福建省德化一中2013-2014学年高二上第三次质检数学理试卷

德化一中2013年秋第三次质检试卷
高二数学（理）
[试卷满分：150分，考试用时：120分钟]
第Ⅰ卷（选择题 50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求，请把你认为正确的答案填涂到机读答题卡上．）
） 2．已知等差数列n a 中，2,124115==+a a a ，则=12a （ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
3．若函数x e x x f 2)(=，则=')1(f （ ）
C ，则角B 的大小为 （ ）
A ．150°
B ．30°
C ．120°
D ．60°
） A ．221⨯= B ．)4
221(2321+++=+- C ．)4
41241(24131211+++=-+- D ．2212211+⨯=- 6．已知b a ,都是实数，那么“b a >”是“22b a >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．下面给出了四个类比推理：
（1）由“若R ∈c b a ,,则()()ab c a bc =”类比推出“若a ,b ,c 为三个向量则
(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)” ；
（2）“a,b 为实数，220a b +=若则a=b=0”类比推出“12,z z 为复数，若
22121200z z z z +===则”
； （3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个
面的面积之和大于第四个面的面积”；
（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，
过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”．
上述四个推理中，结论正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论：
①AC ⊥BD ； ②△ACD 是等边三角形；
③AB 与平面BCD 所成的角为60°； ④AB 与CD 所成的角为60°．
其中错误．．
的结论是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④
9．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC OB ,，N M ,分别是边BC
OA ,
A ．2
B ．1
C ．2
D ．31 10．已知动点P 对应的复数z 满足)0(2>>=-++c a a c z c z ，且点P 与点
)0,(),0,(a B a A -连线的斜率之积为21-
，则c a
等于（ ）
B ．22
第Ⅱ卷（非选择题 100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分．请把答案写在答题卡上．．．．．．．．．．
） 11．判断命题的真假：命题“042,2
≥+-∈∀x x x R ”是 命题（填“真”或“假”）． 12．已知变量,x y 满足1,2,0.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩
则x y +的最小值是 ．
13．若()()0,1,1,1,1,0=-=b a 且()
a b a ⊥+λ，则实数
λ的值是 ． 14．已知点Q 及抛物线2
4
x y =上的动点(,)P x y ，则||y PQ +的最小值为 ． 15．在ABC ∆中，E ，F 分别为,AB AC 中点，P 为线段EF 上任意一点，实数,x y 满足
0PA xPB yPC ++=，设,,ABC PCA PAB ∆∆∆的面积分别为1121,,=S S S S S
λ记，2212S S
λλλ=⋅，则取得最大值时，23x y +的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步． 请．
把答案写在答题卡上．．．．．．．．．
） 16．（本小题满分13分） 已知函数x ax x f ln 22
1)(2+=，曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为4． （1）求a 的值及切线方程；
（2）点),(y x P 为曲线)(x f y '=上一点，求x y -的最小值．
17．（本小题13分）
已知ABC ∆的三个内角分别为C B A ,,．
（1）若0cos cos =-B a A b ，且4,2π
=∠=C a ，求c 的值；
（2）若1),sin ,(cos ),sin ,(cos =⋅==b a A B b B A a ，试判断三角形的形状？
18．（本题满分13分）
设命题p ：方程210x mx ++=有实根，命题q ：数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+)1(1n n 的前n 项和为n S ，对*N ∈∀n 恒有n S m ≤，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．
19．（本小题满分13分）
如图, ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ＝3.
(1)求证：AC ⊥平面BDE ；
(2)求直线AB 与平面BEF 所成的角的正弦值；
(3)线段BD 上是否存在点M ，使得AM ∥平面BEF ？若存在，试确
定点M 的位置；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分14分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3
，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B
两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为
2
. （1）求a ，b 的值；
（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？
若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．
21.（本小题满分14分）
一个建设集团公司共有),2(3*N ∈≥n n n 个施工队，编号分别为.3,3,2,1n 现有一项建设工
程，因为工人数量和工作效率的差异，经测算：如果第)31(n i i ≤≤个施工队每天完成的工
作量都相等，则它需要i 天才能独立完成此项工程.
