保险精算学准备金
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修正责任准备金的产生:
如果不考虑费用责任准备金的因素，始终以净保 费责任准备金为准计算保险公司的债务，会使保 险公司保险初年的负担很重，而且利润溢出各年 变动非常大。
为了保险公司的利润溢出比较平滑，也同时兼顾 被保险人的利益，有了修正责任准备金的概念。
修正责任准备金原理——阶梯保费值
原始等额净保费
保费贷款期的最长时间由以下方程决定：
Gs t
i
kt
Hale Waihona Puke CVG 为毛保费 i 为贷款利率
s 为连续年金终值函数 ti
在实务中，往往取同时满足以下两个条件的整数
Gs t
i
kt
CV
Gs t1
i
kt1
CV
8.3 资产份额
概念解释：
保费中有很大一部分会以各种给付的形式还给 保单，这是保费的返还性
积累起来的基金是属于保单组的，但由保险公 司负责管理和投资
赔款准备金简称IBNR准备金 本节主要介绍IBNR的两种估计方法：
平均法、保费和损失结合法
7.6.2 平均法
IBNR赔案的赔款总额取决于三个因素：延迟报 告赔案的个数（N）、每个赔案的赔款金额 （X）、延迟时间（T）
平均法就是用这三个因素的平均数来估计未来 IBNR赔款总额
1） N
2） X 3） T
或者说是每个现存被保险人将来的受益现值，也 称为受益责任准备金。
实质
责任准备金是现存被保险人未来收益与未来缴费 现时值之差
7.1 全连续型寿险的责任准备金
7.1.1 准备金的未来法公式 （1）全期缴费情形 终身寿险 n年定期寿险
n年两全保险
n年期生存保险
n年延期终身生存保险金
退保是一种单方面解约行为 很高的第一年费用可能不及回收
注意：《保险法》规定保险公司对未交纳 的保费没有请求权
但是投保本身是为了降低风险，所以不宜 过多扣除
关于退保金的一个理论结果
在完全连续的情况下，如果退还给退保保 单的现金价值等于退保时的责任准备金， 则退保行为不会对继续缴费的有效保单产 生不利影响。
8.1 保单现金价值 8.2 保单选择权 8.3 资产份额 8.4 保单红利
8.1 保单现金价值
8.1.1 保单现金价值的概念 带有储蓄成分的保单随着生效时间的推移，
会形成现金价值
两全寿险保单 终身寿险保单
现金价值数额的一种近似方法是根据公式
一般而言，现金价值不大于责任准备金
8.1.2 现金价值的计算
k0,1,2,
资产份额公式（个体型）
k 1 A S p x ( ) k k A S G ( 1 c k ) e k ( 1 i ) q x ( 1 ) k q x ( 2 ) k k 1 C V
k0,1,2,
8.4 保单红利
经验保费法 三元素法 经验保费法
s 在实务中由线性插值方法决定
如果原有保单为两全保险，其现金价值比较高， 可能会出现展期保险的保险期间大于原有保单剩 余到期时间的情况
规定保险期间到原有保险满期日为止
剩余的现金价值用来购买保额为
k CV
A1 xk:nk
A1 xk:nk
的纯生存保险
如果保额为 b 的保单在退保时还欠有余额为 L
所以这些基金是保单组的资产 而每份有效保单的平均资产数额就是所谓的资
产份额 保单组的资产是保险公司的负债
资产份额的原理
期交保费和趸交保费产品在各个保单年度中的 保险基金的变化过程
年初
交纳保费、扣除费用
年中
保险人投资保险基金以获利
年末
退保保单支付退保金、死亡保单支付保险金、满期则 支付满期给付
如此周而复始，直至所有保单失效
资产份额原理（图示）
保费
上年末基金
本年度可运用资金
投资收益或利息收入
费用支出
退保金
死亡保险金
本年末基金
资产份额公式（团体型）
团体型公式更易于理解
， l x ( ) k 1 k 1 A S l x ( ) k k A S G ( 1 c k ) e k ( 1 i ) d x ( 1 ) k d x ( 2 ) k k 1 C V
