江苏省苏锡常镇四市2019届高三一模考试数学试卷(有答案)

2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
数学试卷
一、 填空题， 本大题共 14 题， 每小题 5 分， 共 70 分， 不需要写出解答过程， 请把答案直接填在答题卡相应位置上
1、已知集合 A = {0，1，2}， B = {x | -1 < x < 1}， 则 A ∩B = ．
答案：
{}=0A B ⋂。

2、i 为虚数单位， 复数(1- 2i )2 的虚部为 ．
答案：2
312()
4i i =---，即虚部为-4。

3、抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标为 ．
答案：
()1,0。

4、箱子中有形状、 大小相同的 3只红球、 1只白球， 一次摸出 2 只球， 则摸到的
2 只球颜色相同的概率为 ．
答案：
1
2
解析：232412
C C =。

5、如图是抽取某学校160 名学生的体重频率分布直方图， 已知从左到右的前 3组的频率成等差数列， 则第 2 组的频数为 ．
答案：40
6、如图是一个算法流程图， 则输出的 S 的值是 ．
答案：7、已知函数2log (3),0()21,0
x x x f x x -≤⎧=⎨->⎩，若1
(1)2f a -=， 则实数a = ．
答案：2log 3 解析：222133
(1)1log 1log log 3222
f a a a -=
⇒-=⇒=+= 8、中国古代著作《张丘建算经》 有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半， 七天一共行走了 700 里， 那么这匹马在最后一天行走的里程数为 ． 答案：
700127
解析：设第七天走的路程为x ，那么七天总共走的路程为
76
12700
2270012127
x x x x x -++
+==⇒=-。

9、已知圆柱的轴截面的对角线长为 2， 则这个圆柱的侧面积的最大值为 ． 答案：2π
解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，那么2244r h +=，
圆柱的侧面积为22
4222
r h rh ππ
π+≤=。

10、设定义在区间 (0，
2
π
)上的函数 y =x 的图像与 y = 3cos 2x + 2 的图像交于点P ， 则点 P 到 x 轴的距离为 ． 答案：3
解析：()
23 223122cos x sin x =+=-+
()
22312265=0sin x sin x sinx =-+⇒-⇒=
3p p y x ==
11、在△ABC 中 ， 角 A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a = 8b ，A = 2B ， 则
sin （A -
4
π
）＝ ．
答案：50
解
析
：
345825sin 8sin 2sin ,cos ,5564
a b A B A B A B B B B ππ
==⇒==⇒==∴<<，，
)247sinA ,cosA ,sin sinA cosA 25254250
A π=
=∴--=
（）=。

12、若直线 l : ax + y - 4a = 0 上存在相距为 2 的两个动点 A ，B ，圆 O : x 2 + y 2 =1上存在
点 C ， 使得△ABC 为等腰直角三角形（C 为直角顶点）， 则实数 a 的取值范围为 ．
答案：[ 解析：根据题意得，圆 O : x 2 y 2 1上存在点C ，使得点C 到直线l 的距离为1，那
么圆心O 到直线l 的距离为不大于2
2≤，于是[。

13、在△ABC 中， 已知 AB = 2， AC = 1，∠BAC = 90º， D ，E 分别为 BC ，AD
的中点， 过点 E 的直线交 AB 于点 P ，交 AC 于点 Q ， 则BQ CP ⋅u u u r u u r
的最大值
为 ． 答案：94
-
解析：以AC 为x 轴，AB 为y 轴，建立直角坐标系，那么B(0,2),C(1,0),并且E 点的坐标为11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
，设直线
PQ 的方程为11
()42
y k x =-+
，所以有11120,,,0624423k P Q k k ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
---≤≤- ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
1112515921,64224342244k k BQ CP k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-----≤≤-=-++≤--=-
⎪⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭，uu u r uu r
14、已知函数 f (x ) =2||x x a +-， g (x ) = (2a -1)x + a ln x ， 若函数 y = f (x ) 与函数
y = g (x ) 的图像恰好有两个不同的交点， 则实数 a 的取值范围为 ．
答案：()1,+∞
解析：很显然，0a <，()()()h x f x g x -=单调递增，至多有一个零点，不符合题意。

