山西省晋中市和诚高中2019届高三数学11月月考试题理

和诚中学2018—2019学年度高三11月月考
理科数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A ＝{ |－4＋3 0}，B ＝，则A ∩B ＝( )
A ．[1,2]
B ．(1,2]
C ．[1,3]
D ．(1,3] 2．复数1＋2i
1－i
的共轭复数为( )
A ．－12＋32
i
B ．－12－3
2
i C ．－1＋3i D ．－1－3i
3．函数f (x )＝cos(2)，∈[0，π]的单调递增区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π 4. 若2cos 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6－α2＝53，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3
＋2α
＝( )
A.19 B ．－23 C.5
3
D ．－
53
5. 函数f ()＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1－2x
1＋2x cos x 的图象大致为( )
6. 已知sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )＝sin(ω＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4的值为( )
A ．－35
B ．－45 C.35 D ．4
5
7. 已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若{
}是公差为－1的等差数列，
且S 6＝3
8
，则
等于( )
A.
421 B ．631 C.821
D ．1231
8. 已知函数f ()＝，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )＜0(0＜a ＜b ＜c )，
若实数
为方程f ()＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( ) A ．
＜a B ．
＞b C ．
＜c D ．
＞c
9.数列{a n }中，满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，且a 1，a 4 035是函数f (x )＝13x 3－4x 2
＋6x －6的极值点，则
log 2a 2 018的值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 10.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(n ∈N *)，且对任意n ∈N *
都有1a 1＋1a 2＋
＋1
a n
＜t ，则实
数t 的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞
11．若函数f ()＝2sin( ) (－2＜＜14)的图象与轴交于点A ，过点A 的直线l
与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →
＝(其中O 为坐标原点)( )
A ．－32
B ．32
C ．－72
D ．72
12. 将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g (x )的图象．若g (x 1)g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为( )
A.
49π12 B.35π6 C.25π6 D.17π
4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.
14.已知变量，满足约束条件 ,且目标函数z ＝3＋的最小值为－1，则
实常数k ＝________.
15.函数f ()是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，若实数a 满足f (log 2a )
＋f ()≤ 2f (2)，则a 的取值范围是________．
16.在△ABC 中，已知B ＝π
3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．若AB ＝AD ，则△ADC 的周长的最
大值为________．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分.17题10分，18-22题，每小题12分） 17(10分). 已知函数f ()=
设
(1)求方程f ()=2的根； (2)若对任意R,不等式f (2)恒成立，求实数m 的最大值；
18（12分）. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
且2cos
2
A －B
2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－3
5
. (1)求cos A 的值；
(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA 在BC 方向上的投影．
19（12分）. 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．
20(12分).已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝
＋
n (n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝
，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k
2 014
对
一切n ∈N *
都成立的最大正整数k 的值；
(3)设f (n )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a n n ＝2k －1，k ∈N *
，
3a n －13 n ＝2k ，k ∈N *
，是否存在m ∈N *
，使得f (m ＋15)＝5f (m )
成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
21（12分）.已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．
(1)讨论f (x )的单调性；
(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．
22（12分）. 已知函数f (x )＝(x －2)e x
＋a (x －1)2
有两个零点．
(1)求a 的取值范围；
(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.
和城中学2018—2019学年度高三11月月考
理科数学试题参考答案
1.解析：选B.解不等式－4x ＋3≤0，得1≤x ≤3，∴A ＝[1,3]，解不等式1
x －1
≥1，得1＜x ≤2，∴B ＝(1,2]，∴A ∩B ＝(1,2]．
2.解析：选B.∵1＋2i 1－i ＝
＋
＋－
＋
＝1－2＋3i 2＝－12＋32i.∴1＋2i 1－i
的共轭复数为
－12－32
i. 3．解析：选C.由2k π－π≤2x －π3≤2k π，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π
6，k ∈Z.
∴函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈[0，π]的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π.
4. 解析：选A.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6－α2－1＝23，
∴cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－α－1＝－19，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
3＋2α
＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝－cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫2π3－2α＝19. 5. 解析：选C.依题意，注意到f (－x )＝1－2－x
1＋2－x cos(－x )＝2
x
－2－x 2x
＋2－x
cos x ＝2x
－1
2x ＋1
cos x ＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不
正确；当0＜x ＜1时，1－2
x
1＋2
x ＜0，cos x ＞0，f (x )＜0，因此结合选项知，C 正确，选C.
