量子力学第3章 周世勋

ˆ F (r , P) F (r ,i) ˆ ˆ ˆ F
Ex.
ˆ 动能算符 T
2 ˆ P 2 2 ˆ T 2 2
ˆ 角动量算符 L
ˆ r P ir ˆ L
1.
ˆ 坐标算符 r
2.动量算符
ˆ p
ˆ rr
ˆ p i
1 2 2 2 ˆ ˆ T p 2m 2m
ˆ 3.动能算符 T
ˆ 4.势能算符 U
ˆ U r U
2
ˆ 5.总能量算符（哈密顿算符） H
ˆ ˆ H T
2 ˆ U 2m U r
六、力学量算符与力学量测量值的关系
ˆ 在第二章讨论哈密顿算符H 的本征值问题时已 ˆ 看到，当体系处在 H 的本征态时，体系有确定的能 ˆ 量，该能量值就是 H在此本征态中的本征值。当体 系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而 ˆ 有一系列可能值，这些可能值均为 H 的本征值。这 ˆ 表明 H 的本征值是体系能量的可测值，将该结论推 广到一般力学量算符提出一个基本假设.
二、 角动量算符
（1）轨道角动量算符的定义
z
r
r y
ˆ r P ˆ L
ˆ ˆ zP i y z Lx yPz ˆy z y ˆ ˆ xP i z x Ly zPx ˆz x z ˆ xP yP i x y ˆ ˆ Lz y x y x
2）若粒子处在边长为 L 的立方体内运动，则用 所谓箱归一化方法确定常数 A 。 当粒子被限制在边长为 L 的立方体内时，本征函数 (r ) 满足周期性边界条件 P
L L P , y, z P , y, z 2 2 L L P x, , z P x, , z 2 2 L L P x, y, P x, y, 2 2
§2.1 表示力学量的算符
ˆ 一、算符 A——是一种运算符号，它作用于一 个函数，就得到一个新的函数。
ˆ Au x vx
d 例如： u x vx dx
xux wx
二、算符的一般运算规则
ˆ ˆ ˆ ˆ 1.算符相等 若A B , 则 A B
*
( , )
~ ˆ A 3.转置算符：
~ ~ ˆ ˆ ˆ ˆ 即( , A ) ( , A ) 定义： d A dA
~ 例：证明：x x
~ * * xdx x dx * | dx x
（实数） *
3.2 动量算符与角动量算符 一 动量算符 ˆ i ˆ i ˆ i Px Py P
x
y
ˆ i Py z
ˆ (r ) P (r ) 本征方程： P P P (r ) ( x) Py ( y) Pz (z) 则有 按分离变量法,令 P Px
P
AL
i P r
3 / 2
1 (r ) 3 / 2 e L
i Et P r,t p r e
P
讨 论 （1）从这里可以看出，只有在分立谱情况下，波函数 才能归一化为一；连续谱情况，归一化为 函数。 （2）由
Px 2nx L , Py 2ny L , Pz 2nz L
5.逆算符 ˆ 设 A ，能够唯一地解出，则可以 ˆ ˆ 定义算符 A 的逆算符为： A1
ˆ 若 A 的逆算符存在，则
ˆ ˆ ˆ 1 A AA 1 1 , [ A, A 1 ] 0 A ˆ ˆˆ
6.线性算符
ˆ ˆ ˆ A(c1 1 c2 2 ) c1 A 1 c2 A 2


ˆˆ ˆ ˆ ˆ B B A BA ˆ A

四、 算符的本征值和本征函数 一个算符作用于一个函数的结果，等于一个常 数乘以该函数，即 ˆ (r ) A (r ) 本征值方程 A
n
本征值
本征函数
五、力学量在量子力学中的表达
若量子力学中的力学量 F 在经典力学中有相应的 ˆ 由经典表示 F (r , P) 力学量，则表示该力学量的算符 F ˆ 中将动量 P 换成动量算符 P而得出。
i
i
d P dx d P
y
x
Px P ( x)
x
P ( x) C1e
x
i Px x i Py y i Pz z
归一化 常数
i
dy d P
Py P ( y)
z
P ( y ) C2 e
y
(r ) Ae
P
i Pr
L rB - , y,z 2
y
B
z
B
x
L rB , y, z 2
Ae Ae Ae
i1 Px L Py y Pz z 2 i 1 Px x Py L Pz z 2 i 1 Px x Py y Pz L 2
(n inx jny knz )
这表明动量只能取分立值。换言之，加上周期性边 界条件后，连续谱变成了分立谱。 由归一化条件

