第四章_等离激元

(r,t)
Cei(k•rt) k
k
(r,t) (r',t) (r r')(r',t)dr'
(r,t)(r,t)
C C e
i(k k ')•r
k k'
k ,k '
CkCk qeiq•r
k ,q
(q k'k)
由此可求得：
q CkCkq CkqCk
k
k
q CkqCk q
上式第二个 q0求 部和 分项 代中 表的 均 子匀 自分 作布 用的 能 在凝胶模H 型 相中 抵恰 消好 。与 因 顿此 中， 可 H,在 只 略q哈 取 去 0项 密
这时 q代表密度起伏：
HiN 12 2 m i21 2q'v(q)(q qN)
这就是凝胶模型中电子系统的哈密顿：
在二次量子化表象中，q与q对应于密度起伏算符
设每个电子相对于正离子背景的移动均为x，电子移动后所产生的电场为
E4Nex
电子运动满足方程：
••
mx4N2ex
显然、每一个电子均以相同的频率振动：
P2
4Ne2
m
P 一般为5~30eV。
金属中电子的个别激发
• 费米面的概念：系统的“真空”（基态）可近似描述为在费米球k内F 的所有状
态均被电子占据，而球外为真空。
非线性部分
第一项代表自由运动的电子-空穴对； 第二项是具有相同q的所有电子-空穴对的耦合； 第三项为不同q的电子-空穴对之间的相互作用；
作近似（在真空态求平均）：
[ q', kq](Ckqq'Ck 0CkqCkq' 0) (CkCk 0CkqCkq0) qq' 2(nk nkq) qq'
由于平移对称性要求动量守恒，因此只有 q' q 项有贡献：
空穴激发区
电子激发区
激发能的界限为：
max kq
2 (q2 2m
2kFq);
min kq
0
空穴激发区 电子激发区
激发能的界限为：
kmqax
2 (q2 2m
2kFq);
min kq
2 (q2 2m
2kFq).
图解表示的电子和空穴对激发区：
集体振动和电子空穴对激发的交叉点
等离激元的色散曲线：
•
•
ik q[H , k]q; ik q[H , k ]q
密度起伏算符 q CkqCk 是总动量为 q 的所有
k
电子-空穴对运动的简单叠加。
我们只要能解出电子-空穴对的运动方程，则电子体系的元激发谱就求得了
* 首先我们考虑电子-空穴对之间不存在相互作用：v(q) 0
H EkCkCkH0
e2
r
er
~
e2 r
eqCr
;它与
qqC
4e2
q2
eiq•r大致相同。
说明品屏蔽库仑势来于源库仑势e2 展开的短波部分。 r
显然，长波部分被扣了除，
这是因为长波部分已于用电子系统的集体激发
2 互作用电子系统的哈密顿
• 当讨论金属中电子的元激发特征时，能带效应并不重要。可以把排列晶格的 正离子近似当作是均匀抹平了的连续正电荷分布，共有化电子则在此正电荷背 景上运动：
k'
Ckqq'Ck CkqCkq'
代入上式，并分出 q'q与q'q 项，整理后写成
[H,kq]kqkq12v(q)(CkCkk'q(CCkkC qkCkC qk)qkC' kkq'q)
k'
12q'(q'q)'v(q')(Cq'k(Cqkq'Cqkq'CkCkCqCkkqCq'k)q'q)'
由此可求得电子密度的傅里叶分量满足下列非线性的运动方程
• •q j (q•vj)2e i• q rj 4 m e2 q ' 'q q • '2 q ' q ' q q '
上式中右边第 分二 成 q'项 q和q又 'q项 可两部分
4me2Nqq'(q'q)'qq•'2q'q'qq'
由于
v(q)v(q),
q q
上式可改写为：
[ H ,k ]q kq k q 1 2 q ''v ( q ')[q ',k ]q q 'q '[q ',k ]q
* 利用 [A ,B ] C [A ,B ] C B [A ,C ] 算出对易式：
[ q', kq][ Ck'q'Ck',CkqCk]
1 等离激元和准电子
• 系统元激发的物理图像 对金属系统，价电子在离子的正电抵消背景上运动，系统在宏观尺度上保持着 电中性。
