所以CM＝12(CA＋CN)＝212111222⎛⎫++⎪⎝⎭e e e＝14e1＋34e2，故选项A正确．选项B中CP＝34e1＋14e2，选项C中AM＝14(e1－e2)，选项D中AB＝e1－e2.答案：A6．解析：c＝p a＋q b，即3e1－2e2＝(－p e1＋2p e2)＋(q e1－q e2)＝(q－p)e1＋(2p－q)e2，所以3,22,q pp q-=⎧⎨-=-⎩解得1,4.pq=⎧⎨=⎩答案：1,47．解析：设OA＝a，OB＝b，OC＝3a－λb＝3OA－λOB，∵A，B，C三点共线，∴3＋(－λ)＝1，∴λ＝2.答案：28．解析：由α＋β＝1，可知点C的轨迹是直线AB，通过直线的两点式求解直线AB的方程即可．答案：x＋2y－3＝09．解：设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，BN＝BC＋CN ＝2e1＋e2.∵A，P，M与B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ，使AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋μe2，∴BA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而BA＝BC＋CA＝2e1＋3e2，∴由平面向量基本定理，得22, 3 3.λμλμ+=⎧⎨+=⎩∴4,53.5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴AP ＝45AM ，∴AP ∶PM ＝4∶1. 10．解：能．假设a ＝λb ＋μc (λ，μ∈R )，将a ，b ，c 代入a ＝λb ＋μc ，得－e 1＋3e 2＋2e 3＝(4λ－3μ)e 1＋(－6λ＋12μ)e 2＋(2λ＋11μ)e 3，则143,3612,2211,λμλμλμ-=-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩解得1,101.5λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以a ＝110-b ＋15c .所以a 能表示成a ＝λb ＋μc (λ，μ∈R )的形式，表达式为a ＝110-b ＋15c .。

2019_2020学年高中数学课时分层作业18平面向量基本定理(含解析)新人教B版必修4

课时分层作业(十八) 平面向量基本定理(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2B [B 项中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， ∴(6e 1－8e 2)与(3e 1－4e 2)共线， ∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底．] 2．如图，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2C [不妨令a ＝CA →，b ＝CB →，则a －b ＝CA →－CB →＝BA →，由平行四边形法则可知BA →＝e 1－3e 2.]3．如图所示，矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2＋5e 1) D.12(5e 2－3e 1) A [OC →＝12AC →＝12(BC →＋AB →)＝12(BC →＋DC →)＝12(5e 1＋3e 2)．] 4．若D 点在△ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )A.165B.125C.85D.45C [∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝125－45＝85.]5．已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，边AB 的中点为D ，若2PD →＝(1－λ)PA →＋CB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上D ．△ABC 的内部C [由2PD →＝(1－λ)PA →＋CB →得 2(PA →＋AD →)＝PA →－λPA →＋CB →， 2PA →＋2AD →＝PA →－λPA →＋CB →， PA →＋2AD →－CB →＝－λPA →.∵边AB 的中点为D ， ∴PC →＝－λPA →， ∴P 在直线AC 上．] 二、填空题6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________(用b ，c 表示) 23b ＋13c [AD →＝AB →＋BD →，又BD →＝2DC →， ∴BD →＝23BC →.∵BC →＝AC →－AB →＝b －c ，∴AD →＝AB →＋23BC →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .]7．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________.23a －13b [因为a ＝e 1＋2e 2①， b ＝－e 1＋e 2②，显然a 与b 不共线， ①＋②得a ＋b ＝3e 2，所以e 2＝a ＋b3代入②得e 1＝e 2－b ＝a ＋b 3－b ＝13a －23b ，故有e 1＋e 2＝13a －23b ＋13a ＋13b ＝23a －13b .]8.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →用AB →与AD →可表示为EF →＝________.12AB →－23AD → [EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD →.]三、解答题9．如图，在平行四边形OPQR 中，S 是对角线的交点，若OP →＝2e 1，OR →＝3e 2，以e 1，e 2为基底，表示PS →与QS →.[解] 平行四边形OPQR 中，OQ →＝OP →＋OR →＝2e 1＋3e 2， PR →＝OR →－OP →＝3e 2－2e 1.S 是OQ 、PR 的中点，∴PS →＝12PR ＝32e 2－e 1，QS →＝－12OQ →＝－e 1－32e 2.10．如图所示，在ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，BF 与DE 交于点G ，设AB →＝a ，AD →＝b .