（1）求证第n 个施工队用),1(*N ∈<≤m n m m 天完成的工作量不可能大于第
)21(n k k n ≤≤+个施工队用k m +天完成的工作量；
（2）如果该集团公司决定由编号为n n n 3,,2,1 ++共n 2个施工队共同完成，求证它们最
多不超过两天即可完成此项工作.
德化一中2013年秋第三次质检试卷答案
高二数学（理）答案
[试卷满分：150分，考试用时：120分钟]
第Ⅰ卷（选择题 50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求，请把你认为正确的答案填涂到机读答题卡上．）
A ） 2．已知等差数列n a 中，2,124115==+a a a ，则=12a （
B ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
3．若函数x e x x f 2)(=，则=')1(f （ B ）
C sin ，则角B 的大小为 ( A )
A ．150°
B ．30°
C ．120°
D ．60°
A ．221⨯=
B ．)4
221(2321+++=+- C ．)4
41241(24131211+++=-+- D ．2212211+⨯=- 6．已知b a ,都是实数，那么“b a >”是“22b a >”的（ A ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．下面给出了四个类比推理： （1）由“若R ∈c b a ,,则()()ab c a bc =”类比推出“若a ,b ,c 为三个向量则
(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)” ；
（2）“a,b 为实数，220a b +=若则a=b=0”类比推出“12,z z 为复数，若
22121200z z z z +===则”
； （3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个
面的面积之和大于第四个面的面积”；
（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，
过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”．
上述四个推理中，结论正确的个数有（ B ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ； ②△ACD 是等边三角形；
③AB 与平面BCD 所成的角为60°； ④AB 与CD 所成的角为60°．
其中错误．．
的结论是（ C ） A ．① B ．② C ．③ D ．④
9．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC OB ,，N M ,分别是边
BC OA ,的中点，点G 在线段MN 上，若GN MG λ=，且
等于（A ） A ．2 B ．1 C ．21 D ．3
1 10．已知动点P 对应的复数z 满足)0(2>>=-++c a a c z c z ，且点P 与点
)0,(),0,(a B a A -连线的斜率之积为21-，则c a
等于（ B ）
B ．22
第Ⅱ卷（非选择题 100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分．请把答案写在答题卡上．．．．．．．．．．
） 11．判断命题的真假：命题“042,2
≥+-∈∀x x x R ”是 真 命题（填“真”或“假”）． 12．已知变量,x y 满足1,2,0.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则x y +的最小值是2 ．
13．若()()0,1,1,1,1,0=-=b a 且()
a b a ⊥+λ，则实数λ的值是2-．
15．已知点Q 及抛物线2
4
x y =上的动点(,)P x y ，则||y PQ +的最小值为 2 ． 15．在ABC ∆中，E ，F 分别为,AB AC 中点，P 为线段EF 上任意一点，实数,x y 满足0PA xPB yPC ++=，设,,ABC PCA PAB ∆∆∆的面积分别为1121,,=S S S S S
λ记，2212S S
λλλ=⋅，则取得最大值时，23x y +的值为 25．
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步． 请．把答案写在答题卡上．．．．．．．．．
） 16．（本小题满分13分） 已知函数x ax x f ln 22
1)(2+=，曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为4． （1）求a 的值及切线方程；
（2）点),(y x P 为曲线)(x f y '=上一点，求x y -的最小值．
解：（1） x ax x f ln 221)(2+=，∴x
ax x f 2)(+='……………………………2分 曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为4，∴42)1(=+='a f ………………3分 ∴2=a …………………………………………………………………………4分
∴1)1(=f …………………………………………………………………………5分
∴切线方程为034)1(41=---=-y x x y 即……………………………………7分
（2）函数)(x f 的定义域为),0(+∞………………………………………………8分 点),(y x P 为曲线)(x f y '=上一点
∴x y -222≥+=x
x 当且仅当2=x 时，等号成立.…………………………12分 ∴x y -的最小值为22.………………………………………………………13分
17．（本小题13分）
