构造对偶式在数学解题中的应用(八种方法)

构造对偶式在数学解题中的应用(八种方法)构造对偶式在数学解题中的应用（八种方法）
数学中的对偶关系是指形式相似,并具有某种对称关系的一对关系式。

在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决。

一．和差对偶
对于表达式u(x)?v(x)，我们可构造表达式u(x)例１若02v(x)作为它的对偶关系式。

，且3sin??4cos??5，谋tan?的值。

解析：构造对偶式：3sin??4cos??y
5?y?sin3sin??4cos??5?6则?,得3sin??4cos??y?cos??5?y?8?再由
sin??cos??1，得：y??2275,?tan??34。

点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。

例２已知：a,b,c,d?r，且a?b?c?d4442222?1，
44澄清：(a?b)?(a?c)?(a?d)?(b?c)?(b?d)?(c?d)?6。

求解：
设m?(a?b)?(a?c)?(a?d)?(b?c)?(b?d)?(c?d),构造对偶
式:n?(a?b)?(a?c)?(a?d)?(b?c)?(b?d)?(c?d)4444444444444
则存有：
m?n?6(a?6(a4?b?b4?c?c4?d4?2ab222?2ac22?2ad22?2bc22?2bd22?2cd)
22222?d)2?6又n?0，故m?6，即为原不等式设立。

基准３解方程：
x2?8x?21?x?8x?21?10
x?8x?21?a，再由原方程联立可解得：
22求解：结构对偶式：x2?8x?21?1
xx2?8x?21??8x?21?10?a210?a2,(1)
,(2)1222那么(1)?(2)得：2x?42?22(100?a),(3)
8x52(1)?(2)得：16x?10a，即a?代入（３）中得：2x?42?整理得：
925x2222，
x)，
212(100?6425?4，Champsaur：x??103。

二．互倒对偶
互倒对偶就是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素挑倒数去结构对偶式的方法。

基准４若x,y,z?(0,1)，澄清：
11?x?y11?x?y11?y?z?11?y?z?11?z?x?3。

求解：设m11?z?x,
构造对偶式：n?(1?x?y)?(1?y?z)?(1?z?x)，则
11?x?y11?y?z11?z?x11?y?zm?n??(1?x?y)??(1?y?z)??(1?z?x)??2?2?2?6而n?3，故m?3，即为
11?x?y?11?y?z?11?z?x?3。

基准５设a1,a2,a3,a222,an为互不成正比的正整数，
求证：a1??a332??ann2?1?12?13?1n。

求解：设立ｍ＝a1?a222?a332??ann12，结构对偶式：n?1a112?1a213??1an
则m?n?(a1?1a1)?(a222?a2)??(ann2?1an)?11n
131n又a1,a2,a3,,an为互不成正比的正整数，所以n?1?12??，因此
2
m?1?12?13?1n。

点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，
完成对难点的突破，以达化解问题这目的。

基准６未知对任一x?(??,0)?(0,??)总存有f(x)?2f()?x?0，求函数y?f(x)的解析
x1式。

解析：因f(x)?2f()?x?0①
x1用
1x替代上式中的x，结构对偶式：f()?2f(x)?x12x?0
11x?0②
由①－②×２得：f(x)?x?4f()?xx2故f(x)??2x3x。

三．共轭对偶
共轭对偶就是充分反映利用共轭根式或共轭复数去结构对偶式的方法。

基准７未知
z?c，解方程：z?z?3iz?1?3i。

解析：由z?z?3iz?1?3i①构造对偶式：z?z?3iz?1?3i②由①－②得z??z?2，代入②
得(z?1)(z?1?3i)?0，故z??1或z??1?3i。

基准８若z?c，未知z?1且z??1，证明：
z?1z?1z?1z?1z?1z?1z?1z?1z?1z?1为纯虚数。

z?1z?1求解：设立ｍ＝，则m?()?，结构对偶式：ｎ＝
则ｍ＋ｎ＝
z?1z?1z?1z?1＋
z?1z?1＝０（因为z?z?z2?1）
又∴
0（因为z??1）
为氢铵虚数。

2b?1?22。

基准９未知：a?0,b?0，且a?b?1，澄清：2a?1?3
证明：设ｍ＝2a?1?∵m22b?1，构造对偶式：ｎ＝2a?1?2b?1?m2?n2?4(a?b)?4?8
∴m?22，即为原不等式设立。

四．倒序对偶
倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。

1234基准１０议和：s?1cn?2cn?3cn?4cn??ncn
nkn?k*0解析：观察和式联想到cn?cn,0?k?n,n?n，故首先在和式右边添上一项0?cn， 012则s?0?cn?1cn?2cn??ncn①
?0cn②
0n012结构对偶式：s?ncn?(n?1)cn?(n?2)cn012即②亦为：s?0?cn?1cn?2cn??ncn③
nn01由①＋③得：ncn?ncn??ncnn?1n?1?ncn
n0101∴2s?ncn?ncn??ncn?ncn?n(cn?cn??cnn?1?cn)
n∴2s?n?2∴s?n?2
评测：利用非常简单的对偶式，并使问题本身显得直观，便易，如此处置，堪称“俗
语说闲庭信步”，岂不妙哉！
例11、正项等比数列{an}中，t?a1?a2?a3?试用ｓ、ｔ表示
q?1a1?1a2??1an?an,s?a1?a2?a3??an，
nn。

解析：传统解法都用a1,q表示ｓ，ｔ及ｑ，然后通过a1和q找到ｓ，ｔ，ｑ的等量
关系，这种解法虽思路正确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论q?1和q?1两种情形，如此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点。

其实，观
察和式子与积式特征不妨采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试。

由题意知：
t?a1?a2?a3??an①
4
构造倒序对偶式：t?an?an?1?an?2?由①×②得：t2?a1②
n?(a1?an)?(a2?an?1)??(an?a1)?(a1?an)，即t?(a1?an)2
2再来看：q?1a11an?1a21??1an③
结构倒序对偶式：q?即为③＋④得：
2q?(1a1?1an?an?1??1a1④
)?(1a2?1an?2)??(1an?1a1)，
即2q?a1?ana1?an?a2?an?2a2?an?2??an?a1an?a1。

由等比数列性质所述，右边的分母均为a1?an，故
(a1?an)?(a2?an?1)?a1?an?(an?a1)2q?
即2q?2sa1an2，∴q?sa1an
又a1an?tn∴q?五．定值对偶
s2?nst2。

tn定值对偶是指能利用和，差，积，商等运算产生定值，并借此构造出对偶式的方法。

基准１２未知函数f(x)?则ｓ＝。

1x22x221?x。

f()?f()?f()?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)=s，
432111(?1x)2解析：f(x)?f()?x1?x1?(1x?)2x221?x?11?x2?1发现定值：f(x)?f()?1。

x1那么s?f()?f()?f()?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)①
4321115。