2021届高考数学人教B版大一轮总复习51 直线的倾斜角与斜率、直线方程

课时作业51 直线的倾斜角与斜率、直线方程
一、选择题
1．直线x ＝π
4的倾斜角等于( C ) A ．0 B ．π
4 C ．π
2 D ．π
解析：由直线x ＝π4，知倾斜角为π
2.
2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )
A ．k 1<k 2<k 3
B ．k 3<k 1<k 2
C ．k 3<k 2<k 1
D ．k 1<k 3<k 2
解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.
3．若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x ，－9)共线，则( B ) A ．x ＝－1 B ．x ＝3 C ．x ＝9
2
D ．x ＝1
解析：三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x ，－9)共线⇒PA →∥PB →，PA →
＝
(1，－5)，PB →
＝(x －1，－10)，得1×(－10)＝－5(x －1)⇒x ＝3.故选B ．
4．过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π
4的直线方程是( A )
A ．x ＝2
B ．y ＝1
C ．x ＝1
D ．y ＝2
解析：∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4， 依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π
2， ∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.
5．(2020·湖南衡阳月考)已知直线l 的倾斜角为θ且过点(3，1)，其中sin (θ－π2)＝1
2，则直线l 的方程为( B )
A ．3x －y －2＝0
B ．3x ＋y －4＝0
C ．x －3y ＝0
D ．3x ＋3y －6＝0
解析：∵sin (θ－π2)＝12，∴cos θ＝－12，θ＝2π
3，则tan θ＝－3，直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x ＋y －4＝0，故选B ．
6．(2020·安徽四校联考)直线l 经过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是( A )
A ．3x ＋y －6＝0
B ．3x －y ＝0
C ．x ＋3y －10＝0
D ．x －3y ＋8＝0
解析：解法1：设直线l 的斜率为k(k<0)，则直线l 的方程为y －3＝k(x －1)．x ＝0时，y ＝3－k ；y ＝0时，x ＝1－3
k .所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×(3－k)(1－3
k )＝6，整理得k 2＋6k ＋9＝0，解得k ＝－3，所以直线l 的方程为y －3＝－3(x －1)，即3x ＋y －6＝0，故选A ．
解法2：依题意，设直线方程为x a ＋y b ＝1(a>0，b>0)，则可得1a ＋3
b ＝1且ab ＝12，解得a ＝2，b ＝6，则直线l 的方程为x 2＋y
6＝1，即3x ＋y －6＝0，故选A ．
7．(2020·郑州质检)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( A )
A ．y ＝3x ＋2
B ．y ＝3x －2
C ．y ＝3x ＋12
D ．y ＝－3x ＋2
解析：∵直线x －2y －4＝0的斜率为1
2，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A ．
8．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( B )
A ．13
B ．－13
C ．－32
D ．23
解析：依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋7＝2，
b ＋1＝－2，解得
⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－5，
b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－1
3.
9．已知点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( A )
A ．8
B ．2 2
C ． 2
D ．16
解析：∵点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x)2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.
10．(2020·焦作检测)过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有( B )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
解析：①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时， 设该直线的方程为x ＋y ＝a ，
把(3，－1)代入所设的方程得a ＝2，
则所求直线的方程为x ＋y ＝2，即x ＋y －2＝0； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时， 设该直线的方程为y ＝kx ，
把(3，－1)代入所设的方程得k ＝－1
3， 则所求直线的方程为y ＝－1
3x ，即x ＋3y ＝0. 综上，所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋3y ＝0， 故选B ．
11．已知f(x)＝a sin x －b cos x(a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( C )
A ．π
4 B ．π3 C ．2π
3
D ．3π4
解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 知函数f(x)的图象关于x ＝π3对称，所以f(0)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，所以a ＝－3b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－3，所以直线的倾斜角为2π
3，故选C ．
二、填空题
12．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为x ＋13y ＋5＝0.
解析：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2，－12，∴BC 边上的中线所在直线方
程为y －0－12－0＝x ＋532＋5
，即x ＋13y ＋5＝0.
13．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.
解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.
14．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是[－2,2]．
解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．
15．曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡
⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π.
解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡
⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π. 16．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为3.
解析：
以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则A(0,4)，B(3,0)，直线AB 的方程为x 3＋y
4＝1.
设P(x ，y)(0≤x ≤3)，所以P 到AC ，BC 的距离的乘积为xy ，因为x 3＋y 4≥2
x 3·y 4，当且仅当x 3＝y 4＝12时取等号，所以xy ≤3，所以
xy 的最大值为3.
17．(2020·武汉市调研测试)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(8,0)，以OA 为直径的圆与直线y ＝2x 在第一象限的交点为B ，则直线AB 的方程为( A )
A ．x ＋2y －8＝0
B ．x －2y －8＝0
C ．2x ＋y －16＝0
D ．2x －y －16＝0
解析：
如图，由题意知OB ⊥AB ，因为直线OB 的方程为y ＝2x ，所以
直线AB 的斜率为－1
2，因为A(8,0)，所以直线AB 的方程为y －0＝－1
2(x －8)，即x ＋2y －8＝0，故选A ．
18．(2020·河南郑州调研)数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点B(－1,0)，C(0,2)，AB ＝AC ，则△ABC 的欧拉线方程为( D )
A ．2x －4y －3＝0
B ．2x ＋4y ＋3＝0
C ．4x －2y －3＝0
D ．2x ＋4y －3＝0
解析：∵B(－1,0)，C(0,2)，∴线段BC 中点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，1，线段BC 所在直线的斜率k BC ＝2，则线段BC 的垂直平分线的方程为y －1＝－12×⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋12，即2x ＋4y －3＝0.∵AB ＝AC ，∴△ABC 的外心、
重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线方程为2x ＋4y －3＝0.故选D ．
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