(1)用a ，b 表示DE →；(2)试用向量方法证明：A ，G ，C 三点共线． [解] (1)DE →＝AE →－AD →＝AB →＋BE →－AD →＝a ＋12b －b ＝a －12b.(2)证明：连接AC ，BD 交于O (图略)，则CO →＝12CA →，∵E ，F 分别是BC ，DC 的中点，∴G 是△CBD 的重心， ∴GO →＝13CO →＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC →＝－16AC →，又C 为公共点，∴A ，G ，C 三点共线．[等级过关练]1.如图，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a 、b 表示AG →＝( )A.14a ＋14b B.13a ＋13b C.34a －14b D.34a ＋34b D [易知CF →＝12CD →，CE →＝12CB →.设CG →＝λCA →，则由平行四边形法则可得CG →＝λ(CB →＋CD →)＝2λCE →＋2λCF →，由于E ，G ，F 三点共线，则2λ＋2λ＝1，即λ＝14，从而CG →＝14CA →，从而AG →＝34AC →＝34(a ＋b )．]2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA→＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为△ABC 的( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点B [如图，设AB 的中点为M ，则OM →＝12OA →＋12OB →，又OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)，∴13MP →＝23PC →，即MP →＝2PC →，∴P 、M 、C 、O 四点共线，且点P 为CM 的三等分点．又CM 为△ABC 中AB 边上的中线，点O 为△ABC 的重心． ∴点P 为AB 边中线的三等分点(非重心)．]3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →等于________(用a 、b 表示)．13a ＋b [由题知DF AB ＝DE EB ＝13，则DF ＝13AB ，所以AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →＝13a ＋b .] 4．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．2 [AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1， ∴m ＋n ＝2.]5．已知单位圆O 上的两点A ，B 及单位圆所在平面上的一点P ，OA →与OB →不共线． (1)在△OAB 中，点P 在AB 上，且AP →＝2PB →，若AP →＝rOB →＋sOA →，求r ＋s 的值．(2)如图，点P 满足OP →＝mOA →＋OB →(m 为常数)，若四边形OABP 为平行四边形，求m 的值．[解] (1)因为AP →＝2PB →，所以AP →＝23AB →，所以AP →＝23(OB →－OA →)＝23OB →－23OA →，又因为AP →＝rOB →＋sOA →，所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s 的值为0.(2)因为四边形OABP 为平行四边形，所以OB →＝OP →＋OA →，又因为OP →＝mOA →＋OB →，所以OB →＝OB →＋(m ＋1)OA →，依题意OA →，OB →是非零向量且不共线，所以m ＋1＝0，解得m ＝－1.。

2019_2020学年高中数学课时分层作业18平面向量基本定理含解析新人教B版必修4

高中数学课时分层作业18平面向量基本定理新人教A版必修4

课时分层作业(十八) 平面向量基本定理(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1－e 2，e 1－12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2D [e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，可以作为平面向量的基底，另外三组向量都共线，不能作为基底．]2．已知向量a 与b 的夹角为π3，则向量2a 与－3b 的夹角为( )【导学号：84352214】A.π6B.π3C.23π D.56π C [向量2a 与－3b 的夹角与向量a 与b 的夹角互补，其大小为π－π3＝2π3.]3．如图238，向量a －b 等于( )图238A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2C [不妨令a ＝CA →，b ＝CB →，则a －b ＝CA →－CB →＝BA →，由平行四边形法则可知 BA →＝e 1－3e 2.]4．锐角三角形ABC 中，关于向量夹角的说法正确的是( )【导学号：84352215】A.AB →与BC →的夹角是锐角 B.AC →与AB →的夹角是锐角 C.AC →与BC →的夹角是钝角 D.AC →与CB →的夹角是锐角B [因为△ABC 是锐角三角形，所以∠A ，∠B ，∠C 都是锐角．由两个向量夹角的定义知：AB →与BC →的夹角等于180°－∠B ，是钝角；AC →与AB →的夹角是∠A ，是锐角；AC →与BC →的夹角等于∠C ，是锐角；AC →与CB →的夹角等于180°－∠C ，是钝角，所以选项B 说法正确．]5．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，又AP →＝tAB →，则t 的值为( )A.13 B.23 C.12D.53A [因为AP →＝tAB →，所以CP →－CA →＝t (CB →－CA →)， CP →＝(1－t )CA →＋tCB →.又CP →＝23CA →＋13CB →且CA →与CB →不共线，所以t ＝13.]二、填空题6．如图239，在平行四边形ABCD 中，点O 为AC 的中点，点N 为OB 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，若用a ，b 表示向量AN →，则AN →＝________.图23934a ＋14b [以AB →＝a ，AD →＝b 作为以A 点为公共起点的一组基底，则AN →＝AD →＋DN → ＝AD →＋34DB →＝AD →＋34(AB →－AD →)＝14AD →＋34AB →＝34a ＋14b .] 