• -e
电子密度的起伏
正电背景
由于价电子易动，而且电子间有相互作用，因此系统在微观尺度上必然存在着 电子密度的起伏
由于电子间的库仑作用为长程作用，那么即使局域电子密度的起伏也将在整
• 在宽能带金属中，由于价电子之间库仑互作用的长程性以及价电子易动的巡 游性，将导致电子系统有两类激发： （1）集体激发（等离激元）； （2）个别激发（准电子）； 在理论上，属于不能严格对角化的多体系统。
* 为了将体系变为纯粹的电子-电子相互作用系统，略去晶格周期场和晶格振 动（声子）对电子的影响。
N
H
2i2 1
i1 2m 2 q
'v(q)eiq•(ri rj ) H
i, j
由于电子的密度：
(r) (rrj)
e iq•(rrj)
eiq•r
q
j
qj
q
因此， (r)的傅里叶分量为：
q e , iq•rj
j
e
iq•rj
q
j
可得由电子密度的傅里叶分量表示的哈密顿：
H iN 1 2 2 m i21 2qv(q)(q qN )H
q P31vF 20qP2;
vF
kF为费米速度。 m
1)qqc时
等离激元能量 q 大于电子和空穴对激发的最大能量 kmqax 集体振荡既不可
能被个别对所激发，也不可能衰减为个别的电子-空穴对。
2)qqc时
将出现集体振荡的衰减。
0qqc时,才有集体激发（ 元等 ）离 存激 在。（长波区） qqc时,只有个别激发。 区（ ）短波 qc是划分金属电子 别系 激统 发个 与集体激 征发 参的 量特 。
假如略 q'q去 项，只q'保 q的 留项，那么可 方得 程线 ：性化
••
q
j
4e2
m
(
q
•
v
j
)
2
e
iq
•r
j
或
••
q
2 P
q
(q • v j )2 eiq•rj
j
当q0时，可求 q的 得简谐振动方程：
••
qP2q 0
其中 p 24m N2是 e 在长波荡 限频 的率 等， 离 由 色 子 以 散 振 上 关方
系统其平均值为零 以，所 两个密度起伏 积的 项乘 对于运动方程 仅仅是微小的修正 为。 一作 级近似可略去。
无规相近似（Radom Phase Approximation,RPA)
这里无规相的含义在于
q是无规相位的指数相加， 而0 N是各项的相干叠加，
两者在高密度条件下相差很大。
4 量子运动方程的无规相近似
kF
• 相对于这个“真空”的个别激发是从费米球内k态上拿出一个电子放到球外 k+q空态上去，于是在金属的“真空”上产生了一个k+q电子和一个k空穴。
空穴的概念
电子和空穴对的个别激发能量为：
k q 2 (k 2 m q )2 2 2 m k 2 2 m 2(q 2 2 k• q )
对于确定的q；存在一个受泡利原理限制的许可区域：
在以上求解过略 程去 中q了 '我 q的 们项
4me2
' q'(q'q)
qq•'2q'q'qq'
其理由如下：
q eiq•rj是指数之和，而这 数些 的指 相位因子rj又 决由 定，
j
对于高密度的电子 ，系 电统 子的位置在空 分间 布的 是杂乱无章的，
这时（ q q0)代表相位无规变化 数的 项指 之和，对于平 变移 的不
k
代表独立电子系统。那么
[H 0, k ]q 2 m 2(kq )22 m 2k2 k q kqk q
这里 kq 代表不计相互作用时电子-空穴对的激发能量，
是电子-空穴的自由传播。
* 对于互作用电子系统 v(q) 0
[H,kq][H0H',kq]
kqkq1 2q' 'v(q')[q ',kq]q' q '[q',kq]
凝胶模型
电子系统的哈密顿：
N
H
i1
2i2 2m
1 2
i, j
' e2 |ri rj
| H
H是均匀分布正电 的荷 贡背 献景 ，
包括正电荷背景 用的 能自 以作 及它与电 作子 用的 能互 。
设有N个共有化电子，并取单位样品体积V=1，有：e2v(q)ei源自•r ,rq那么：
4e2
v(q) q2
那么：[ H ,k ] q kk q q 2 v ( q )n k ( n k q )q
