2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第7节：函数的图像(教师版)

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数
第7节
函数的图像
考试要求
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表
法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
1.利用描点法作函数的图像
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图像变换法作函数的图像(1)平移变换
(2)对称变换
y ＝f (x )的图像―——————―→关于x 轴对称
y ＝－f (x )的图像；y ＝f (x )的图像――——————→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图像；y ＝f (x )的图像―——————―→关于原点对称y ＝－f (－x )的图像；
y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像―——————————―→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像.(3)伸缩变换
y ＝f (x )―——————————————————―→纵坐标不变
各点横坐标变为原来的1
a （a >0）倍
y ＝f (ax ).
y ＝f (x )―————————————————―→横坐标不变
各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).
(4)翻折变换
y ＝f (x )的图像―————————————―→x 轴下方部分翻折到上方
x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图像；
y ＝f (x )的图像―——————————————―→y 轴右侧部分翻折到左侧
原y 轴左侧部分去掉，右侧不变
y ＝f (|x |)的图像.
1.函数图像自身的轴对称
(1)f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图像关于y 轴对称；
(2)函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；
(3)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝
a ＋b
2
对称.2.函数图像自身的中心对称
(1)f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图像关于原点对称；
(2)函数y ＝f (x )的图像关于点(a ，0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；
(3)函数y ＝f (x )的图像关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x ).
3.两个函数图像之间的对称关系
(1)函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图像关于直线x ＝b －a
2
对称(由a ＋x ＝b －x 得对称轴方程)；
(2)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图像关于直线x ＝a 对称；(3)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (－x )的图像关于点(0，b )对称；
(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)对称.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图像相同.()
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图像相同.()
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于原点对称.()
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称.()
答案(1)×(2)×(3)×(4)√
解析(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图像不同，(1)错误.
(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图像不同，(2)错误.
(3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于x轴对称，(3)错误.
2.下列图像是函数y 2，x<0，
－1，x≥0的图像的是()
答案C
解析其图像是由y＝x2图像中x<0的部分和y＝x－1图像中x≥0的部分组成.
3.(2021·昆明质检)已知图①中的图像对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图像对应的函数为()
A.y＝f(|x|)
B.y＝f(－|x|)
C.y＝|f(x)|
D.y＝－|f(x)|
答案B
解析观察函数图像可得，②是由①保留y 轴左侧及y 轴上的图像，然后将y 轴
左侧图像翻折到右侧所得，结合函数图像的对称变换可得变换后的函数的解析式为y ＝f (－|x |).
4.(2021·天津卷)函数y ＝
ln|x |
x 2＋2
的图像大致为()
答案B
解析
设y ＝f (x )＝
ln|x |
x 2＋2
，则函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，又f (－x )＝
ln|－x |
（－x ）2＋2
＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除A ，C ；
当x ∈(0，1)时，ln|x |＜0，x 2＋1＞0，所以f (x )＜0，排除D.
5.(易错题)设f (x )＝2－x ，g (x )的图像与f (x )的图像关于直线y ＝x 对称，h (x )的图像由g (x )的图像向右平移1个单位得到，则h (x )＝________.答案－log 2(x －1)
解析
与f (x )的图像关于y ＝x 对称的图像所对应的函数为g (x )＝－log 2x ，再将其
图像右移1个单位得到h (x )＝－log 2(x －1)的图像.
6.(2022·西安调研)已知函数f (x )的图像如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________.
答案(2，8]
解析
当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图像知满足f (x )>0
时，x ∈(2，8].
考点一作函数的图像
例1作出下列函数的图像：(1)y ＝2|x |＋1；(2)y ＝|lg(x －1)|；(3)y ＝x 2－|x |－2.解
(1)将y ＝2x 的图像关于y 轴作对称图像，取y ≥1的部分得y ＝2|x |的图像，再
将所得图像向上平移1个单位长度，得到y ＝2|x |＋1的图像，如图①所示(实线部分).
(2)首先作出y ＝lg x 的图像，然后将其向右平移1个单位长度，得到y ＝lg(x －1)的图像，再把所得图像在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图像，如图②所示(实线部分).(3)y ＝x 2
－|x |－2x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，
函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上
的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，其图像如图③所示.
感悟提升 1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，
就可根据这些函数的特征描出图像的关键点直接作出.