7．若向量a ＝4e 1＋2e 2与b ＝k e 1＋e 2共线，其中e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，则k 的值为________.【导学号：84352216】2 [∵向量a 与b 共线， ∴存在实数λ，使得b ＝λa ，即k e 1＋e 2＝λ(4e 1＋2e 2)＝4λe 1＋2λe 2. ∵e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4λ，1＝2λ，∴k ＝2.]8．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．12 [如图，由题意知，D 为AB 的中点， BE →＝23BC →，所以DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC → ＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，所以λ1＋λ2＝－16＋23＝12.]三、解答题9．如图2310，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF＝13BC ，以a ，b 为基底表示向量AM →与HF →.【导学号：84352217】图2310[解] 在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，∴AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a ，HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－12AD →＝a ＋13b －12b ＝a －16b .10．如图2311，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 上的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →，其中λ，μ∈R ，求λ，μ的值．图2311[解] 在矩形OACB 中，OC →＝OA →＋OB →，又OC →＝λOE →＋μOF → ＝λ(OA →＋AE →)＋μ(OB →＋BF →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫OA →＋13OB →＋μ⎝⎛⎭⎪⎫OB →＋13OA →＝3λ＋μ3OA →＋3μ＋λ3OB →，所以3λ＋μ3＝1，3μ＋λ3＝1，所以λ＝μ＝34.[冲A 挑战练]1．如图2312所示，两射线OA 与OB 交于O ，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)( )图2312①OA →＋2OB →；②34OA →＋13OB →；③12OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →. A ．①② B ．①②④ C ．①②③D ．③④A [①向量OA →＋2OB →的终点显然在阴影区域内； ②如图所示OC →＝13OB →，OD →＝34OA →，四边形OCMD 为平行四边形， 34OA →＋13OB →＝OM →，由三角形相似易得DE ＝14OB ＜DM ＝13OB →，故M 在阴影区域内．同理分析③④中向量的终点不在阴影区域内．]2．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心B [AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC→|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD →上移动，∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．]3．设e 1，e 2是平面内一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基底a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________.【导学号：84352218】23a －13b [因为a ＝e 1＋2e 2①，b ＝－e 1＋e 2②，显然a 与b 不共线，①＋②得a ＋b ＝3e 2，所以e 2＝a ＋b3代入②得e 1＝e 2－b ＝a ＋b 3－b ＝13a －23b ，故有e 1＋e 2＝13a －23b ＋13a ＋13b ＝23a －13b .]4．如图2313，在平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，|OA →|＝|OB →|＝1，OA →与OB →的夹角为120°，OC →与OA →的夹角为30°，|OC →|＝53，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.图231315 [作以OC 为一条对角线的平行四边形OPCQ ，如图，则∠COQ ＝∠OCP ＝90°，在Rt △QOC 中，2OQ ＝QC ，|OC →|＝5 3.则|OQ →|＝5，|QC →|＝10，所以|OP →|＝10，又|OA →|＝|OB →|＝1，所以OP →＝10OA →，OQ →＝5OB →，所以OC →＝OP →＋OQ →＝10OA →＋5OB →，所以m ＋n ＝10＋5＝15.]5．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值.【导学号：84352219】[解] (1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23，所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底．(2)设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，所以c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.。

2021_2022学年高中数学课时分层作业18平面向量基本定理(含解析)新人教A版必修4