0a >时，令()22()()||(1ln )x x h x f x g x a x a a x -+--==--
2
222ln ,2l )n (,x x a x a a x x a ax a a x x a
-⎧---≥⎪=⎨--<-⎪⎩ ，可以求得0a >时，()01h a a <∴>， 二、 解答题： 共 6 小题， 共 90 分、请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤． 15．（ 本小题满分 14 分）
如图，三棱锥 D - ABC 中，已知 AC ⊥ BC ， AC ⊥ DC ， BC = DC ， E ，F 分别为BD ，
CD 的中点， 求证：
（1） EF // 平面 ABC ; （2） BD ⊥平面 ACE .
解：（1）三棱锥D ABC -中，
∵E 为DC 的中点，F 为DB 的中点，∴EF BC ∥， …………………………3分 ∵BC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，
∴EF ∥平面ABC ． ……………………………………………………………6分 （2）∵AC BC ⊥，AC DC ⊥，BC
DC C =，
∴AC ⊥平面BCD ， …………………………………………………………………8分 ∵BD ⊂平面BCD ，∴AC BD ⊥， ………………………………………………10分 ∵,DC BC E =为BD 的中点，∴CE BD ⊥， ……………………………………12分 ∵AC
CE C =，∴BD ⊥平面ACE ． …………………………………………14分
16．（ 本小题满分 14 分）
已知向量 a = (2cos α，2sin α )，b = (cos α - sin α，cos α + sin α ). （1） 求向量a 与b 的夹角； （2） 若(λb - a ) ⊥ a ，求实数 λ的值.
解：（1）设向量a 与b 的夹角为θ，
因为2=a ，b ………………………4分 所以cos θ⋅=
⋅a b a b =
22
2
=
=
． …………………………………………………………7分 考虑到0πθ剟，得向量a 与b 的夹角
4
π
． ………………………………………9分 （2）若()λ-⊥b a a ，则()0λ-⋅=b a a ，即20λ⋅-=b a a ， ………………………12分
因为2⋅=b a ，24=a ，
所以240λ-=，解得2λ=． ……………………………………………………14分
17．（ 本小题满分 14 分）
某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化. 已知空地的一边是直路 AB ，余下的外围是抛
物线的一段弧， 直路 AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴（ 如图） . 拟在这个空地上划出
一个等腰梯形 ABCD 区域种植草坪， 其中 A ， B ，C ， D 均在该抛物线上. 经测量， 直路 AB 长为 40 米， 抛物线的顶点 P 到直路 AB 的距离为 40 米. 设点C 到抛物线的对称轴的距离为m 米， 到直路AB 的距离为 n 米. （1） 求出 n 关于 m 的函数关系式；
（2） 当m 为多大时， 等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大？ 并求出其最大值.
解：（1）以路AB 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为
y 轴建立平面直角坐标系，
…………………………………………………1分 则(20,0)A -，(20,0)B ，(0,40)P ， …………………………………………………2分
∵曲线段APB 为抛物线的一段弧，
∴可以设抛物线的解析式为(20)(20)y a x x =-+， 将点(0,40)P 代入得：40400a =-，解得1
10
a =-， ………………………………4分 ∴抛物线的解析式为21
(400)10y x =
-， …………………………………………5分 ∵点C 在抛物线上，∴21
(400)10
n m =-，00m <<2． ………………………6分
（2）设等腰梯形ABCD 的面积为S ，
则211
(240)(400)210
S m m =⨯+⨯
-， ………………………………………………8分
321
(204008000)10S m m m =--++， ………………………………………………9分 ∵211
(340400)(320)(20)1010
S m m m m '=--+=--+， ………………………10分
令0S '=，得20
m =， …………………………………………………………11分
…………………………………………………13分 ∴当20
3
m =
时，等腰梯形ABCD 的面积最大，最大值为2560027平方米． …………14分
18．（ 本小题满分 16 分）
已知椭圆E : 22221(0)x y a b a b +=>> .
（1） 求椭圆 E 的标准方程；
（2） 已知 P (t ，0) 为椭圆 E 外一动点， 过点 P 分别作直线 l 1和 l 2 ， l 1和 l 2 分别交椭圆 E 于点 A ， B 和点C ，D ， 且 l 1和 l 2 的斜率分别为定值k 1 和k 2，
求证：
PA PB
PC PD
为定值.
解：(1)设椭圆的半焦距为c ，由已知得，
c a
=2a c c -=，222c a b =-， ………………………………………3分