2.图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
训练1分别作出下列函数的图像：(1)y ＝|x 2－5x ＋4|；(2)y ＝2x －1
x －1
.解
(1)令y ＝x 2－5x ＋4＝0，解出两根为1，4，得到y ＝x 2－5x ＋4的图像.将x 轴
以下的部分关于x 轴作对称图形，得到y ＝|x 2－5x ＋4|的图像，如图①所示(实线部分).
(2)y ＝
2x －1x －1
＝2＋1x －1，故函数的图像可由y ＝1
x 的图像向右平移1个单位，再向
上平移2个单位得到，如图②所示.考点二
函数图像的辨识
1.函数f (x )＝
sin x ＋x
cos x ＋x
2
在[－π，π]的图像大致为()
答案D 解析
∵f (－x )＝
sin （－x ）－x
cos （－x ）＋（－x ）
2
＝－f (x )，且x ∈[－π，π]，∴f (x )为奇函数，
排除A.
当x＝π时，f(π)＝
π
－1＋π2
>0，排除B，C，只有D满足.
2.已知函数f(x)
，x≥0，
x<0，
g(x)＝－f(－x
)，则函数g(x)的图像是()
答案D
解析法一当x>0时，－x<0，
所以g(x)＝－f(－x)＝1 x，
当x≤0时，－x≥0，g(x)＝－x2，
从而根据函数的取值正负情况可知D正确.
法二也可先画出f(x)的图像，再关于原点对称得g(x)的图像.
3.已知函数f(x)
x，x≤1，
1
3
x，x>1，则函数y
＝f(1－x)的大致图像是()
答案D
解析法一先画出函数f(x)
x，x≤1，
1
3
x，x>1的草图，令函数f(x)的图像关于y轴对
称，得函数f(－x)的图像，再把所得的函数f(－x)的图像，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图像(图略)，故选D.
法二由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)
1－x，x≥0，
log1
3
（1－x），x<0，故该函数过
点(0，3)，排除A；过点(1，1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.
4.(2021·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋1
4，g(x)＝sin x，则图像如图的函数可能是()
A.y＝f(x)＋g(x)－1
4
B.y＝f(x)－g(x)－1
4
C.y＝f(x)g(x)
D.y＝g（x）
f（x）
答案D
解析易知函数f(x)＝x2＋1
4是偶函数，g(x)＝sin x是奇函数，给出的图像对应的
函数是奇函数.选项A，y＝f(x)＋g(x)－1
4＝x
2＋sin x为非奇非偶函数，不符合题意，
排除A；选项B，y＝f(x)－g(x)－1
4＝x
2－sin x也为非奇非偶函数，不符合题意，
排除B；因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，且f(x)>0，当x 0，π
2g(x)
单调递增，且g(x)>0，所以y＝f(x)g(x)0，π
2上单调递增，由图像可知所求函数
0，π
4上不单调，排除C.故选D.
感悟提升 1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；(3)从周期性，判断图像的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图像的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
考点三函数图像的应用
角度1研究函数的性质
例2已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()
A.f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B.f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C.f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1)
D.f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)答案C
解析
将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，
画出函数f (x )的
图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上是递减的.
角度2在不等式中的应用
例3(1)若函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）
c
的大小关系为________.
(2)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）
x
<0
的解集为________.答案
(1)
f （c ）c >f （b ）b >f （a ）
a
(2)(－1，0)∪(0，1)解析
(1)由题意可得，f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）
c
分别看作函数f (x )＝log 2(x ＋1)图像上
的点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))与原点连线的斜率.
结合图像可知，当a >b >c >0时，
f （a ）a <f （b ）b <f （c ）
c .(2)因为f (x )为奇函数，所以不等式
f （x ）－f （－x ）x <0可化为f （x ）
x
<0，
即xf (x )<0，f (x )的大致图像如图所示，所以原不等式的解集为(－1，0)∪(0，
1).
角度3求参数的取值范围
例4(1)(2022·洛阳模拟)已知f (x )
x |
，x ≤1，2＋4x －2，x >1，若关于x 的方程a ＝f (x )恰
有两个不同的实数根，则实数
a 的取值范围是()
[1，2)
[1，2)
C.(1，2)
D.[1，2)
(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________.答案(1)B
(2)(0，1)∪(9，＋∞)
解析
(1)关于x 的方程a ＝f (x )恰有两个不同的实根，即f (x )的图像与直线y
＝a 恰
有两个不同的交点，作出f (x )的图像如图所示
.
由图像可得a
[1，2).
(2)设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|.在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，
y 2＝a |x －1|的图像如图所示
.
