层次分析法在企业发展中的应用

A4 1/3 1/5 2
1
1 劳动力。
A5 1/3 1/5 3
1
1
工厂选址问题的成对比较矩阵共有 6 个（一个 5 阶，5 个 3 阶）。
问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？
3 层次单排序及一致性检验 层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。 用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。 所谓权值 是把一个总体记为 1，把它分成 n 各小成分，各分的权重 分别记为： w1, w2 ,, wn
得到 Ank 和 CInk (不一致判断矩阵的指标)。取
1 m
RI n
பைடு நூலகம்
m
CI nk
k 1
则 CI > RI 时, 判断矩阵明显不具有一致性。
取 α < 1 , 则当 CI < α RI 时, A 在水准 α 下有满意的
一致性.
随机构造 500 个成对比较矩阵 A1, A2 ,, A500
则可得一致性指标 CI1, CI 2 ,, CI 500
二 层次分析法的基本步骤 1 建立层次结构模型
一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中 间是准则层或指标层。 例 1 的层次结构模型
工厂选址
目标层
交通
水源 地盘价 能源 劳动力
可供选择的地址
准则层 方案层
例 2 层次结构模型
原料采购
工厂资力
原料质量
采购距离
货运费用
供应商数
可供采购供应商
目标层 Z 准则层 A 方案层 B
一 问题的提出 日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依
据一定的标准选择某一种方案。 例 1 工厂选址
工厂选址 ，一般要依据交通、水源、地盘价、能源、劳动力 等方面的因素选择某一地址。 例 2 工厂采购原料
采购原料，是去质量好距离远的地方采购，还是去质量差距离 近的地方，或者是质量好距离近价格高下的地方，一般会依据工厂资 力、产品质量、销路等因素选择去哪个地方采购。
则层次总排序的一致性比率为：
CR
a1CI1 a1RI1
a2CI 2 a2 RI 2
amCI m am RI m
当 CR 0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最
下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。
层次分析法的基本步骤归纳如下
1.建立层次结构模型
该结构图包括目标层，准则层，方案层。
RI 度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新
构造成对比较矩阵，对 A 加以调整。
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1
及随机一致性指标的数值表，对 A 进行检验的过程
4 层次总排序及其一致性检验 确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，
称为层次总排序 从最高层到最低层逐层进行。设：
层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)这是一种定 性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。过去研究自然和 社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数 学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观 察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分 析法是系统分析的数学工具之一。
enterprise development of Analytic Hierarchy Process AHP
Abstract Nowdays Our country taking the minor enterprises of enconomy the first one,This idea providing a good opportunity for businessman. To build a good factory, A number of factors to consider. But there is a common feature, Is that they usually involves the economic, cultural and social aspects of the factors between these factors facing the decision problem, To solve these problems, Can use analytic hierarchy process (AHP) to solve this problem more convenient effective
尺度
含义
1 第 i 个因素与第 j 个因素的影响相同
3 第 i 个因素比第 j 个因素的影响稍强
5 第 i 个因素比第 j 个因素的影响强
7 第 i 个因素比第 j 个因素的影响明显强
9 第 i 个因素比第 j 个因素的影响绝对地强
2,4,6,8 表示第 个因素相对于第 个因素的影响介于上述
两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，
计算最下层对最上层总排序的权向量。
利用总排序一致性比率
CR
a1CI1 a1RI1
a2CI 2 a2 RI 2
amCI m am RI m
2.构造成对比较矩阵
从第二层开始用成对比较矩阵和 1~9 尺度
3.计算单排序权向量并做一致性检验
对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利
用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验
通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造
成对比较矩阵。
4.计算总排序权向量并做一致性检验
若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所 有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。
2 构造成对比较矩阵
设某层有 n 个因素， X x1, x2,, xn
要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中
相对于某一准则所占的比重。（即把 n 个因素对上层某一目标的影响
A 的不一致程度。
定义一致性指标
CI n
n 1
其中 n 为 A 的对角线元素之和，也为 A 的特征根之和。
随机一致性指标
固定 n, 令 A 的上三角从{1/9,…,1,2,…,9}中随机取
值, 构成正互反矩阵。计算它的 CI。
对每个 n = 1, 2, …, 9 分别随机地抽取 n=100~500 个样本,
在正互反矩阵 A 中，若 aik akj aij ,则称 A 为一致阵。
一致阵的性质：
1.