解得2a =，1b =，c =， …………………………………………………………5分
∴椭圆E 的标准方程是2
214
x y +=． ………………………………………………6分 (2)由题意，设直线1l 的方程为1()y k x t =-，代入椭圆E 的方程中，并化简得，
2
22
22
11
1
(14
)8440
k x k t x
k t +-
+-=， …………………………………………………8分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．
则211221814k t x x k +=+，221122
144
14k t x x k -=+，
因为P A
1t -，PB
2t -，……………………………………10分 所以PA PB ⋅=2112(1)k x t x t +--2211212(1)()k t x x t x x =+-++
2222
2
2
111
22
11
844(1)1414k t k t k t k k -=+-+++221211|4|
14k t k +-=+（）， ……………………………12分 同理，PC ⋅ PD =2222
21|4|
14k t k +-+（）， …………………………………………………14分
所以PA PB PC PD ⋅⋅=221222
21(114114k k k k ++++)()
()()为定值． ………………………………………16分 19．（ 本小题满分 16 分）
已知函数 f (x ) = (x +1)ln x + ax (a ∈ R ).
（1） 若 y = f (x ) 在(1，f (1)) 处的切线方程为 x + y + b = 0 ， 求实数 a ，b 的值； （2） 设函数 g (x ) ＝
()
f x x
， x ∈ [1，e ]（ 中 e 为自然对数的底数） . ①当 a =- 1时， 求 g (x ) 的最大值； ②若h (x ) =
()
g x x
是单调递减函数， 求实数 a 的取值范围. 解：（1）
1
()ln x f x x a x
+'=+
+，(1)21f a '=+=-，3a =-， ………………………1分 (1)3f a ==-，(1,3)-代入0x y b ++=解得2b =． ……………………………2分 （2）①∵1()(1)ln 1g x x x =+-，则222
ln 1ln 1
()x x x x g x x x x
+-+'=-+=． …………3分 令()ln 1x x x ϕ=-+，
则1()10x x
ϕ'=-≥，()x ϕ在[]1,e 单调递增， …………………………………5分
()(1)0x ϕϕ>≥， ………………………………………………………………6分
∴()0g x '>，()g x 在[]1,e 单调递增，∴()g x 的最大值为1
(e)e
g =
． …………8分 ②同理，单调递增函数()()f x g x x =
1,1e a a ⎡
⎤∈++⎢⎥⎣
⎦， ……………………………9分
则11
()(1)ln e
x h x x a x =++⋅．
1若0a ≥，()0g x ≥，1
(1)ln ()e x
x a
x h x ++=，
22111ln (1)ln ()e
x
x x x a
x x x h x +-
+-+-'=
222(1)ln 10e x x x x ax x x -++-++=…， 令22()(1)ln 1u x x x x ax x =-++-++， 则1
()(12)ln (21)0u x x x a x x
'=-+-
-+<． 即()u x 在[]1,e 单调递减，∴max ()(1)20u x u a ==-+…，∴2a ≥．……………11分
2若e 1e
a +-…，()0g x …，1
(1)ln ()e x x a
x h x ++=-，
由1知，2()
()e
x
u x h x x -'=
， 又()h x 在区间[1,e]上是单调减函数， 所以22()(1)ln 10u x x x x ax x =-++-++≥对[1,e]x ∈恒成立， 即221(1)ln ax x x x x +-++≤对[1,e]x ∈恒成立，
即221111
(1)ln a x x x x x +-++≤
对[1,e]x ∈恒成立， 令221111
()=(1)ln ,[1,e]x x x x x x x ϕ+-++∈，
233223232122111132121
()()ln (1)()ln x x x x x x x x x x x x x x x
ϕ'=------++=---++
记()ln 1(1e)x x x x μ=-+≤≤，又11()10x
x x x
μ-'=-=≤，
所以()x μ在区间[1,e]上单调递减，故max ()(1)0x μμ==，即ln 1x x -≤，所以
3232323232
321213212151
()()ln ()(1)0x x x x x x x x x x x x x x x ϕ'=-
--++---++-=--<≤ 即()x ϕ在区间[1,e]上是单调递减，所以min 221111
()(e)(1)lne 1e e e e
x ϕϕ==+-++=-，
所以min ()1a x ϕ=-≤，又e 1
e
a +-…， ∴e 1
e
a +-
…． ………………………………………13分 3若e 10e a +-<<，因为()1()(1)ln f x g x x a x x
==++，
22222ln 1ln 1112
()0x x x x x x g x x x x x x +-++-+'=-+==>≥，
所以()
()f x g x x
=在[1,e]上单调递增，
又1
(1)(e)(1)0e