课时分层作业(十八)(建议用时：45分钟)[根底达标练]一、选择题1．设向量e 1与e 2不共线，假设3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，那么实数x ，y 的值分别为( )A ．0，0B ．1，1C ．3，0D ．3，4D [因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝4y －7，10－y ＝2x ，解方程组得x ＝3，y ＝4.]2．e 1、e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么以下四个向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 1＋e 2B [∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线．故应选B.]3．锐角三角形ABC 中，关于向量夹角的说法正确的选项是( ) A ．AB →与BC →的夹角是锐角 B ．AC →与AB →的夹角是锐角 C ．AC →与BC →的夹角是钝角 D ．AC →与CB →的夹角是锐角B [因为△ABC 是锐角三角形，所以∠A ，∠B ，∠C 都是锐角．由两个向量夹角的定义知：AB →与BC →的夹角等于180°－∠B ，是钝角；AC →与AB →的夹角是∠A ，是锐角；AC →与BC →的夹角等于∠C ，是锐角；AC →与CB →的夹角等于180°－∠C ，是钝角，所以选项B 说法正确．]4．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，那么BF →等于( )A ．－a ＋15bB ．a －15bC ．23a －13b D ．13a ＋23bA [∵AE →＝15AB →，∴BE →＝－45AB →.又∵EF ∥BC ，∴EF →＝15BC →＝15(AC →－AB →)，∴BF →＝BE →＋EF →＝－45AB →＋15(AC →－AB →)＝15AC →－AB →＝－a ＋15b .] 5．设点D 为△ABC 中BC 边上的中点，O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，那么( ) A ．BO →＝－16AB →＋12AC →B ．BO →＝16AB →－12AC →C ．BO →＝56AB →－16AC →D ．BO →＝－56AB →＋16AC →D [如图，D 为中点，O 为靠近A 的三等分点，BO →＝BA →＋AO →＝－AB →＋13AD→＝－AB →＋13×12(AB →＋AC →)＝－AB →＋16AB →＋16AC →＝－56AB →＋16AC →.]二、填空题6．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，那么向量e 1＋e 2可以表示为以a ，b 为基向量的线性组合，即e 1＋e 2＝．23a －13b [由a ＝e 1＋2e 2①，b ＝－e 1＋e 2②，由①＋②得e 2＝13a ＋13b ，代入①可求得e 1＝13a －23b ，所以e 1＋e 2＝23a －13b .]7．假设向量a ＝4e 1＋2e 2与b ＝k e 1＋e 2共线，其中e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么k 的值为．2 [∵向量a 与b 共线， ∴存在实数λ，使得b ＝λa ，即k e 1＋e 2＝λ(4e 1＋2e 2)＝4λe 1＋2λe 2. ∵e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4λ，1＝2λ，∴k ＝2.]8．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，假设DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，那么λ1＋λ2的值为．12 [如图，由题意知，D 为AB 的中点， BE →＝23BC →，所以DE →＝DB →＋BE → ＝12AB →＋23BC → ＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，所以λ1＋λ2＝－16＋23＝12.]三、解答题9．如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，以a ，b 为基底表示向量AM →与HF →.[解] 在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，∴AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a ，HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－12AD →＝a ＋13b －12b ＝a －16b .10．如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 上的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，假设OC →＝λOE →＋μOF →，其中λ，μ∈R ，求λ，μ的值．[解] 在矩形OACB 中，OC →＝OA →＋OB →，又OC →＝λOE →＋μOF → ＝λ(OA →＋AE →)＋μ(OB →＋BF →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫OA →＋13OB →＋μ⎝⎛⎭⎪⎫OB →＋13OA →＝3λ＋μ3OA →＋3μ＋λ3OB →，所以3λ＋μ3＝1，3μ＋λ3＝1，所以λ＝μ＝34.[能力提升练]1．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，那么点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心B [AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC→|AC →|为AC →上的单位向量，那么AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向一样．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴点P 在AD →上移动，∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．]2．假设点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.那么△ABM 与△ABC 的面积之比．1∶4 [如图，由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4.]。

