数学建模试题(开放性)

2014-2015学年上学期
《数学建模》期中考试试题
要求：1.以2-3人为一小组选择5个题做；其中1——38题任选4个，规划问题必做；
2.要求思路清晰，结果合理。

3.每个同学都主动积极参与。

4.第15周交。

**************************************************
1.一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。

设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？
2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4
（1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）
（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？
3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？
4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。

5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？
6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2
升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？
7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打
开后的空气阻力约为0.6试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。

8． 1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。

9．证明对数螺线r=A上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常数，
（）
10．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。

现有一包裹从离地150米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？11．生态学家估计人的内禀增长率约为0.029，已知1961年世界人口数为30.6
亿（3.06×）而当时的人口增长率则为0.02。

试根据Logistic模型计算：（1）世界人口数的上限约为多少（2）何时将是世界人口增长最快的时候？
12．早期肿瘤的体积增长满足Malthus模型（=λV，其中λ为常数），（1）求肿瘤的增倍时间σ。

根据统计资料，一般有σ(7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式
D =
13．正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10μm，重约0.001μg.，（1）当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有30σ天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一（2）手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。

射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。

一
次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌
细胞数小于个时即可凭借体内免疫系统杀灭。

（k为药物的分解系数），对口服或肌注治疗求体
14．设药物吸收系数
内药物浓度的峰值（峰浓度）级达峰时间。

15．医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间，服用的剂量过大会产生副作用甚至危险，服用的剂量过小又达不到治疗的目的，例如，为有效杀死病菌，体内药物浓度应达到A,试分析这一问题并设计出一种病人服药的方法。

16．在法国著名的Lascaux洞穴中保留着古代人类遗留下来的壁画。

从洞穴中取出的木炭在1950年做过检测，测得碳14的衰减系数为每克每分钟0.97个，已知碳14的半衰期为5568年，试求这些壁画的年龄（精确到百年）。

17． 2000年在美国伊利诺斯中部发现了一块古化石骨头，经测定其碳14仅为原有量的14%，试计算该动物大约生活在什么时候。

18． 1956年我国在西北某地发现了一处新石器时代的古墓，从该墓中发掘到的
文物的每克每分钟衰减数为3.06个，试确定该古墓的年代。

19．实验测得一克镭在一年中会衰变掉0.44毫克，据此你能推算出镭的半衰期吗？
20．根据化学知识，溶液中两种物质起反应生成新物质时，反应速度与当前两物质剩余量的乘积成正比。

设初始时刻溶液中两种物质的数量分别为A和B，两物质反应的质量之比为a : b，求t时刻溶液中生成物的数量x(t)。

21．牛顿发现在温差不太大的情况下，物体冷却的速度与温差成正比。

现设正，法医在测量某受害者尸体时测得体温约为32度，一小时后
常体温为36.5
再次测量，测的体温约为30.5度，试推测该受害者的受害时间。

22．已知铀238的半衰期为4.51∙10 年，已测出某颜料每克白铅中铀238的分解数为100个/每分钟，试计算：
（1）每克白铅中有多少铀238分子
（2）铀在这种白铅中所占的百分比有多大？
23．人们普遍认为新产品的畅销期为x(t)位于0.2K至0.8K之间，试求新产品
畅销期的持续时间长度。

24．某人每天由饮食获取2500大卡的热量，其中新陈代谢约需1200大卡，每公斤体重约需运动消耗16大卡，其余热量则转化为脂肪，每公斤脂肪相当于10000大卡，求此人体重的增长公式及极限体重。

25．由于各级火箭的质量不同，
应当是不同的。

请对三级火箭求出最优设计。

26．在2003年上半年Sars（非典型性肺炎）流行期间，我国政府采取了严格的隔离政策，试建一模型研究这一问题。

27．医生发现，麻疹有以下明显特征：（1）潜伏期大约为1/2周，在潜伏期内的孩子从表面上看完全是正常的，但他（她）却会把疾病传染给别的孩子，一旦患病症状出现，孩子就会被隔离且病愈后具有免疫能力（2）麻疹发病有周期性现象，一般来讲会隔年较严重一些。

考虑这两个特征并选用适当的参数建模，使结果大致有1/2周的潜伏期及大约两年的周期性。

28．人工肾的功能大体如下：它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通。

人工肾里流动着某种液体，流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物通过薄膜渗透到人工肾中流动的液体里，试建立模型来描写这一现象。

