归结原则

n →∞
x → x0
前页 后页 返回
证
必要性应该是显然的. 下面我们证明充分性. 必要性应该 → x 时, f(x) 不以 A 为极限 则存在正数
ε 0 , ∀δ > 0 , 存在 xδ ∈ U + ( x0 , δ ) , 使 | f ( xδ ) − A | ≥ ε 0 .
x →+∞
是：∃ε 0 > 0, 以及 { xn } , { yn } , 虽然
xn → +∞ ，yn → +∞ ，
但是
f ( xn ) − f ( yn ) ≥ ε 0 .
前页 后页 返回
例如, 例如 对于 y = sin x , 取 ε 0 = 1 ,
π xn = 2nπ, yn = 2nπ + , 2
x1 , x2 > X , 有
f ( x1 ) − f ( x2 ) < ε .
前页 后页 返回
任取 { x n } , xn → +∞，则存在 N，当 n > N 时,
xn > X . 又当 n, m > N 时, xn , xm > M , 故 f ( xn ) − f ( xm ) < ε .
n→ ∞
η
n
, 所以 lim xn = x0 . n→ ∞
归结原则有一个重要应用： 注 归结原则有一个重要应用： 若存在 { xn }, { yn } ⊂ U ( x0 ), xn → x0 , yn → x0 , 但是
lim f ( xn ) = A ≠ B = lim f ( yn ),
n →∞ n →∞
前页 后页 返回
二、单调有界定理
定理 3.10 设 f 为定义在U + ( x0 ) 上的单调有界函数 上的单调有界函数, 则右极限 lim+ f ( x ) 存在 .
x → x0
（相信读者也能够写出关于 lim− f ( x ) , lim f ( x ) ,
x → x0 x → −∞
x → +∞
n→ ∞
lim f ( xn ) = A .
若 f ( x ) 在 x → x0 时, 不以 A 为极限 则存在正数 为极限,
前页 后页 返回
ε 0 , 对于任意正数 δ , 存在 xδ ∈ U ( x0 , δ ), 使得
| f ( xδ ) − A | ≥ ε 0 .
现分别取
δ1 = η , δ 2 = , ⋯, δ n =
这就是说
{ f ( x n ) }是柯西列 ,
因此收敛 .
若存在 { xn } , { yn }, xn → +∞ , yn → +∞ , 使
f ( xn ) → A, f ( yn ) → B , B ≠ A ,
y y y 则令 { zn } 为 x1，1 , x2， 2 ,⋯ , xn， n ,⋯ ,显然 zn → + ∞ .
取 δ 1 = η , ∃ x1 , 0 < x1 − x0 < δ 1 , | f ( x1 ) − A | ≥ ε 0 ;
2 ∃ x2 , 0 < x2 − x0 < δ 2 , | f ( x2 ) − A |≥ ε 0 ;
δ 2 = min{ , x1 − x0 },
η
⋯⋯
δ n = min{ , xn−1 − x0 },
对于单调函数, 归结原则的条件就要简单得多. 对于单调函数 归结原则的条件就要简单得多
上单调， 则 例3 设 f ( x ) 在U + ( x0 ,η )上单调， lim+ f ( x )
x → x0
存在的充要条件是存在一个数列
前页 后页 返回
{ xn } ⊂ U + ( x0,η ) , xn → x0 ,
| f ( x ) − A |< . 2 所以对一切 x1 , x2 > X , 有
ε
| f ( x1 ) − f ( x2 ) | ≤ | f ( x1 ) − A | + | f ( x2 ) − A | < ε .
(充分性) 对任意的 ε > 0，存在 X ( > M ) , 对一切 充分性)
n→ ∞ n→ ∞
不存在. 故 lim cos x 不存在
x→∞
前页 后页 返回
y
1
-1
-0.5
0.5
1
x
1 从几何上看， 从几何上看，y = sin 的图象在 x = 0 附近作无比 x
-1
密集的等幅振荡, 当然不会趋于一个固定的值. 密集的等幅振荡 当然不会趋于一个固定的值 为 了让读者更好地掌握其他五类极限的归结原则 了让读者更好地掌握其他五类极限的归结原则,我 时的归结原则如下： 们写出 x → x0 时的归结原则如下：
0
的充要条件是: 的充要条件是 对于在 U ( x0 ,η ) 内以 x0 为极限的
任何数列 { xn } , 极限 lim f ( xn ) 都存在 并且相等 都存在, 并且相等.
n→ ∞
(必要性 必要性) 证 (必要性) 设 lim f ( x ) = A , 则对任给 ε > 0, 存
x → x0
§3 函数极限存在的条件
在这一节中,我们仍以
x→x0
代 lim f ( x)
表, 介绍函数极限存在的条件. 对于其 他类型的极限,也有类似的结论. 一、归结原则 二、单调有界定理 三、柯西收敛准则
前页 后页 返回
一、归结原则
定理 3.8 设 f 在 U ( x0 ,η ) 有定义 . lim f ( x ) 存在 x→ x →
前页 后页 返回
A − ε < f ( x ) ≤ A.
*
令 δ = x * − x0 , 当 0 < x − x0 < δ 时, 由 f (x) 的递减性 的递减性,
A − ε < f ( x* ) ≤ f ( x ) ≤ A < A + ε .
这就证明了
x → x0
lim+ f ( x ) = A.
发散， 但 { f ( zn )} 发散，矛盾 .