已知ABC ∆的三个内角分别为C B A ,,．
（1）若0cos cos =-B a A b ，且4,2π
=∠=C a ，求c 的值；
（2）若1),sin ,(cos ),sin ,(cos =⋅==A B B A ，试判断三角形的形状？
解：（1）在ABC ∆中， 0cos cos =-B a A b ，
∴由正弦定理有：0cos sin cos sin =-B A A B 即
0)sin(=-A B ………………………………………………………………………2分 ∴B A =，∴2==b a …………………………………………………………………………5分 4π
=∠C ，∴由余弦定理有：
248cos 222-=-+=C ab b a c .……………………………………………6分
（2） 1),sin ,(cos ),sin ,(cos =⋅==A B B A
∴1sin sin cos cos =+B A B A ，即
1)cos(=-B A ………………………………………………………………………8分 π<<B A ,0，
∴B A = …………………………………………………………………………11分
∴ABC ∆为等腰三角形.…………………………………………………………13分
18．（本题满分13分）
设命题p ：方程210x mx ++=有实根，命题q ：数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+)1(1n n 的前n 项和为n S ，对*N ∈∀n 恒有n S m ≤，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．
解：当命题p 为真命题，则
22042-≤≥≥-=∆m m m 或即…………………………………………………3分
当命题q 为真命题，则由1
11)111()3121()21
1(+-=+-++-+-=n n n S n 得 2
1≥n S ……………………………………………………………………………6分 又对*N ∈∀n 恒有n S m ≤，∴2
1≤
m ……………………………………………………………………………8分 p 或q 为真，p 且q 为假，∴q p ,一真一假…………………………………10分 ∴2,212≥≤<-m m 或…………………………………………………………13分
19．（本小题满分13分）
如图, ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF
∥DE ，DE ＝3AF ＝3.
(1)求证：AC ⊥平面BDE ；
(2)求直线AB 与平面BEF 所成的角的正弦值；
(3)线段BD 上是否存在点M ，使得AM ∥平面BEF ？若存在，
试确定点M 的位置；若不存在，说明理由．
(Ⅰ)证明： ∵DE ⊥平面ABCD ，
∴AC DE ⊥. ………………………………………………………………2分
∵ABCD 是正方形，
∴BD AC ⊥，
又D DE BD =
从而AC ⊥平面BDE . ………………………………………………………4分
(Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，
所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示.
∵3=DE ，由AF ∥DE ，DE ＝3AF ＝3
得AF ＝1.………………………………………6分
则)0,2,2(),3,0,0(),1,0,2(),0,0,2(B E F A ， )2,0,2(),1,2,0(-=-=∴………………7分
设平面BEF 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0BF n ，
即⎩⎨⎧=-=+-0
2202z x z y ，令2=z ， 则)2,1,2(=n . ……………………………………………………………8分 ∵)0,2,0(=
∴直线AB 与平面BEF 所成的角θ满足
3
1322,cos sin =⨯==
><=θ………………………………………10分 (Ⅲ)解：点M 是线段BD 上一个点，设)0,,(t t M ，则)0,,2(t t AM -=，
∵AM ∥平面BEF ， ∴AM ⋅0=，………………………………………………………………11分
即0)2(2=+-t t ，解得34=
t . …………………………………………12分 此时，点M 坐标为)0,3
4,
34(.………………………………………………13分 20．（本小题满分14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率为3
，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l
的距离为2
（I ）求a ，b 的值；
（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？ 若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．
解：（1）设)0,(c F ，当l 的斜率为1时，其方程为0=--c y x …………………1分
O 到l 的距离为 2
200c c
=-- ……………………………………………………………………2分 故1222
==c c 即…………………………………………………………………3分 由3
3==a c e 得3=a ，222=-=c a b ……………………………………5分 （2）C 上存在点P ……………………6分
由（1）知C 的方程为6322
2=+y x .设),(),,(2211y x B y x A （i ）当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为)1(-=x k y .