2019-2020人教B版数学必修4课时分层作业18 平面向量基本定理

课时分层作业(十八) 平面向量基本定理(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2B [B 项中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， ∴(6e 1－8e 2)与(3e 1－4e 2)共线， ∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底．] 2．如图，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2C [不妨令a ＝CA →，b ＝CB →，则a －b ＝CA →－CB →＝BA →，由平行四边形法则可知BA →＝e 1－3e 2.]3．如图所示，矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2)B.12(5e 1－3e 2)C.12(3e 2＋5e 1)D.12(5e 2－3e 1)A [OC →＝12AC →＝12(BC →＋AB →) ＝12(BC →＋DC →)＝12(5e 1＋3e 2)．]4．若D 点在△ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )A.165B.125C.85D.45C [∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →， ∴r ＝45，s ＝－45， ∴3r ＋s ＝125－45＝85.]5．已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，边AB 的中点为D ，若2PD →＝(1－λ)P A →＋CB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上D ．△ABC 的内部C [由2PD →＝(1－λ)P A →＋CB →得 2(P A →＋AD →)＝P A →－λP A →＋CB →， 2P A →＋2AD →＝P A →－λP A →＋CB →， P A →＋2AD →－CB →＝－λP A →. ∵边AB 的中点为D ，∴PC →＝－λP A →， ∴P 在直线AC 上．] 二、填空题6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________(用b ，c 表示)23b ＋13c [AD →＝AB →＋BD →，又BD →＝2DC →， ∴BD →＝23BC →.∵BC →＝AC →－AB →＝b －c ，∴AD →＝AB →＋23BC →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .]7．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________.23a －13b [因为a ＝e 1＋2e 2 ①， b ＝－e 1＋e 2②，显然a 与b 不共线， ①＋②得a ＋b ＝3e 2，所以e 2＝a ＋b3代入②得 e 1＝e 2－b ＝a ＋b 3－b ＝13a －23b ，故有e 1＋e 2＝13a －23b ＋13a ＋13b ＝23a －13b .]8.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →用AB →与AD →可表示为EF →＝________.12AB →－23AD → [EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD →.]三、解答题9．如图，在平行四边形OPQR 中，S 是对角线的交点，若OP →＝2e 1，OR →＝3e 2，以e 1，e 2为基底，表示PS →与QS →.[解] 平行四边形OPQR 中，OQ →＝OP →＋OR →＝2e 1＋3e 2， PR →＝OR →－OP →＝3e 2－2e 1. S 是OQ 、PR 的中点，∴PS →＝12PR ＝32e 2－e 1，QS →＝－12OQ →＝－e 1－32e 2. 10．如图所示，在ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，BF 与DE交于点G ，设AB →＝a ，AD →＝b .(1)用a ，b 表示DE →；(2)试用向量方法证明：A ，G ，C 三点共线． [解] (1)DE →＝AE →－AD →＝AB →＋BE →－AD →＝a ＋12b －b ＝a －12b.(2)证明：连接AC ，BD 交于O (图略)，则CO →＝12CA →， ∵E ，F 分别是BC ，DC 的中点，∴G 是△CBD 的重心， ∴GO →＝13CO →＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC →＝－16AC →，又C 为公共点，∴A ，G ，C 三点共线．[等级过关练]1.如图，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a 、b 表示AG →＝( )A.14a ＋14b B.13a ＋13b C.34a －14bD.34a ＋34bD [易知CF →＝12CD →，CE →＝12CB →.设CG →＝λCA →，则由平行四边形法则可得CG →＝λ(CB →＋CD →)＝2λCE →＋2λCF →，由于E ，G ，F 三点共线，则2λ＋2λ＝1，即λ＝14，从而CG →＝14CA →，从而AG →＝34AC →＝34(a ＋b )．]2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为△ABC 的( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点B [如图，设AB 的中点为M ，则OM →＝12OA →＋12OB →，又OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)， ∴13MP →＝23PC →，即MP →＝2PC →，∴P 、M 、C 、O 四点共线，且点P 为CM 的三等分点．又CM 为△ABC 中AB 边上的中线，点O 为△ABC 的重心．∴点P 为AB 边中线的三等分点(非重心)．]