6. 解析：选B.根据函数f ()＝sin(
ω＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得T 2＝πω＝π
2
，∴ω＝2.
由sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可得cos φ＝－45，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝
－4
5
. 7. 解析：选A.∵{log 2a n }是公差为－1的等差数列， ∴log 2a n ＋1－log 2a n ＝－1，即log 2
a n ＋1a n ＝log 212，∴a n ＋1a n ＝12，∴{a n }是公比为1
2
的等比数列， 又∵S 6＝
a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫126
1－12
＝3
8，∴a 1＝4
21
.
8. 解析：选D.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
是R 上的减函数，y ＝log 2x 是(0，＋∞)上的增函数，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
－log 2x 是(0，＋∞)上的减函数，又∵f (a )f (b )f (c )＜0，且0＜a ＜b ＜c ，∴f (a )＜0，f (b )＜0，f (c )＜0或f (a )＞0，f (b )＞0，f (c )＜0，故f (c )＜f (x 0)＝0，故c ＞x 0，故x 0＞c 不可能成立．
9.解析：选A.根据题意，可知a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，即数列{a n }是等差数列．又f ′(x )＝x 2
－8x ＋6，所以a 1＋a 4 035＝8＝2a 2 018，所以log 2a 2 018＝log 24＝2.
10.解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n
a 1a 2a 3…a n －1
＝
2n 2
2
n －
＝2
n 2－(n －1)2
＝2
2n
－1
，又a 1＝21＝2
2×1－1
，因此a n ＝2
2n －1
，1a n ＝122n －1，数列{1a n }是以12为首项，1
4
为公比的等比数列，等比数列{1a n }的前n 项和等于12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞，
选
D.
11．解析：选D.由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
8x ＋π4＝0可得π8x ＋π4＝k π，∴x ＝8k －2，k ∈Z ，∵
－2＜x ＜14，∴x ＝6即A (6,0)，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，∴B ，C 两点关于点A 对称即x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝0，则(OB →＋OC →)·OA →
＝(x 1＋x 2，
y 1＋y 2)·(6,0)＝6(x 1＋x 2)＝72.
12. 解析：选A 由题意得g (x )＝2sin2x ＋π12＋π6＋1＝2sin2x ＋π
3
＋1，故g (x )max ＝3，
g (x )min ＝－1，由g (x 1)g (x 2)＝9，得
,由g (x )＝2sin2x ＋π3＋1＝3，得2x ＋π3＝π2
＋
2k π，k ∈Z ，即x ＝π12＋k π，k ∈Z ，由x 1，x 2∈[－2π，2π]，得x 1，x 2＝－23π12，－11π
12，
π12，13π12，故当x 1＝13π12，x 2＝－23π12时，2x 1－x 2取得最大值，最大值为49π
12
. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.解析：由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝π，得到B ＝π3，所以cos B ＝1
2，又a ＝1，b ＝3，
根据余弦定理得b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac ·cos B ，即c 2
－c －2＝0，因式分解得(c －2)(c ＋1)＝0，解得c ＝2，c ＝－1(舍去)，又sin B ＝
32，b ＝3，根据正弦定理b sin B ＝c sin C 得sin C ＝c sin B
b
＝
2×3
23
＝1.
答案：1
14.解析：由题意作出目标函数的平面区域如图所示，
结合图象可知，当过点A (x,2)时，目标函数z ＝3x ＋y 取得最小值－1，故3x ＋2＝－1，解得x ＝－1，故A (－1,2)，故－1＝4×2－k ，故k ＝9.
答案：9
15.解析：由偶函数的性质得已知不等式可化为f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (2)，即f (log 2a )＋f (log 2a )≤2f (2)，所以f (log 2a )≤f (2)，∴f (|log 2a |)≤f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上单调
递减，所以|log 2a |≥2，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，14∪[4，＋∞)．
答案：⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，14∪[4，＋∞) 16. 解析：∵AB ＝AD ，B ＝π
3
，
∴△ABD 为正三角形，∵∠DAC ＝π3－C ，∠ADC ＝2π3，在△ADC 中，根据正弦定理可得
AD
sin C ＝
43sin 2π3＝DC
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π3－C ，∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3－C ＋43＝8⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin C ＋32cos C ＋43＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＋43，
∵∠ADC ＝2π3，∴0＜C ＜π3，∴π3＜C ＋π3＜2π3，∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3的最大值为1，则△ADC 的周长最大值为8＋4 3.