g g a a =++<，
则存在唯一的0(1,e)x ∈，使000011
()((
1)ln )0e
x h x x a x =++=， ∴()h x 在[1,e]上不单调． …………………………………………………15分 综上所述，e 1
e
a +∈
． ……………………………………………16分 20．（ 本小题满分 16 分）
定义： 若有穷数列 a 1，a 2，⋅⋅⋅，a n 同时满足下列三个条件， 则称该数列为 P 数列. ①首项 a 1 = 1； ② a 1 < a 2 < ⋅⋅⋅ < a n ； ③对于该数列中的任意两项 a i 和 a j (1 ≤ i ≤ j ≤
n ) ，
其积 a i a j 或商
j i
a a 仍是该数列中的项.
（1） 问等差数列1，3，5 是否为 P 数列？
（2） 若数列 a ，b ，c ，6 是 P 数列， 求 b 的取值范围；
（3） 若 n > 4 ，且数列 b 1，b 2，…，b n 是 P 数列， 求证： 数列 b 1，b 2，⋅⋅⋅，b n 是等比数列.
解：（1）∵3515⨯=，
5
3
均不在此等差数列中， ∴等差数列1,3,5不是P 数列； …………………………………………………2分 （2）∵数列a ，b ，c ，6是P 数列，所以1＝a ＜b ＜c ＜6， ………………………3分
由于6b 或
6
b
是数列中的项，而6b 大于数列中的最大项6， ∴6b 是数列中的项，同理6
c
也是数列中的项， ……………………………………5分
考虑到1＜6c ＜6b ＜6，于是6c ＝b ，6
b
＝c ，
∴bc ＝6，又1＜b ＜c ，所以1＜b
…………………………………………7分 综上，b 的取值范围是(1
． ………………………………………………8分 （3）∵数列{b n }是P 数列，所以1＝b 1＜b 2＜b 3＜…＜b n ，
由于b 2b n 或
2
n
b b 是数列中的项，而b 2b n 大于数列中的最大项b n ， ∴
2
n
b b 是数列{b n }中的项， …………………………………………………………10分 同理
3n b b ，4n b b ，…，1
n n b
b -也都是数列{b n }中的项， 考虑到1＜
1n n b b -＜…＜2n b b ＜b n ，且1，1n n b b -，…，2
n b
b ，b n 这n 个数全是共有n 项的增数列1， b 2，…，b n 中的项，
∴
21n n b b b -=，…，12
n n b
b b -=， 从而b n ＝b i b n ＋1－i (i ＝1，2，…，n －1)，① ………………………………12分 又∵b n －1b 3＞b n －1b 2＝b n ，所以b n －1b 3不是数列{b n }中的项， ∴
13n b b -是数列{b n }中的项，同理14n b b -， (12)
n n b
b --也都是数列{b n }中的项， 考虑到1＜
12n n b b --＜…＜14n b b -＜13n b b -＜3
n b
b ＝b n －2＜b n －1＜b n ， 且1，12n n b b --，…，14n b b -，13n b b -，3
n b
b ，b n －1，b n 这n 个数全是共有n 项的增数列1， b 2，…，
b n 中的项，
于是，同理有，b n －1＝b i b n －i (i ＝1，2，…，n －2)，② …………………………14分 在①中将i 换成i ＋1后与②相除，得
1n n b b -＝1i i
b
b +，i ＝1，2，…，n －2， ∴b 1，b 2，…，b n 是等比数列． …………………………………………………16分
2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换
已知x ，y ∈R ，12α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦是矩阵A ＝ 10 x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的属于特征值﹣1的一个特征向量，求矩阵A 的另一个特征值．
解：∵12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵10x
A y ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
的属于特征值1-的一个特征向量， ∴1110
22x
y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，∴21,22,x y +=-⎧⎨=-⎩解得3,1x y =-=-， ……………………4分 ∴3101A -⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
， …………………………………………………………………6分 特征多项式为3
1
()001
f λλλ+-=
=+，即(3)(1)0λλ++=， ……………………8分 ∴另一个特征值为3λ=-． …………………………………………………………10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知直线l ：sin()03
π
ρθ-
=，在直角坐标系（原点与极点重合，x 轴正方向为极轴的正方向）中，曲线C 的参数方程为1414y t t
x t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
（t 为参数）．设l 与C 交于
A ，
B 两点，求AB 的长．