解释
亡bh 受 h益V 称超为过风责险任净准值备，金是部指分一的旦数这额一。年中有死亡发生，死 该递推公式说明每一位年初存活的被保险人所缴保费及年
初所缴保费与年初责任准备金所产生的利息之和有两个用 途：一是弥补年末责任准备金与年初责任准备金的差值； 二是弥补该年死亡发生时而产生的风险净值。
7.5 修正责任准备金
解释
b h 为第h年死亡受益， h 为第年初缴付保费。则第h
－1年为每个现存的被保险人准备的责任准备金加上 每个现存的被保险人缴付的保费积累到年末正好可以 为每个在这一年内死亡的被保险人提供 b h 元的死亡 赔付，并为在该年末存活的每位被保险人准备
h V 元责任准备金。
递推公式(二)
h 1 ( h 1 h 1 V ) ( h V h 1 V ) q x h 1 ( b h h V )
的保单贷款，则计算公式修改为
b k C V L (b L )A x 1 k :s
8.2.3 自动垫缴保费
自动垫交保费条款可以动用保单的现金价 值来垫交保费，从而维持保单的效力。
动用自动垫交保费条款之后，保费贷款余 额是逐年上升，而现金价值金额的增长跟 不上保费贷款余额的增长，到所有现金价 值都消耗完之后，该保单失效。
这个结果说明：参照责任准备金来确定退 保金的水平是比较合理的
8.2 保险选择权
退保金可以提供多种支付方式
现金支付 减额交清 展期定期 自动垫交保费
8.2.1 缴清保险（减额交清）
保单在退保时刻的现金价值作为趸交净保费，用来购买 一份和原保单其他条件相同，但保额会有减少的保单。 趸交保费，所以以后不用再交，这是交清 保额会有下降，这是减额
保险精算
第七章 准备金
第七章 准备金
7.1 全连续型寿险的责任准备金 7.2 全离散型寿险的责任准备金 7.3 半连续型寿险的责任准备金 7.4 责任准备金的递推公式 7.5 修正责任准备金 7.6 IBNR责任准备金的估计方法
净责任准备金的定义
定义：
保险公司在任意时刻对每个现存被保险人的未尽 责任现时值，就称为净责任准备金。
修正后阶梯保费
修正前等额保费：P,P,…，P 修正后阶梯保费：， <P,>P
修正责任准备金确定
a Pa
x:j1
x:j
V A a h MOD
k x:n
xk:nk
xk:hk
7.6 IBNR责任准备金的估计方法
7.6.1 已发生未报告准备金 本章适用于财产保险 已发生未报告（incurred but not reported）
的估计 的估计 的估计
7.6.3 保费和损失结合法
根据各年的满期保险费以及预期的赔付率和IBNR 赔款占总赔款额的比率来估计IBNR损失，进而得 到IBNR准备金。
适用于损失数据波动较大且在右边有长“尾巴” 分布的场合。
数学模型为：
保险精算
第八章 保单现金价值与红利
第八章 保单现金价值与红利
（2）限期缴费情形（左上标h表示缴费年限）
h年限期缴费终身寿险 h年限期缴费n年期两全保险
7.1.2 其他类型的公式
7.2 全离散型寿险的责任准备金
7.2.1 准备金的未来法公式
7.2.2 其他类型的公式
7.3 半连续型寿险的责任准备金
7.4 责任准备金的递推公式
递推公式（一） ( h 1 V h 1 ) ( 1 i ) b h q x h 1 h V p x h 1
计算公式为
kCVbkA(k)
bk
kCV A(k )
8.2.2 展期保险
保单在退保时刻的现金价值作为趸交净保 费，用来购买一份新的保单，新保单是定 期险，保额和原有保单相同，但保险期间 需要重新计算。
从退保时刻往前延伸，这是展期 展期得到的是定期保险，这是定期
简单情形下的计算公式
kCVAx1k:s
和责任准备金的计算有密切关系
一般从责任准备金中扣除一笔退保费用，随着保 单生效时间的增加，这个退保费用的数额会逐渐 减少
也可以是责任准备金的一个百分比，百分比随着 生效年份的增加而增加，最后等于100％
美国1941年报告中的调整保费