由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图像有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以
＝－x 2－3x ，＝a （1－x ）
(－3<x <0)有两组不同解.
消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，该方程有两个不等实根x 1，x 2，
＝（3－a ）2－4a >0，3<
a －3
2
<0，3）2＋（3－a ）×（－3）＋a >0，2＋（3－a ）×0＋a >0，∴0<a <1.
＝x 2＋3x ，＝a （x －1）
(x >1)有两组不同解.
消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两不等实根x 3，x 4，∴Δ＝a 2－10a ＋9>0，
又∵x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a >1，∴a >9.
综上可知，0<a <1或a >9.感悟提升
1.利用函数的图像研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应关系.2.利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图像交点的横坐标；不等式f (x )<g (x )的解集是函数f (x )的图像位于g (x )图像下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.
训练2(1)(2021·唐山模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若f (x )>g (x )恒成立，
则实数k 的取值范围是________.
(2)已知函数y ＝f (x )的图像是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是______.
(3)已知f (x )x |，x >0，|x |，x ≤0，
则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是______.
答案(1)－1(2)(－1，0)∪(1，2]
(3)5解析
(1)如图作出函数f (x )的图像，
当－1≤k <1
2
时，g (x )的图像恒在f (x )下方.
(2)由图像可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x .
在同一平面直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图像，由图像可知不等式的解集为(－1，0)∪(1，2].(3)方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝1
2
或1.
作出y ＝f (x )的图像，由图像知y ＝f (x )与y ＝1
2有2个交点，y ＝f (x )与y ＝1有3个
交点，故零点的个数为5.
1.在2h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图像是(
)
答案B
解析
依题意知，在2h 内血液中药物含量Q 持续增加，停止注射后，Q 呈指数
衰减，图像B 适合.
2.(2022·河南名校联考)函数f (x )＝x cos x ＋sin x x 2
＋1
的部分图像大致为()
答案A 解析
因为f (x )＝
x cos x ＋sin x
x 2
＋1
，所以f (－x )＝
－x cos （－x ）＋sin （－x ）
（－x ）2＋1
＝－x cos x＋sin x
x2＋1＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，排除选项C，D；
又当x f(x)>0，所以排除B.选A.
3.若函数f(x)＝a x－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝log a(|x|－1)的图像可能是()
答案D
解析由f(x)在R上是减函数，知0<a<1.
又y＝log a(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
∴当x>1时，y＝log a(x－1)的图像由y＝log a x的图像向右平移一个单位得到.因此D正确.
4.下列函数中，其图像与函数y＝ln x的图像关于直线x＝1对称的是()
A.y＝ln(1－x)
B.y＝ln(2－x)
C.y＝ln(1＋x)
D.y＝ln(2＋x)
答案B
解析法一设所求函数图像上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图像上，所以y＝ln(2－x).
法二由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝ln x的图像上也在所求函数的图像上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.
5.(2021·郑州模拟)已知函数f(x)＝－x＋1＋log2x，则不等式f(x)<0的解集是()
A.(0，2)
B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.(1，2)
D.(0，1)∪(2，＋∞)
答案D
解析
函数f (x )＝－x ＋1＋log 2x 的定义域为(0，＋∞)，且f (1)＝f (2)＝0，由f (x )<0
可得log 2x <x －1，作出函数y ＝log 2x 与函数y ＝x －1的图像如图所示.
则函数y ＝log 2x 与函数y ＝x －1图像的两个交点的坐标为(1，0)，(2，1)，由图像可知，不等式log 2x <x －1的解集为(0，1)∪(2，＋∞).故选D.6.(2022·大庆模拟)我们从某公司的商标中抽象出一个图像，如图所示.其对应
的函数解析式可能是(
)
A.f (x )＝
1x 2－1
B.f (x )＝
1x 2＋1C.f (x )＝1|x －1|
D.f (x )＝
1||x |－1|
答案D
解析
由题图可知，f (x )为偶函数，故C 错误；
又f (x )>0恒成立，对于A ，f (x )＝
1
x 2－1
>0不恒成立，故A 错误；由图知f (x )在x ＝－1和x ＝1处无定义，故B 错误.故选D.
7.已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2.当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )(
)
A.有最小值－1，最大值1
B.有最大值1，无最小值
C.有最小值－1，无最大值
D.有最大值－1，无最小值答案
C
解析如图，画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图像，它们交于A，B两点.