3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →等于________(用a 、b 表示)．13a ＋b [由题知DF AB ＝DE EB ＝13，则DF ＝13AB ，所以AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →＝13a ＋b .]4．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．2 [AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1， ∴m ＋n ＝2.]5．已知单位圆O 上的两点A ，B 及单位圆所在平面上的一点P ，OA →与OB →不共线．(1)在△OAB 中，点P 在AB 上，且AP →＝2PB →，若AP →＝rOB →＋sOA →，求r ＋s 的值．(2)如图，点P 满足OP →＝mOA →＋OB →(m 为常数)，若四边形OABP 为平行四边形，求m 的值．[解] (1)因为AP →＝2PB →，所以AP →＝23AB →，所以AP →＝23(OB →－OA →)＝23OB →－23OA →，又因为AP →＝rOB →＋sOA →，所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s 的值为0.(2)因为四边形OABP 为平行四边形，所以OB →＝OP →＋OA →，又因为OP →＝mOA →＋OB →，所以OB →＝OB →＋(m ＋1)OA →，依题意OA →，OB →是非零向量且不共线，所以m ＋1＝0，解得m ＝－1.。

高一数学人教B版必修4课时作业2.2.1 平面向量基本定理 Word版含解析

回扣验收特训（三）平面向量1．设P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA ＝a ，OB ＝b ，则OP ＋OQ ＝( )A ．a ＋bB ．a －bC ．2(a ＋b )D.13(a ＋b ) 解析：选A 如图，OP ＝OA ＋AP ，OQ ＝OB ＋BQ ，∵AP ＝－BQ ，∴OP ＋OQ ＝OA ＋OB ＝a ＋b .2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( )A ．0B ．1C ．2 D. 5解析：选D 因为|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－0＋22＝5，所以|a －b |＝5，故选D.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( )A ．(3，－6)B ．(－3,6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)．4．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：选B ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝a 2，∵|a |＝1，|b |＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 2|a ||b |＝22，∴向量a 与向量b 的夹角为π4，故选B. 5．在△ABC 中，(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 由(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，得AC ·(BC ＋BA －AC )＝0，即AC ·(BC ＋BA ＋CA )＝0，∴2AC ·BA ＝0，∴AC ⊥BA ，∴A ＝90°. 6．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两所成的角相等，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．6或 3B ．6或 2 C. 2 D ．6解析：选A ∵a ，b ，c 两两所成的角相等，∴这个角为0°或120°.当夹角为0°时，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝1＋2＋3＝6，排除C ；当夹角为120°时，a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1， b ·c ＝|b ||c |·cos 120°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3， c ·a ＝|c ||a |cos 120°＝3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， ∴|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝12＋22＋32＋2⎝⎛⎭⎫－1－3－32＝3， ∴|a ＋b ＋c |＝ 3.∴|a ＋b ＋c |＝6或 3.7．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6.答案：－68．已知平面向量a 与b 的夹角等于2π3，如果|a |＝2，|b |＝3，那么|2a －3b |＝________. 解析：|2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos 2π3＋9×32＝133， ∴|2a －3b |＝133. 答案：1339．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．解析：由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π 10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |.解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61，即64－4a ·b －27＝61.∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12， ∴θ＝120°.(2)|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－6)＋9＝13.11．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a 与b 满足|ka ＋b |＝3|a －kb |，其中k >0.