高考第60课椭圆的方程

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第60课 椭圆的方程

【自主学习】

第60课 椭圆的方程

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1.(选修1-1P30练习3改编)已知某椭圆焦距是4，焦点在x 轴上，且经过点M(3，-2

6)，则该椭圆的标准方程是 .

【答案】236x +2

32y =1

【解析】由题意设椭圆方程为22x a +22

y b =1(a >b >0)，由2c =4，得c =2，又点M 在椭圆上，代入得29a +2

24b =1.

又a 2-b 2=c 2，所以29a +2

24-4a =1，解得a 2=36或a 2=1(舍去)，故b 2=32，所以椭圆方程为

236x +2

32y =1.

2.(选修1-1P30习题3改编)经过A 22-2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，B

32,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭两点的椭圆的标准方程为 .

【答案】2

8x +y 2=1

【解析】设椭圆方程为22x a +22y b =1(a >0，b >0)，将点A ，B 代入，得24a +2

12b =1，

22a +23

4b =1，解得b 2=1，a 2=8，

所以椭圆方程为2

8x +y 2=1.

3.(选修1-1P34练习2改编)一个椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，它的标准方程是 .

【答案】24x +2

3y =1

【解析】由题意设椭圆方程为22x a +22

y b =1(a >b >0)，右焦点F(c ，0)，一个短轴端点为

(0，b )，右顶点(a ，0)，由右焦点到短轴端点的距离为22

b c +=2=a ，右焦点到右

端点的距离为a -c =1，得c =1，所以b =

22-a c =3，所以椭圆方程为24x +2

3y =1.

4.(选修1-1P31习题4改编)若F1，F2是椭圆

2

16

x

+

2

9

y

=1的两个焦点，过F1作倾斜角为α

的直线，与椭圆相交于A，B两点，则△ABF2的周长为.

【答案】16

【解析】由AF1+AF2=2a=8，BF1+BF2=8，得△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=16.

1.椭圆的定义

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于定长(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，用符号表示为PF1+PF2=2a(2a>F1F2).

(2)平面内到定点F和定直线l(F不在定直线l上)的距离之比是一个常数e(0<e<1)的点的轨迹.

2.椭圆

2

2

x

a+

2

2

y

b=1(a>b>0)的焦点为(±c，0)，其中c =22

-

a b，焦点F

1

(-c，0)对应的准

线为x=-

2

a

c，焦点F

2

(c，0)对应的准线为x=

2

a

c.

3.椭圆

2

2

x

a+

2

2

y

b=1(a>b>0)的离心率e=

c

a(0<e<1)，离心率e等于椭圆上任意一点M到

焦点F的距离与M到F对应的准线的距离的比.椭圆越扁，离心率e越大；椭圆越圆，离心率越小.

4.注意焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别和联系.若已知焦点在x轴(或y 轴)上，则标准方程唯一；若无法确定焦点位置，则需要考虑两种情况.

【要点导学】

要点导学各个击破

椭圆定义的应用

例1已知△ABC的三边a，b，c(a>b>c)成等差数列，A，C两点的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，试确定顶点B所在的曲线的方程.

【思维引导】由a，b，c(a>b>c)成等差数列，得BC+BA=2AC为定值，从而动点B在以C，A为焦点的椭圆上，可用定义法求出椭圆方程(再结合其他条件去除多余的点).

【解答】设点B的坐标为(x，y)，

因为a，b，c(a>b>c)成等差数列，

所以a+c=2b，即BC+BA=4.

由椭圆定义知点B所在曲线的轨迹方程为

2

4

x

+

2

3

y

=1.

又因为a>b>c，所以BC>AC，

所以(x-1)2+y2>(x+1)2+y2，所以x<0.

所以点B的轨迹是椭圆的一半，其方程为

2

4

x

+

2

3

y

=1(x<0).

又当x=-2时，点B，A，C在同一直线上，不能构成△ABC，所以x≠-2.

所以顶点B的轨迹方程为

2

4

x

+

2

3

y

=1(-2<x<0)，轨迹是两段椭圆弧.

【精要点评】(1)△ABC的三个点A，B，C不能在一条直线上.

(2)求轨迹要先求出方程，再剔除不合条件的点.

例2已知动圆M与圆F：x2+(y-2)2=1外切，与圆N：x2+y2+4y-77=0内切，求动圆圆心M所在的曲线C的方程.

【思维引导】从分析两圆的位置关系入手，发现动圆圆心M到定点F与N的距离之和是定长10，可以利用椭圆上任意一点到两个定点的距离之和是定长求出椭圆方程.

【解答】因为圆N：x2+y2+4y-77=0，

即x2+(y+2)2=81，所以N(0，-2)，半径为9.

设动圆半径为R，则MF=R+1，MN=9-R，

所以MF+MN=10>FN=4，所以动点M所在的曲线是以F，N为焦点、长轴长为

10的椭圆，其方程为

2

25

y

+

2

21

x

=1.

变式已知圆F1：(x+1)2+y2=16，定点F2(1，0)，动圆M过点F2，且与圆F1相内切，则点M的轨迹C的方程为.

【答案】

2

4

x

+

2

3

y

=1

【解析】设圆M的半径为r.因为圆M与圆F1相内切，所以MF1=4-r，因为圆M过点F2，所以MF2=r，

所以MF1=4-MF2，即MF1+MF2=4，

所以点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，

设椭圆的方程为

2

2

x

a+

2

2

y

b=1(a>b>0)，则有2a=4，c=1，