7.3.1平面向量的内积

7.3.1 平面向量的内积
一、教材分析：平面向量的内积是本章的重要内容，一是这部分知识本身十分重要，二是因为它应用广泛，在处理长度、角度、垂直关系中，都离不开模的计算、夹角余弦值的计算等，特别是处理几何有关垂直的问题时显得更为简洁，是用数来解决形的问题的最好实例。

二、学情分析：基于就业班：基础差，作为初学者不清楚向量内积是数量还是向量，寻找向量的夹角又容易犯错；基于升学班：有一定基础，对运算律有一定理解，要求对平面向量内积能灵活运用。

三、设计理念：以启发式教学思想和讲练结合的教学方法为指导，采取探究式教学，以物理背景入手，建立起学习向量概念及其方法的基础，利用问题让学生自主地参与探究，在教学过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。

四、教学目标：
1、知识目标：
（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.
（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.
2、能力目标：
通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力
五、教学重、难点：
重点：平面向量数量积的概念及计算公式.
难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．
六、教学策略：
教学方法：探究法和讲练结合法；
学习方法：自主、合作、探究法
七、教学准备：（学生准备：笔、草稿本；教师准备：教学课件
八、教学过程：
（一）导入新课
师：
如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？
生：思考、自我分析
设计意图：从实例出发使学生自然的走向知识点。

（二）新授课
师：我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则
F=
即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即
W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500（J）
这里，力F与位移s都是向量，而功W是
一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它
们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．
如图7－23，设有两个非零向量 ,作＝, ＝,由射线OA与OB所形成的角叫做向量与向量的夹角，记作
两个向量 ,的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量与向量的内积，记作·即
上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.
由内积的定义可知
由内积的定义可以得到下面几个重要结果：
（1）当。

当
（2）
（3）当＝时，有
，
所以
（4）当因此，
因此对非零向量a，b，有
可以验证，向量的内积满足下面的运算律：
(2)
(3) ()
注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即
生：理解、记忆
设计意图：引导式启发学生得出结果，带领学生分析。

（三）例题示范
例1 已知＝3,＝2,＝,求．
解＝3×2×cos＝3．例2 已知|＝＝，＝,求．解＝＝−.
由于 0≤≤，
所以＝．
生：思考，主动求解。

师：说明、强调、引领。

设计意图：注意观察学生是否理解知识点。

（四）巩固练习
1. 已知＝7，＝4，a和b的夹角为，求
2. 已知＝9,求|a|．
3. 已知＝2,＝3,＝，求()
师：提问、巡视、指导。

生：思考、计算、答题。

设计意图：及时了解学生知识掌握得情况
（五）理论升华
思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?
结论：两个向量,的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量与向量的内积，记作·即
的几何意义就是向量的模与向量在向量上的投影的乘积．
（六）小结
（1）
（2） cos<a,b> =a·b
|a||b|
（3）|a|=√a∙a
（4）a⊥b⇔a∙b=
作业布置：7.3A 1。