(1)用k 表示a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a ，b 的夹角．解：(1)将|ka ＋b |＝3|a －kb |两边平方，得|ka ＋b |2＝(3|a －kb |)2，k 2a 2＋b 2＋2ka ·b ＝3(a 2＋k 2b 2－2ka ·b )，∴8ka ·b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 2，a ·b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 28k. ∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝1，b 2＝1，∴a ·b ＝3－k 2＋3k 2－18k ＝k 2＋14k . (2)∵k 2＋1≥2k (当且仅当k ＝1时等号成立)，即k 2＋14k ≥2k 4k ＝12， ∴a ·b 的最小值为12. 设a ，b 的夹角为γ，则a ·b ＝|a ||b |cos γ.又|a |＝|b |＝1，∴12＝1×1×cos γ， ∴γ＝60°，即当a ·b 取最小值时，a 与b 的夹角为60°.12．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们两两之间的夹角均为120°.(1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|ka ＋b ＋c |>1(k ∈R)，求实数k 的取值范围．解：(1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 之间的夹角均为120°， ∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝|a ||c |cos 120°－|b ||c |·cos 120°＝0，∴(a －b )⊥c .(2)∵|ka ＋b ＋c |>1，∴(ka ＋b ＋c )2>1，即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2ka ·b ＋2ka ·c ＋2b ·c >1，∴k 2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°>1.∴k 2－2k >0，解得k <0或k >2.∴实数k 的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．。

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课时分层作业(十八) 平面向量基本定理
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2
D ．e 1和e 1＋e 2
B [B 项中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， ∴(6e 1－8e 2)与(3e 1－4e 2)共线， ∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底．] 2．如图，向量a －b 等于( )
A ．－4e 1－2e 2
B ．－2e 1－4e 2
C ．e 1－3e 2
D ．3e 1－e 2
C [不妨令a ＝CA →，b ＝CB →，则a －b ＝CA →－CB →＝BA →
，
由平行四边形法则可知BA →
＝e 1－3e 2.]
3．如图所示，矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →
等于( )
A.1
2(5e 1＋3e 2) B.1
2(5e 1－3e 2) C.1
2(3e 2＋5e 1) D.1
2(5e 2－3e 1) A [OC →＝12AC →＝12(BC →＋AB →)
＝12(BC →＋DC →)＝1
2
(5e 1＋3e 2)．] 4．若D 点在△ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →
，则3r ＋s 的值为( ) A.165
B.125
C.85
D.45
C [∵C
D →＝4DB →＝rAB →＋sAC →
， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，
∴r ＝45，s ＝－4
5，
∴3r ＋s ＝125－45＝85
.]
5．已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，边AB 的中点为D ，若2PD →＝(1－λ)PA →＋CB →
，其中λ∈R ，则点P 一定在( )
A ．A
B 边所在的直线上 B ．B
C 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上
D ．△ABC 的内部
C [由2P
D →＝(1－λ)PA →＋CB →
得 2(PA →＋AD →)＝PA →－λPA →＋CB →， 2PA →＋2AD →＝PA →－λPA →＋CB →， PA →
＋2AD →－CB →＝－λPA →
.
∵边AB 的中点为D ， ∴PC →＝－λPA →， ∴P 在直线AC 上．] 二、填空题
6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
＝________(用b ，c 表示) 23b ＋1
3c [AD →＝AB →＋BD →，又BD →＝2DC →， ∴BD →＝23
BC →.
∵BC →＝AC →－AB →
＝b －c ，
∴AD →＝AB →＋23BC →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13
c .]
7．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示
为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________.
23a －1
3
b [因为a ＝e 1＋2e 2
①， b ＝－e 1＋e 2
②，
显然a 与b 不共线， ①＋②得a ＋b ＝3e 2，所以e 2＝
a ＋b
3
代入②得
e 1＝e 2－b ＝a ＋b 3
－b ＝13
a －2
3
b ，
故有e 1＋e 2＝13a －23b ＋13a ＋13b ＝23a －1
3
b .]