美国1980年报告中的调整保费
退保金的计算原理
中途退保者应受到某种惩罚
如果不考虑费用责任准备金的因素，始终以净保 费责任准备金为准计算保险公司的债务，会使保 险公司保险初年的负担很重，而且利润溢出各年 变动非常大。
为了保险公司的利润溢出比较平滑，也同时兼顾 被保险人的利益，有了修正责任准备金的概念。
修正责任准备金原理——阶梯保费值
原始等额净保费
保费贷款期的最长时间由以下方程决定：
Gs t
i
kt
Hale Waihona Puke CVG 为毛保费 i 为贷款利率
s 为连续年金终值函数 ti
在实务中，往往取同时满足以下两个条件的整数
Gs t
i
kt
CV
Gs t1
i
kt1
CV
8.3 资产份额
概念解释：
保费中有很大一部分会以各种给付的形式还给 保单，这是保费的返还性
积累起来的基金是属于保单组的，但由保险公 司负责管理和投资
赔款准备金简称IBNR准备金 本节主要介绍IBNR的两种估计方法：
平均法、保费和损失结合法
7.6.2 平均法
IBNR赔案的赔款总额取决于三个因素：延迟报 告赔案的个数（N）、每个赔案的赔款金额 （X）、延迟时间（T）
平均法就是用这三个因素的平均数来估计未来 IBNR赔款总额
1） N
2） X 3） T
或者说是每个现存被保险人将来的受益现值，也 称为受益责任准备金。
实质
责任准备金是现存被保险人未来收益与未来缴费 现时值之差
7.1 全连续型寿险的责任准备金
7.1.1 准备金的未来法公式 （1）全期缴费情形 终身寿险 n年定期寿险
n年两全保险
n年期生存保险
n年延期终身生存保险金
退保是一种单方面解约行为 很高的第一年费用可能不及回收
注意：《保险法》规定保险公司对未交纳 的保费没有请求权
但是投保本身是为了降低风险，所以不宜 过多扣除
关于退保金的一个理论结果
在完全连续的情况下，如果退还给退保保 单的现金价值等于退保时的责任准备金， 则退保行为不会对继续缴费的有效保单产 生不利影响。
8.1 保单现金价值 8.2 保单选择权 8.3 资产份额 8.4 保单红利
8.1 保单现金价值
8.1.1 保单现金价值的概念 带有储蓄成分的保单随着生效时间的推移，
会形成现金价值
两全寿险保单 终身寿险保单
现金价值数额的一种近似方法是根据公式
一般而言，现金价值不大于责任准备金
8.1.2 现金价值的计算
k0,1,2,
资产份额公式（个体型）
k 1 A S p x ( ) k k A S G ( 1 c k ) e k ( 1 i ) q x ( 1 ) k q x ( 2 ) k k 1 C V
k0,1,2,
8.4 保单红利
经验保费法 三元素法 经验保费法
s 在实务中由线性插值方法决定
如果原有保单为两全保险，其现金价值比较高， 可能会出现展期保险的保险期间大于原有保单剩 余到期时间的情况
规定保险期间到原有保险满期日为止
剩余的现金价值用来购买保额为
k CV
A1 xk:nk
A1 xk:nk
的纯生存保险
如果保额为 b 的保单在退保时还欠有余额为 L
所以这些基金是保单组的资产 而每份有效保单的平均资产数额就是所谓的资
产份额 保单组的资产是保险公司的负债
资产份额的原理
期交保费和趸交保费产品在各个保单年度中的 保险基金的变化过程
年初
交纳保费、扣除费用
年中
保险人投资保险基金以获利
年末
退保保单支付退保金、死亡保单支付保险金、满期则 支付满期给付
如此周而复始，直至所有保单失效
资产份额原理（图示）
保费
上年末基金
本年度可运用资金
投资收益或利息收入
费用支出
退保金
死亡保险金
本年末基金
资产份额公式（团体型）
团体型公式更易于理解
， l x ( ) k 1 k 1 A S l x ( ) k k A S G ( 1 c k ) e k ( 1 i ) d x ( 1 ) k d x ( 2 ) k k 1 C V
解释