相对于这个“真空”的个别激发是从费米球内k态上拿出一个电子放到球外k+q空态上去，于是在金属的“真空”上产生了一个k+q电
子和一个k空穴。
密度起伏算符
是总动量为 的所有
用无规相近似介电函数表示的响应方程：
是电子-空穴的自由传播。
由此可求得电子密度的傅里叶分量满足下列非线性的运动方程
（i）因此，准至 的展开式为
其若（准中通2电）非 过 子个零物间别的理的激量互发H作A（观用准察解势电系才用子统对i汤N）对1应川；外于型22场系屏m的统蔽i2响的库应元仑，12激势则发表q算，示符'因：vA此(在q，时)元(刻激tq的发量必q子须力满N学足期) 待值
加外场后系统的哈密顿为
1 若通过物理量A观察系统对外 场的响应，则算符A在时刻t的 量子力学期待值
人们常采用系统中电子密度的傅里叶分量 q作为集体坐标来描述这种电子运动的关联。
* 首先我们考虑电子-空穴对之间不存在相互作用：
代入上式，并分出
项，整理后写成
那么，上式第一项可简化为
通过扰动与响应的关系，可得知系统的元激发的信息。
（ii）若计及 项，可定出准至q 2 的等离子振荡频率
3 电子集体振荡的经典理论
准电子 • 电子间的相互作用对金属中的单个电子的性能也有影响，其中特别重要的是 屏蔽效应。
屏蔽效应是指电子间的库仑作用使每个电子周围形成了正电荷的屏蔽壳层，它 跟随激发它的电子一起运动，从而改变电子间的相互作用势和有效质量。
（电子+屏蔽电荷）的整体称为准电子。
准电子间的互作用势用汤川型屏蔽库仑势表示：
• 我们将从算符的运动方程出发，求解互作用电子体系的近似本征值
定义电子-空穴对的激发算符：
kqCkqCk
kq作用于系统的， “相 真当 空在 ”费k态 密上 球内
产生一个空穴k， q在 态球 上外 产生一个电子。
代表金属中的个别激发。
在互作用电子系统中这些个别激发是彼此耦合在一起的， 算符的海森伯运动方程为：
对电子密度的傅里叶分量 q eiq•rj 求导：
j
•
q i
q • v jeiq•rj
j
•
v j rj 是第j个电子的速度。
再对时间求导：
••
q
{q(•vj)2iq •v•j}eiq •rj
j
• 由于势能与力的关系为：
F, 为势能。
v • j m 1 j 1 2 q ''v ( q ')q ( ' q ' N ) 4 m e 2 iq ''q q '2 ' q 'e i'• q r j
个系统中产生电子运动的关联。
金属系统元激发的来源
• 人们常采用系统中电子密度的傅里叶分量q作为集体坐标来描述这种电子运 动的关联。
• 系统中电子密度起伏相对于正电背景的振荡，称为等离子区集体振荡。波矢 为q、频率为q等离子区集体振荡量子在固体物理中，称为等离激元 （Plasmons)。
• 在长波长区域（q=0）
E C C 'v(q)( N) 与经典情况下的无规相k近似k实质k上相同，称为
qq
2 在宽能带金属k中,，由于价电子之间库仑互q 作用的长程性以及价电子易动的巡游性，将导致电子系统有两类激发：
由于平移对称性要求动量守恒，因此只有 项有贡献：
1 可得由电子密度的傅里叶分量表示的哈密顿：
E C C ' v(q)C C C C 考虑自旋后，由算符表k示的k哈密k顿为：
k
这里Ck和Ck为消灭和产生算符，足满费米子反对易关系：
[Ck ,Ck'] CkCk' Ck'Ck kk'
[Ck ,Ck'] [Ck,Ck'] 0
* 为了将体系考变虑为纯自粹旋的电后子，-电由子相算互符作用表系统示，的略去哈晶密格周顿期为场和：晶格振动（声子）对电子的影响。
等离激元与等离子体
电子-空穴对运动的简单叠加。
kq, k'q,' k'' k
2 由于价电子易动k，,而且电子间有相互作用，q因此k,系k' 统,在'微观尺度上必然存在着电子密度的起伏
波矢为q、频率为 q等离子区集体振荡量子在固体物理中，称为等离激元（Plasmons)。
* 首先我们考虑电子-空穴对之间不存在相互作用：
是试探电荷对j电子作用的势能