2 3
L2
L 2
P (r ) d r
2 3
L2
L 2
A
2
dxdydz
A L 1
归一化本征函数 自由粒子波函数
第 三 章 量子力学中的力学量
The Dynamical variable in Quantum Mechanism
量子力学引入了波函数这样一个基本概念，以概 率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。
经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角 动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论 的方式描述。 量子力学又引入了一个重要的基本概念——算符， 用它表示量子力学中的力学量。算符与波函数作为量 子力学的核心概念相辅相成、贯穿始终。
z
dz
Pz P ( z )
z
P ( z ) C3e
z
归一化系数的确定
1）若粒子处在无限空间中，则按 函数的归 一化方法确定归一化常数 A ，即
2 e (r ) P (r )d A d 3 2 (2 ) A (P P) (P P)
ˆ ˆ 如果算符 F 表示力学量 F ，那么当体系处于 F ˆ 的本征态中时，力学量 F 有确定值，这个值就是 F 属于该本征态的本征值。
该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系
1、力学量算符为线性的厄米算符
ˆ Ex. 1、 证明动量算符的一个分量 px 是厄密算符
Prove : ˆ px dx i x dx * * ˆ x )* dx i i dx ( p x
* P
i ( P P )r
A (2)
1 P (r ) e 3/ 2 (2 )
i P r
3 / 2
i ( px x p y y pz z ) 1 e 3/ 2 (2 )
本征值 P 取连续值。
这正是自由粒子的 de Broglie 波的空 间部分波函数。
dx x
*
~ x x
( )dx x
*
ˆ 4. 厄米共厄算符： A
ˆ ˆ ˆ ˆ 因此可得： ( , A ) A , ( , A )* ( * , A* * )
ˆ ( , A* )
Ae Ae Ae
i 1 Px L Py y Pz z 2 i 1 Px x Py L Pz z 2 i 1 Px x Py y Pz L 2
e e e
i Px L i Py L i Pz L
～
ˆ ˆ ˆ 定义： A d ( A ) d即( , A ) ( A , ) ˆ
ˆ ˆ 所以，可以表成： A A* ~* ~ 例如： p p p p ˆ ˆ ˆ ˆ
～
~ ˆ ) ( , A ) ˆ ( , A
可以看出，相邻两本征值的间隔 P 2 L 与 L 成 反比。当 L 足够大时，本征值间隔可任意小；当 L 时 Px 0 ，即离散谱→连续谱
（3）在自由粒子波函数 P r , t 所描写的状态中， 粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这 个态中的本征值。
ˆ ˆ ˆˆ 一般不满足交换律: AB BA
ˆ x , B i d ˆ 例： A dx ˆ B ( x ) ix d ( x ) Aˆ
dx
ˆ A ( x ) i d ( x ( x )) i ( x ) ix d Bˆ dx dx
ˆ ˆ ˆˆ AB BA
* *
2、厄米算符的本征值都是实数 ˆ ˆ ˆ Fd ( F ) d Prove : F
ˆ ˆ Fd ( F ) d


d d
d d
* * *

ˆˆ AB

ˆ ˆ B A
5. 厄米(Hermite)算符:
ˆ A, 则称A为厄米算符 ˆ ˆ 若A
ˆ ˆ ˆ ˆ Ad ( A )d , 即( , A ) ( A , )
证明可得： p 、x 是厄米算符 ˆ 两个厄米算符之和仍为厄米算符 厄米算符之积一般不是厄米算符 ˆ , B 0，才有 AB AB ˆˆ ˆˆ 只有当 A ˆ
2.单位算符
ˆ I
ˆ ˆ ˆ ˆ ( A B ) A B
ˆ ˆ ˆ ˆ A B B A (加法交换律) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A ( B C ) ( A B) C ( 加法结合律)
3.算符之和
ˆˆ ˆ ˆ 4.算符之积 ( AB) A( B )
三、特殊算符
( , ) d 1.波函数的标积（内积）：
ˆ 2.算符的复共轭 A *
算符的复共轭：把算符的表示式中所有复量换成其 共轭量。
ˆ 例1： p x i , x
ˆ ˆ p x i p x x
*
*
ˆ ˆ p px
* x
d * ( 例2： , ) ( d )
1 e
i 2 nx i 2 n y
1 e 1 e
i 2 nz
2 2 2 nx , Py n y , Pz n 本征值 Px L L L nx 0, 1, 2,, ny 0, 1, 2,, nz 0, 1, 2,
2 Pnx ny nz n L