aij
1 a ji
, aii
1, i,
j
1,2,, n
2. AT 也是一致阵
3. A 的各行成正比，则 rankA 1
4. A 的最大特征根（值）为 λ n ，其余 n-1 个特征根均等于 0
5. A 的任一列(行)都是对应于特征根 n 的特征向量。
RI
CI1
CI2
CI 500
1
2 500 500
n
500
n 1
随机一致性指标 RI 的数值：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
一般，当一致性比率 CR CI 0.1 时，认为 A 的不一致程
层次分析法的基本思路： 选择工厂地址
交通、水源、地盘价、能源、劳动力 地址 1、地址 2、地址 3、地址 4
对交通、水源、地盘价、能源、劳动力进行排序 将各个工厂地址的交通、水源、地盘价、能源、劳动力 进行排序 经综合分析决定买哪里是最适合建立工厂 与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。
记 W：较亮，S：亮，D：很亮，A：绝对亮。由人进行相对比较,
得
(c1-c2): W-S, (c1-c3): S-D, (c1-c4): D,
(c2-c3): W,
(c2-c4): W-S, (c3-c4): W
由上述定义知，成对比较矩阵 A aij nn
满足一下性质 1， aij 0
2， aij
根据 aij
1 a ji
。
标度法
10. 心理学研究表明，人们通过感觉思维比较判断两个对
象的相对差别是可能的。
20. 同时比较时能区别差异的心理学极限为 7±2 个。
30. 实验表明 9 级标度法是可行的。
光源四面放四个物体, 距离为 27, 45, 63, 84。
可算得它们的相对亮度为 0.607, 0.219, 0.111, 0.063。
m
a jbij
j 1
B1 : a1b11 a2b12 amb1m B2 : a1b21 a2b22 amb2m
Bn : a1bn1 a2bn2 ambnm
A
A1, A2 ,, Am
B 层的层次总排序
B
a1 , a2 ,, am
B1
b11 b12 … b1m
m
a jb1 j b1 j 1
定理： n 阶互反阵 A 的最大特征根 n ，当且仅 当 n 时， A 为一致阵。
由于 连续的依赖于 aij ，则 比 n 大的越多， A 的不
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较 因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，
引起的判断误差越大。因而可以用 n 数值的大小来衡量
Z
A层m个因素A1, A2 ,, Am ,
对总目标 Z 的排序为
A1
A2
…
A a1, a2 ,, am m
B 层 n 个因素对上层 A 中
B1
B2
…
B 的因素 Aj 的层次单排序 m
为
b1 j , b2 j ,, bnj ( j 1,2,, m)
B 层的层次总排序为：
即 B 层第 i 个因素对
总目标的权值为：
程度排序）
上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取 1~9 尺度。用 aij 表示
第 i 个因素相对于第 j 个因素的比较结果，则
1 aij a ji
a11
A
aij
nn
a21
a12
a22
a1n a2n
A 则称为成对比较矩阵。
an1 an2 ann
比较尺度：（1~9 尺度的含义）
1
w2
则可得成对比较矩阵
A
w1
wn
w1
由上面矩阵可以看出
w1 w2
1
w1
wn w2
wn
wn
1
w2
wi wj
wi wk
wk wj
即， aik akj aij
（ i, j 1,2,, n ）
a23 7, a21 2, a13 4 但在例 1 的成对比较矩阵中， a23 a21 a13
1 a ji
3， aii 1
则称为正互反阵。
比如，例 1 的工厂选址问题中，第二层 A 的各因素对目标层 Z
的影响两两比较结果如下：
Z
A1
A2
A3
A4
A5
(A1,A2,A3,A4,A5)
A1
1 1/2 4
3
3 分别表示
A2
2
1
7
5
5 交通、水源、
A3 1/4 1/7
1
1/2 1/3 地盘价、能源、
一致性判断矩阵各列均是判断矩阵的特征向量 若特征向量为 w = (w1,…,wn)’, 则有
aij = aik/ ajk = wi / wj 表示 wi 与 wj 之间的比值, 是这两者重要性之间的一个判断. w 就是各对象之间的一个排序. 即:各列均表示被判断元素之间的排序。 若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最
浅谈层次分析法在企业发展中的应用
摘要
当今我国在发展我国经济方面中小企业的建设放在了首位，这对 于一些想投资中小企业的商家来说就是一个好的机遇。要建设一个好 工厂，要考虑很多因素。但有一个共同的特点是它们通常都涉及到经 济，文化，社会等方面的因素这些因素之间面临着决策问题。要解决 这些问题，可以运用层次分析法来解决此类问题比较方便有效。（AHP） 方法是 T.L.Saaty 等人在 20 世纪 70 年代提出来的一个有效地实用方 法。实际的列子如工厂选择地点的时候，就会遇上交通，水源，能源， 经济等关系企业以后发展前景的棘手问题。
n
大特征根 n 的归一化特征向量w1, w2,, wn，且 wi 1 i 1
wi 表示下层第 个因素对上层某因素影响程度的权值。
若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty 等人建议用其最大
特征根对应的归一化特征向量作为权向量 w ，则
Aw w w w1, w2 ,, wn
这样确定权向量的方法称为特征根法.
B1
b21 b22 … b2m
…
m
a jb2 j b2 j 1
…
Bn
bn1 bn2 … bnm
层次总排序的一致性检验
m
a jbnj bn
j 1
设 B 层 B1, B2 ,, Bn 对上层( A 层)中因素 Aj ( j 1,2,, m)
的层次单排序一致性指标为 CI j ，随机一致性指为 RI j ，