8.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →用AB →
与AD →可表示为EF →
＝________.
12AB →－23AD → [EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →
，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD →.] 三、解答题
9．如图，在平行四边形OPQR 中，S 是对角线的交点，若OP →＝2e 1，OR →
＝3e 2，以e 1，e 2为基底，表示PS →与QS →
.
[解] 平行四边形OPQR 中，OQ →＝OP →＋OR →
＝2e 1＋3e 2， PR →＝OR →－OP →
＝3e 2－2e 1.
S 是OQ 、PR 的中点，
∴PS →＝12PR ＝32e 2－e 1，QS →＝－12OQ →＝－e 1－32
e 2.
10．如图所示，在ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，BF 与DE 交于点G ，设AB →＝a ，AD →
＝b .
(1)用a ，b 表示DE →
；
(2)试用向量方法证明：A ，G ，C 三点共线． [解] (1)DE →＝AE →－AD →＝AB →＋BE →－AD →
＝a ＋12b －b ＝a －12
b.
(2)证明：连接AC ，BD 交于O (图略)，则CO →＝12CA →，
∵E ，F 分别是BC ，DC 的中点，∴G 是△CBD 的重心，
∴GO →＝13CO →＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC →＝－16AC →，
又C 为公共点，∴A ，G ，C 三点共线．
[等级过关练]
1.如图，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →
＝a ，AD →
＝b ，用a 、b 表示AG →
＝( )
A.14a ＋1
4b B.13a ＋1
3b C.34a －1
4
b D.34a ＋34
b D [易知CF →＝12CD →，CE →＝12
CB →
.
设CG →＝λCA →，则由平行四边形法则可得CG →＝λ(CB →＋CD →)＝2λCE →＋2λCF →
，由于E ，G ，F 三点共线，
则2λ＋2λ＝1，即λ＝1
4，从而CG →＝14CA →，
从而AG →＝34AC →＝3
4
(a ＋b )．]
2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝
1
3⎝ ⎛⎭
⎪⎫12OA
→＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为△ABC 的( ) A ．AB 边中线的中点
B ．AB 边中线的三等分点(非重心)
C ．重心
D ．AB 边的中点
B [如图，设AB 的中点为M ，则OM →＝12OA →＋12OB →
，
又OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，
∴OP →＝13(OM →＋2OC →
)，
∴13MP →＝23
PC →，
即MP →＝2PC →，
∴P 、M 、C 、O 四点共线，且点P 为CM 的三等分点．又CM 为△ABC 中AB 边上的中线，点O 为△ABC 的重心． ∴点P 为AB 边中线的三等分点(非重心)．]
3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →
等于________(用a 、b 表示)．
13a ＋b [由题知DF AB ＝DE EB ＝13，则DF ＝1
3AB ，所以AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →＝13a ＋b .] 4．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，则m ＋n 的值为________．
2 [AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →.
∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n
2＝1， ∴m ＋n ＝2.]
5．已知单位圆O 上的两点A ，B 及单位圆所在平面上的一点P ，OA →与OB →
不共线． (1)在△OAB 中，点P 在AB 上，且AP →＝2PB →，若AP →＝rOB →＋sOA →
，求r ＋s 的值．
(2)如图，点P 满足OP →＝mOA →＋OB →
(m 为常数)，若四边形OABP 为平行四边形，求m 的值．
[解] (1)因为AP →＝2PB →，所以AP →＝23AB →
，
所以AP →＝23(OB →－OA →)＝23OB →－23
OA →，
又因为AP →＝rOB →＋sOA →，所以r ＝23，s ＝－2
3，
所以r ＋s 的值为0.
(2)因为四边形OABP 为平行四边形，所以OB →＝OP →＋OA →
，又因为OP →＝mOA →＋OB →
，
所以OB →＝OB →＋(m ＋1)OA →，
依题意OA →，OB →
是非零向量且不共线，所以m ＋1＝0，解得m ＝－1.。