29．自治系统平衡点的稳定性也可利用等斜线来讨论。

例如，对（3.23）曲线
可以证明：任一轨线都必垂直地穿过f的等斜线而
和
水平地穿过g的等斜线。

利用这一点画出P-P模型平衡点周围的轨线。

30．是某一捕食系统的数学模型，其中。

研究此捕食系统，证明：不管开始时食饵
多么丰富，捕食种群最终必将绝
灭。

31．大鱼只吃小鱼、小鱼只吃虾米，试建模研究这一捕食系统。

在求解你的模型时也许你会遇到困难，建议对模型中的参数取定几组值，用数值解方法处理，并研究结果关于参数取值的敏感性。

32.
33. 小张年初向建设银行贷款30万元用于购房，商定年利率5.3%，按复利计算，若这笔借款分20次定额归还，每年1次，20年还清，并从借后次年年初开始归还，列出一般模型，给出每年应还多是钱？
34. 小张年初向建设银行贷款30万元用于购房，期限20年，商定年利率5.3%，根据数学建模方法，列出相关模型，计算小张每月应还多少钱。

35. 、据世界人口组织公布，地球上的人口在公元元年为2.5 亿，1600 年为5 亿，1830 年为10 亿，1930 年为20 亿，1960 年为30 亿，1974 年为40 亿，1987年为50 亿，到1999 年底，地球上的人口数达到了60 亿。

请你根据20 世纪人口增长规律推测，到哪年世界人口将达到100 亿？到2100 年地球上将会有多少人口？(请你给出解题的一般数学模型及求解思想方法)
36. 设某工厂到t 时刻为止产量是x(t )，t 时刻生产率为x′(t )。

单位时间生产费用与生产率成正比，单位时间产品的贮藏费与产量平方成正比，工厂要在[0,T ]时间内生产产品数量为Q，试建立数学模型制定一个生产计划（它是产量与时间的函数），使生产与贮存的总费用最小。

37. 某军的一导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌艇一艘以90km/h的速度向正东方向行驶。

该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇，导弹的速度为450km/h，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。

试问导弹在何时何处击中敌艇？
38. 狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。

当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正
东的100码处。

当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。

狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。

狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？
规划问题（必做）
某公司应如何合理使用技术培训费
为适应现代科学技术的发展，提高工人的技术水平，必须下工夫搞好职工技术培训．拨出专款进行智力投资，通过提高技术工人的水平，提高产品质量，能获取长期的经济效益．但是，智力投资的目的是以最小的必要投入换取最大的经济效益，因此要对可利用的有限的资金进行合理的分配和利用，这就需要对智力投资的资金进行规划．
某公司需要的技术工人分为初级、中级、高级三个层次．统计资料显示：培养出来的每个初级工每年可为公司增加产值1 万元，每个中级工每年可为公司增加产值4 万元，每个高级工每年可为公司增加产值5.5 万元．公司计划在今后的三年中拨出150 万元作为职工培训费，其中，第一年投资55 万元，第二年投资45 万元，第三年投资50 万元．通过公司过去培养初级工、中级工、高级工的经历并经过咨询，预计培养一名初级工，在高中毕业后需要一年，费用为 1 000 元；培养一名中级工，高中毕业后需要三年的时间，第一年和第二年的费用为3 000 元，第三年的费用为1 000 元；培养一名高级工，高中毕业后也需要三年的时间，其中第一年的费用为3 000 元，第二年的费用为2 000 元，第三年的费用为
4 000 元．
目前公司共有初级工226 人，中级工560 人，高级工496 人．若通过提高目前技术工人的水平来增加中级工和高级工的人数，其培养时间和培养费用分别是：由初级工培养为中级工，需要一年时间，费用为2 800 元；由初级工直接培养为高级工需要两年，第一年费用为2 000 元，第二年费用为
3 200 元；
由中级工培养为高级工需要一年，费用为3 600 元．
由于公司目前的师资力量不足，教学环境有限，每年可培养的职工人数受到一定限制．根据目前的情况，每年在培的初级工不超过90 人，在培的中级工不超过80 人，在培的高级工不超过80 人．
为了利用有限的职工培训费培养更多的技术工人，并为公司创造更大的经济效益，要确定直接由高中毕业生中培养初、中、高级技术工人各多少人，通过提高目前技术工人的水平来增加中级工和高级工人数的初级工和中级工分别为多少，才能使企业增加的产值最多．。