C 上的点P ，使OP OA OB =+成立的充要条件是P 点的坐标为),(2121y y x x ++，且 6)(3)(2221221=+++y y x x …………………………………………………………………7分 整理得：664323221212
2222121=+++++y y x x y x y x 又B A ,在C 上，即632,6322
2222121=+=+y x y x . 故03322121=++y y x x ………………………………… …………………………………8分 将)1(-=x k y 代入63222=+y x ，并化简得0636)32(2222=-+-+k x k x k ………9分
∴2
22122213263,326k k x x k k x x +-=+=+，………………………………………………………10分 ∴221221324)1)(1(k
k x x k y y +-=--=………………………………………………………11分 代入 解得22
=k .此时2321=+x x ∴2
)2(2121k x x k y y -=-+=+，即)2,23(k P - ∴当2=k 时，)2
2,23(-P ，l 的方程为022=--y x ； 当2-=k 时，)2
2,23
(P ，l 的方程为022=-+y x .…………………………13分 （ii ）当l 垂直于x 轴时，l 的方程为1=x ，此时(2,0)OA OB +=即)0,2(P 不满足C 的方程，故C 上不存在点P ，使O P O A =+成立.…………………………………………………………14分
所以综上所述：C 上存在点P )2
2,23
(±使OP OA OB =+成立， 此时l 的方程为022=-±y x .
21.（本小题满分14分）
一个建设集团公司共有),2(3*
N ∈≥n n n 个施工队，编号分别为.3,3,2,1n 现有一项建设工程，因为工人数量和工作效率的差异，经测算：如果第)31(n i i ≤≤个施工队每天完成的工作量都相等，则它需要i 天才能独立完成此项工程.
（1）求证第n 个施工队用),1(*N ∈<≤m n m m 天完成的工作量不可能大于第)21(n k k n ≤≤+个施工队用k m +天完成的工作量；
（2）如果该集团公司决定由编号为n n n 3,,2,1 ++共n 2个施工队共同完成，求证它们最多不超过两天即可完成此项工作.
证明：（1）依题意，第)31(n i i ≤≤个施工队的工作效率为i
1
…………………1分
故本题即是证明当*,1N ∈<≤m n m 且n k 21≤≤时，k
n k m n m ++<………………3分 【法一】)
()()(k n n k n m k n n nk mn mk mn k n k m n m +-=+--+=++- 当*,1N ∈<≤m n m 且n k 21≤≤时，0)
()(<+-k n n k n m 显然成立，故命题得证.……6分 【法二】假设第n 个施工队用),1(*N ∈<≤m n m m 天完成的工作量大于第)21(n k k n ≤≤+个施工队用k m +天完成的工作量，即当*,1N ∈<≤m n m 且n
k 21≤≤时，k
n k m n m ++> 从而0)
()()(>+-=+--+=++-k n n k n m k n n nk mn mk mn k n k m n m 0,0>>k n ，0>-∴n m 从而n m >与n m <矛盾，从而得到原命题成立.…6分
【法三】要证明当*,1N ∈<≤m n m 且n k 21≤≤时，k
n k m n m ++<， 0,0,0,0>+>+>>k n k m n m
故只需证)()(k m n k n m +<+
即是证明nk mk <
又0>k
从而只需证n m <
由题设可知n m <是成立的，从而原命题成立.…………………………………6分
（2）要证明此命题，即是证明2（1n ＋1＋1n ＋2＋ (13)
）＞1(n ≥2，n ∈N *)， 也就是证明：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞12
(n ≥2，n ∈N *)．………………………9分 【法一】：利用数学归纳法：
(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＞12
，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *
)时不等式成立．
即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞12
. 则当n ＝k ＋1时， 1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋...＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (13)
＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)＞12＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝12
. 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立，
由(1)，(2)知原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．……………………14分
【法二】利用放缩法：
∵n ≥2，
∴1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋13n ＞13n ＋13n ＋…＋13n ＝23＞12. 即1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋13n ＞12(n ≥2，n ∈N *)．……………………………………14分。