答案：8＋4 3 三、解答题 17解：因为1
2,2
a b ==
，所以()22x x f x -=+.
（1）方程()2f x =，即222x x
-+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，
所以
2(
21)0
x
-=
，于是21
x =，解得
0x =.··························4分
（2）由条件知2222(2)22(22)2(())2x x x x f x f x --=+=+-=-. 因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，
所以2(())4
()
f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.
而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且
2((0))44(0)f f +=， 所
以
4
m ≤，故实数
m
的最大值为
4.····························10分 18解：(1)由2cos
2
A －B
2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－3
5
得 [cos （A B ）+1]cosB sin(A B)sinB cosB=,
即cos （A B ）cosB sin(A B)sinB=,则cosA=
.············5分
(2)由cosA=
，0<A<,得sinA=，
由正弦定理得，sinB==
.由题知a>b,则A>B ，故B=，
根据余弦定理，有
=+-2
5c
（
），解得c=1或c=-7(舍去)，
故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA ｜ｃｏｓＢ＝
··············12分
19解 (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意q ＞0.
由已知，有⎩
⎪⎨⎪⎧2q 2
－3d ＝2，
q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2
－8＝0， 又因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n -1，n ∈N *；
数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.·················5分
(2)由(1)有c n ＝(2n －1)·2n -1
，设{c n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n -2＋(2n －1)×2n -1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n -1＋(2n －1)×2n ， 两式相减得－S n ＝1＋22
＋23
＋…
＋2n －(2n －1)×2n
＝2n +1
－3－(2n －1)×2
n ＝－(2n －3)×2n
－3，
所以S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.·····················12分 20解：（1）当n=1时，
=6
当
而当n=1时，n+5=6适合公式,
············3分
（2）==，
=
=
∴T n 单调递增，故(T n )min ＝T 1＝13.令13＞k 2 014，得k ＜6711
3，所以k max ＝671 (8)
分
(3)f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧
n ＋5 n ＝2k －1，k ∈N *
，
3n ＋2 n ＝2k ，k ∈N *
，
当m 为奇数时，m ＋15为偶数，由f (m ＋15)＝5f (m )得3m ＋47＝5m ＋25，解得m ＝11. 当m 为偶数时，m ＋15为奇数，由f (m ＋15)＝5f (m )，得m ＋20＝15m ＋10，解得m ＝57∉N *
(舍
去)．
综上，存在唯一正整数m ＝11，使得f (m ＋15)＝5f (m )成
立．··············12分
21解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1
x
－a .
若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
若a >0，则当x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.
所以
f (x )在⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1
a ，＋∞上单调递
减．················6分
(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；
当a >0时，f (x )在x ＝1a
处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.
因此f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
>2a －2等价于ln a ＋a －1<0.
令g (a )＝ln a ＋a －1，
则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因
此
，
a 的取值范围是
(0,1)．····································12分
22解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x
＋2a (x －1)＝(x －1)(e x
＋2a )．
①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x
，f (x )只有一个零点．
②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a
2
，
则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2
＝a ⎝
⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0，
故f (x )存在两个零点．
③设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．
若a ≥－e
2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)
内单调递增．
又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．
若a <－e
2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0；
当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0.
因此f (x )在(1，ln(－2a ))内单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)内单调递增． 又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 综
上
，
a 的取值范围为(0，＋
∞)．·····························8分
(2)证明：不妨设x 1<x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，
又f(x)在(－∞，1)内单调递减，
所以x1＋x2<2等价于f(x1)>f(2－x2)，又f(x1)= f(x2)即f(2－x2)< f(x2).
由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)e x2＋a(x2－1)2，
所以f(x2)- f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)e x2.
设g(x)＝－x e2－x－(x－2)e x，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－e x)．
所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，故当x>1时，g(x)<0.
从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.··················12分。