解：以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴建立坐标系，
直线sin()03
π
ρθ-=
的直角坐标方程为y ， ……………………………………2分
曲线1,41,4y t t x t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
的普通方程为221y x -=， ……………………………………………4分
则直线与曲线的交点为A
和(B ， ………………………………7分
∴AB = ………………………………………………………………10分 C ．选修4—5：不等式选讲
若不等式15x x a ++-≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．
解：∵111x x a x x a a ++-+-+=+≥， …………………………………………4分 ∴要使不等式15x x a ++-≥对任意的R x ∈恒成立，当且仅当15a +≥， ………7分 ∴4a ≥或6a -…． ………………………………………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中的不合格产品的件数．
（1）蚊：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X ＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X ＝3)”哪个大？请说明理由；
（2）求随机变量X 的数学期望E(X)． 解：由于批量较大，可以认为随机变量(10,0.05)X
B , ………………………2分
（1）恰好有2件不合格的概率2
2810
(2)0.050.95P X C ==⨯⨯， 恰好有3件不合格的概率3
3710(3)0.050.95P X C ==⨯⨯， ……………………………4分 ∵
2
2810
337100.050.95(2)571(3)0.050.958
C P X P X C ⨯⨯===>=⨯⨯， ∴(2)(3)P X P X =>=，即恰好有2件不合格的概率大； …………………………6分
（2）∵1010
()(1)k
k k k P X k p C p p -===-，0,1,2,,10k =.
随机变量X 的概率分布为：
故0
()0.5k k E X kp ===∑． ………………………………………………………………9分
答：随机变量X 的数学期望()E X 为0.5． …………………………………………10分 23．（本小题满分10分）
已知342
6824
34516810
22()n n
n n C C C C f n C C C C ++=+++
+，562
4682434516810
22
()n n
n n C C C C g n C C C C +++=++++，其中n N *
∈，2n ≥．
（1）求(2)f ，(3)f ，(2)g ，(3)g 的值；
（2）记()()()h n f n g n =-，求证：对任意的m N *∈，m ≥2，总有1
(2)2
m
m h ->
． 解：（1）24363(2)10C f C ==，32
64346841
(3)70
C C f C C =+=，
44361(2)20C g C ==
，54
64346819
(3)140
C C g C C =+=；……………………………………………3分 （2）∵2221
22
(2)!(2)!
(!)(!)((2)!)((2)!)
(22)!((1)!)((1)!)
k k k k
k k k k C C k k k k k C k k +++-
-⋅-⋅+=
++⋅+ 2(1)(2)(1)(1)(22)(21)(2)
k k k k k k k k ++-+-=+++
(1)(42)1
(22)(21)(2)2
k k k k k k ++=
=++++， ………………………………………4分
∴2221
2222
1()()()2k k n
n k k
k k k k C C h n f n g n C k ++==+-=-==+∑∑．……………………………………5分 下面用数学归纳法证：对任意的*,2N m m ∈≥，总有1
(2)2
m m h ->． 当2m =时，111371(4)456602
h =
++=>，命题成立；
当3m =时，371111374(8)60789106010h =
++++>+37246060
=+1>，命题成立，……6分 假设当m t =（3t ≥）时，命题成立，即1
(2)2
t
t h ->成立； 则当1m t =+时，11111
(2)(2)232422
t t t t t h h ++=+
++⋅⋅⋅+
+++ 1
111111
22324252622
t t t t t t +->++++⋅⋅⋅++++++（）， …………………………7分 ∵3t ≥，1113
232422t t t ++-
+++1(23)2(23)(24)(22)
t t t t t +--22=+++0>， ∴
1113
232422t t t ++>
+++． ……………………………………………………………8分 又1111252622t t t ++⋅⋅⋅++++111
111222222
t t t +++>++⋅⋅⋅++++ 12222t t +-=+， ………………………………………………………………………9分 ∴1
111322(2)222222
t t t t t t h +++-->++=++， ∴命题成立． ……………………………………………………………………………10分。