北师大版九年级数学上册教学课件：1.1菱形的性质与判定 (共36张PPT)

拓展点一
拓展点二
拓展点三
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拓展点二 菱形判定方法的综合应用 例2 (2016· 沈阳)如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连 接DE.求证:
(1)∠CEB=∠CBE; (2)四边形BCED是菱形. 分析:(1)欲证明∠CEB=∠CBE,只要证明∠CEB=∠ABD, ∠CBE=∠ABD即可. (2)先证明四边形BCED是平行四边形,再根据BC=BD即可判定.
分析:根据AB=AD及AE为∠BAD的平分线可得出∠1=∠2,从而证 得△BAE≌△DAE,这样就得出四边形ABED为平行四边形,然后根据 菱形的判定定理即可得出结论.
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证明:如图,∵AE平分∠BAD, ∴∠1=∠2. ∵AB=AD,AE=AE, ∴△BAE≌△DAE.∴BE=DE. ∵AD∥BC,∴∠2=∠3=∠1. ∴AB=BE. ∴AB=BE=DE=AD. ∴四边形ABED是菱形.
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知识点一 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 名师解读 几何中的定义都有两重性:一是可作为一条性质,二是 可作为一条判定. (1)根据菱形的定义,判断一个四边形是菱形必须同时具备两个 条件: ①四边形是平行四边形; ②四边形有一组邻边相等. (2)由菱形的定义可知,一个四边形是菱形,则具有如下性质: ①菱形是平行四边形; ②菱形有一组邻边相等.
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例2 (2016· 淮安)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,F分别为边 CD,AD的中点,连接AE,CF,求证:△ADE≌△CDF. 分析:由菱形的性质得出AD=CD,由中点的定义证出DE=DF,由 SAS证明△ADE≌△CDF即可. 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD, ∵点E,F分别为边CD,AD的中点, ∴AD=2DF,CD=2DE,∴DE=DF,
������������ = ������������, 在△ADE 和△CDF 中, ∠������������������ = ∠������������������, ������������ = ������������,
∴△ADE≌△CDF(SAS).
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求证:四边形ADCF是菱形. 分析:先证明△AEF≌△CED,推出四边形ADCF是平行四边形,再 证明△AED≌△ABD,推出DF⊥AC,由此即可证明.
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证明:∵AF∥CD, ∴∠AFE=∠CDE.
∠������������������ = ∠������������������, 在△AFE 和△CDE 中, ∠������������������ = ∠������������������, ������������ = ������������,
知识点三
例3 菱形的两条对角线的长分别是6 cm和8 cm,菱形的周长是 多少厘米? 解:如图,菱形ABCD中,AC=8 cm,BD=6 cm. ∵四边形ABCD是菱形,
1 ∴AC⊥BD,OA=2AC=4
cm,
OD= BD=3 cm. 在 Rt△AOD 中, AD= ������������2 + ������������ 2 = 32 + 42 =5(cm). ∴菱形的周长为 5×4=20(cm).
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知识点三 菱形的判定 判定定理1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 判定定理2 四边相等的四边形是菱形. 名师解:读 菱形的判定方法除了定义外,还可以根据上述判定定 理.
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例4 (2016· 聊城)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的中 点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延 长交AF于点F,连接FC.
∴△AEF≌△CED. ∴AF=CD. ∵AF∥CD, ∴四边形ADCF是平行四边形.
由题意知,AE=AB,∠EAD=∠BAD,AD=AD,∴△AED≌△ABD. ∴∠AED=∠B=90°,即DF⊥AC. ∴平行四边形ADCF是菱形.
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例5 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠BAD的平分线 AE交BC于点E,连接DE.求证:四边形ABED是菱形.
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例1 如图所示,DE是▱ABCD中∠ADC的平分线,EF∥AD,交DC于 F.求证:四边形AEFD是菱形. 分析:可先证明四边形AEFD是平行四边形,再由角的关系求得 ∠AED=∠1,根据等角对等边得AD=AE,再依据有一组邻边相等的平 行四边形是菱形,可得四边形AEFD是菱形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DF∥AE,∵EF∥AD, ∴四边形AEFD是平行四边形, ∴∠2=∠AED, ∵DE是∠ADC的平分线, ∴∠1=∠2,∴∠AED=∠1. ∴AD=AE.∴四边形AEFD是菱形.
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拓展点一 菱形性质的综合应用 例1 如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,DE∥AC交BC的延长线于 1 点E.求证:DE= BE. 2 分析:易知四边形ACED是平行四边形,则AD=CE=BC,从而可知 1 1 BC= 2 BE,要证明DE= 2 BE,只需证明DE=BC即可. 证明:∵ABCD是菱形, ∴AD∥BC,AB=BC=CD=DA. 又∵∠ABC=60°,∴BC=AC=AD. ∵DE∥AC, ∴四边形ACED为平行四边形. ∴CE=AD=BC,DE=AC. 1 ∴DE=CE=BC.∴DE= 2BE.
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知识点二 菱形的性质 定理1 菱形的四条边相等. 定理2 菱形的对角线互相垂直. 名师解读 (1)由菱形的定义可知:菱形是特殊的平行四边形,因此 菱形具有一般平行四边形的所有性质. (2)菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形.菱形有两条对称轴, 分别是两条对角线所在的直线.菱形的对称中心是对角线的交点. (3)由菱形的轴对称性可知:菱形的每一条对角线平分菱形的一 组对角.