由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；
在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).
综上可知，y＝h(x)的图像是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值.
8.若函数y＝f(x)的图像恒过点(2，2)，则函数y＝f(5－x)的图像一定经过点________.
答案(3，2)
解析∵f(5－x)的图像可以看作y＝f(x)的图像先关于y轴对称，再向右平移5个单位长度得到，点(2，2)关于y轴对称的点(－2，2)，再将此点向右平移5个单位长度为(3，2)，∴y＝f(5－x)的图像一定过点(3，2).
9.已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围是________.答案{－1}∪(0，＋∞)
解析在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图像和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图像有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点.
10.已知函数f(x)在R上单调且其部分图像如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，则实数t的值为________.
答案1
解析由图像可知不等式－2<f(x＋t)<4，
即f(3)<f(x＋t)<f(0).
又y＝f(x)在R上单调递减，
∴0<x＋t<3，不等式解集为(－t，3－t).依题意，得t＝1.
11.(2021·兰州质检)设函数y＝f(x)的图像与y
＋a的图像关于直线y＝x对称，
且f(3)＋
4，则实数a＝________.
答案－2
解析设(x，y)是y＝f(x)图像上任意一点，则(y，x)在函数y
＋a的图像上，
所以x
＋a，则y＝log1
3
x－a.
因此f(x)＝log1
3
x－a.
由f(3)＋
4，得－1＋1－2a＝4，
所以a＝－2.
12.(2022·哈尔滨模拟)若函数f(x)
2＋1，x<1，
，x≥1
的值域是(a，＋∞)，则a的取
值范围是________.
答案
2 3，
解析画出函数f(x)
2＋1，x<1，
，x≥1
的图像，如图所示.
f(x)＝x2＋1(x<1)的值域是[1，＋∞)，
f(x)＝a
(x≥1)
，a＋1
3，
要使函数f (x )的值域是(a ，＋∞)，
＋1
3≥1，
<1，解得23≤a <1，所以a 的取值范围是2
3
，
13.若直角坐标系内A ，B 两点满足：(1)点A ，B 都在f (x )的图像上；(2)点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“和谐点对”，(A ，B )与(B ，A )
可看作一个“和谐点对”.已知函数f (x )
2x （x <0），
（x ≥0），则f (x )的“和谐点对”
有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案B
解析
作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图像关于原点对称的图像(如图中的虚线部分)，看它与函数y ＝2
e x (x ≥0)的图像的交点个数即可，观察图像可得交点个数为2
，即
f (x )的“和谐点对”有2个.
14.(2021·上海卷)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，下列是f (x )无最大值的充分条件的是(
)
A.f (x )为偶函数且图像关于点(1，1)对称
B.f (x )为偶函数且图像关于直线x ＝1对称
C.f (x )为奇函数且图像关于点(1，1)对称
D.f (x )为奇函数且图像关于直线x ＝1对称答案C
解析
选项A ，B ，D 的反例如图1，2，3所示，故选项A ，B ，D 错误；
对于选项C ，∵f (x )为奇函数且图像关于点(1，1)对称，∴f (x )＋f (－x )＝0，f (2＋x )＋f (－x )＝2，∴f (2＋x )－f (x )＝2，∴f (2k ＋x )＝f (x )＋2k ，k ∈Z ，
又f (0)＝0，∴f (2k )＝2k ，k ∈Z ，当k →＋∞时，f (2k )＝2k →＋∞，∴函数f (x )无最大值，故选C.
15.已知函数f (x )πx ，0≤x ≤1，2022x ，x >1，
若实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，
则a ＋b ＋c 的取值范围是________.答案(2，2023)
解析
函数f (x )πx ，0≤x ≤1，2022x ，x >1
的图像如图所示，不妨令a <b <c ，
由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2022，所以2<a ＋b ＋c <2023.
16.已知函数g (x )－1|
，h (x )＝cos πx ，当x ∈(－2，4)时，函数g (x )与h (x )的
交点横坐标分别记为x i (i ＝1，2，…，n )，则∑n
i ＝1x i 等于________.答案7
解析
易知g (x )－1|
的图像关于直线x ＝1对称，
h (x )＝cos πx 的图像关于直线x ＝1对称.作出两个函数的图像，如图所示.
根据图像知，两函数有7个交点，其中一个点的横坐标为x ＝1，另外6个交点关于直线x ＝1对称，因此∑7
i ＝1
x i ＝3×2＋1＝7.。