亡bh 受 h益V 称超为过风责险任净准值备，金是部指分一的旦数这额一。年中有死亡发生，死 该递推公式说明每一位年初存活的被保险人所缴保费及年
初所缴保费与年初责任准备金所产生的利息之和有两个用 途：一是弥补年末责任准备金与年初责任准备金的差值； 二是弥补该年死亡发生时而产生的风险净值。
7.5 修正责任准备金
解释
b h 为第h年死亡受益， h 为第年初缴付保费。则第h
－1年为每个现存的被保险人准备的责任准备金加上 每个现存的被保险人缴付的保费积累到年末正好可以 为每个在这一年内死亡的被保险人提供 b h 元的死亡 赔付，并为在该年末存活的每位被保险人准备
h V 元责任准备金。
递推公式(二)
h 1 ( h 1 h 1 V ) ( h V h 1 V ) q x h 1 ( b h h V )
的保单贷款，则计算公式修改为
b k C V L (b L )A x 1 k :s
8.2.3 自动垫缴保费
自动垫交保费条款可以动用保单的现金价 值来垫交保费，从而维持保单的效力。
动用自动垫交保费条款之后，保费贷款余 额是逐年上升，而现金价值金额的增长跟 不上保费贷款余额的增长，到所有现金价 值都消耗完之后，该保单失效。
这个结果说明：参照责任准备金来确定退 保金的水平是比较合理的
8.2 保险选择权
退保金可以提供多种支付方式
现金支付 减额交清 展期定期 自动垫交保费
8.2.1 缴清保险（减额交清）
保单在退保时刻的现金价值作为趸交净保费，用来购买 一份和原保单其他条件相同，但保额会有减少的保单。 趸交保费，所以以后不用再交，这是交清 保额会有下降，这是减额
保险精算
第七章 准备金
第七章 准备金
7.1 全连续型寿险的责任准备金 7.2 全离散型寿险的责任准备金 7.3 半连续型寿险的责任准备金 7.4 责任准备金的递推公式 7.5 修正责任准备金 7.6 IBNR责任准备金的估计方法
净责任准备金的定义
定义：
保险公司在任意时刻对每个现存被保险人的未尽 责任现时值，就称为净责任准备金。
修正后阶梯保费
修正前等额保费：P,P,…，P 修正后阶梯保费：， <P,>P
修正责任准备金确定
a Pa
x:j1
x:j
V A a h MOD
k x:n
xk:nk
xk:hk
7.6 IBNR责任准备金的估计方法
7.6.1 已发生未报告准备金 本章适用于财产保险 已发生未报告（incurred but not reported）
的估计 的估计 的估计
7.6.3 保费和损失结合法
根据各年的满期保险费以及预期的赔付率和IBNR 赔款占总赔款额的比率来估计IBNR损失，进而得 到IBNR准备金。
适用于损失数据波动较大且在右边有长“尾巴” 分布的场合。
数学模型为：
保险精算
第八章 保单现金价值与红利
第八章 保单现金价值与红利
（2）限期缴费情形（左上标h表示缴费年限）
h年限期缴费终身寿险 h年限期缴费n年期两全保险
7.1.2 其他类型的公式
7.2 全离散型寿险的责任准备金
7.2.1 准备金的未来法公式
7.2.2 其他类型的公式
7.3 半连续型寿险的责任准备金
7.4 责任准备金的递推公式
递推公式（一） ( h 1 V h 1 ) ( 1 i ) b h q x h 1 h V p x h 1
计算公式为
kCVbkA(k)
bk
kCV A(k )
8.2.2 展期保险
保单在退保时刻的现金价值作为趸交净保 费，用来购买一份新的保单，新保单是定 期险，保额和原有保单相同，但保险期间 需要重新计算。
从退保时刻往前延伸，这是展期 展期得到的是定期保险，这是定期
简单情形下的计算公式
kCVAx1k:s
和责任准备金的计算有密切关系
一般从责任准备金中扣除一笔退保费用，随着保 单生效时间的增加，这个退保费用的数额会逐渐 减少
也可以是责任准备金的一个百分比，百分比随着 生效年份的增加而增加，最后等于100％
美国1941年报告中的调整保费
美国1980年报告中的调整保费
退保金的计算原理
中途退保者应受到某种惩罚