前页 后页 返回
这样就证明了对于任意的 { xn }, xn → +∞ ,
lim f ( xn ) 存在且相等.由归结原则, lim f ( x ) 存在且相等.由归结原则, x → +∞ n→ ∞
存在. 存在. 注 由柯西准则可知, lim f ( x ) 不存在的充要条件 由柯西准则可知
但是 sin xn − sin yn = 1 ≥ ε 0 . 这就说明 lim sin x 不
x → +∞
存在． 存在．
前页 后页 返回
lim 所以 | f ( xn ) − A | < ε . 这就证明了 n→ ∞ f ( xn ) = A .
(充分性 （下面的证法很有典型性，大家必须学 充分性)（下面的证法很有典型性， 充分性 会这种方法. 设任给 { xn } ⊂ U ( x0 , η ), xn → x0 , 会这种方法.） 恒有
2
η
η
n
,⋯ ,
存在相应的
x1 , x2 , ⋯, xn , ⋯ , xn ∈ U ( x , δ n ),
使得
| f ( xn ) − A | ≥ ε 0 , n = 1, 2, ⋯ .
前页 后页 返回
另一方面, 另一方面 0 < | xn − x0 | < δ n = 矛盾. 这与 lim f ( xn ) = A 矛盾
使 lim f ( xn ) 存在 .
n→ ∞
必要性可直接由归结原则得出, 证 必要性可直接由归结原则得出 下面证明充分 递减． 性. 假设 f ( x ) 递减．
设 { xn } ⊂ U + ( x0,δ ' ) , xn → x0 , lim f ( xn ) = A.
n →∞
故 ∀ ε > 0, ∃ N , 当 n ≥ N 时 , 有
从而 f ( x ) ≤ f ( x N1 ) < A + ε . 因此
A − ε < f ( x) < A + ε .
即
x → x0
lim+ f ( x ) = A.
前页 后页 返回
三、柯西收敛准则
这里 仅给出 xlim f ( x ) 的柯西收敛准则 请读者自 的柯西收敛准则, → +∞ 行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则， 行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证 明之. 明之. 定理3.11 定理3.11 设 f (x) 在 + ∞ 的某个邻域 { x | x > M }上 有定义, 存在的充要条件是: 有定义 则极限 lim f ( x ) 存在的充要条件是 任
在 δ > 0 , 当 0 < | x − x0 | < δ 时 , 有
| f ( x) − A | < ε .
设 { xn } ⊂ U ( x0 ,η ) , xn → x0 , 那么对上述 δ , 存在
前页 后页 返回
N ,当 n > N 时 , 有
0 < | x n − x0 | < δ ,
则 lim f ( x ) 不存在 不存在.
x→ x0 →
前页 后页 返回
1 都不存在. 例1 证明 lim sin , lim cos x 都不存在 x →0 x x →∞ 1 1 → 0, yn = →0, 有 解 取 xn = π 2 nπ 2 nπ + 2 1 1 lim sin x = 0 ≠ 1 = lim sin y , n n n→ ∞ n→ ∞ 故 lim sin 1 不存在 x 不存在. x →0 同理可取 xn = 2nπ → ∞ , yn = 2nπ + π → ∞ , 有 2 lim cos xn = 1 ≠ 0 = lim cos yn ,
作为一个例题, 下面给出定理 3.9 的另一种形式. 作为一个例题 的另一种形式 例 2 设 f ( x )在 x0 的某空心右邻域 U + ( x0 ,η )上有定 义. 那么 lim+ f ( x ) = A 的充要条件是任给严格递减
0 的 { xn } ⊂ U + ( x0 ,η ), xn → x0 , 必有 lim f ( xn ) = A.
A − ε < f ( xn ) < A + ε .
对于任意 x ∈ U + ( x0 , x N − x0 ), A − ε < f ( x N ) ≤ f ( x ).
前页 后页 返回
y A +ε
A A−ε
y = f ( x)
O
x 0 x N 1 x xN
)
x
又因为 xn → x0 < x , 所以 ∃ N 1 ( > N ), 使 x N1 < x ,
lim f ( x ) 的单调有界定理 .） .）
有界, 证 不妨设 f 在U + ( x0 ) 递减 . 因为 f (x) 有界 故
x∈U + ( x0 )
sup f ( x ) 存在 设为 .由确界定义 对于 ∀ε > 0, 存在, 设为A 由确界定义 由确界定义,
∃ x * ∈ U + ( x0 ), 使
x →+∞
给 ε > 0, 存在 X ( > M ), 对于任意 x1 , x2 > X , 均有
| f ( x1 ) − f ( x2 ) |< ε .
前页 后页 返回
设 证（必要性） lim f ( x ) = A, 则对于任意 ε > 0 , 必要性）
x → +∞
存在 X (> M ), 对一切 x >X， ，
n
前页 后页 返回
η
∃ x n , 0 < x n − x0 < δ n , | f ( x n ) − A | ≥ ε 0 ;
⋯⋯
这样就得到一列严格递减的数列 { xn } ⊂ U + ( x0 ,η ),
xn → x0 , 但 | f ( xn ) − A | ≥ ε 0 , 这与条件矛盾 这与条件矛盾.
前页 后页 返回
+
定理 3.9 设 f ( x ) 在 x0 的某空心右邻域 U + ( x0 ) 有定 义, 则
任给 { xn } ⊂ U + ( x0 ), xn → x0 , lim+ f ( x ) = A ⇔ x → x0 必有 lim f ( xn ) = A. n→∞