上海市杨浦区2015届高三一模数学文含答案

上海市杨浦区2015届高三一模数学文含
答案
XXX年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（文科）
考生注意：
1.答卷前，务必在答题纸上写上姓名、考号，并将核对后
的条形码贴在指定位置上。

2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟。

一．填空题（本大题满分56分）
本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直
接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1.已知sinα=1/2，α∈(0,π)，则α=π/6.
2.设A={x|1≤x≤3}，B={xm+1≤x≤2m+4,m∈R}，A⊆B，则
m的取值范围是[-1,3)。

3.已知等差数列{an}中，a3=7，a7=3，则通项公式为an=-
2n+11.
4.已知直线l经过点A(1,-2)、B(-3,2)，则直线l的方程是
y=-x-1.
5.函数f(x)=x^2-1(x<0)的反函数f^-1(x)=√(x+1)(x≥1)。

6.二项式(x-1/2)^4的展开式中的第4项是6x^2-12x+5/16.
7.不等式log2(x-3)+x>2的解是(3,∞)。

8.已知条件p:x+1≤2；条件q:x≤a，若p是q的充分不必要
条件，则a的取值范围是(-∞,1]。

9.向量a=(2,3)，b=(-1,2)，若ma+b与a-2b平行，则实数
m=1/2.
10.一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张
车票：
6排A座 | 6排B座 | 6排C座 | 走廊 | 6排D座 | 6排E座
| 窗口 | 窗口 |
其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的座位，小孙女喜欢看风景要坐靠窗的座位，则座位的安排方式一共有60种。

11.已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为54π。

12.已知集合A={z|z=1+i+i^2+。

+in,n∈N*}，则集合A的
子集个数为2^n-1.
13.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。

若(a+b-
c)(a+b+c)=ab，则角C=π/3.
14.如图所示，已知函数y=log2(4x)图像上的两点A，B和函数y=log2(x)上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC 为正三角形时，点B的坐标为(-1,2)，则实数p=-1/4.
值为_______________。

二、选择题（本大题满分20分）
本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分。

15.程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）
A。

i7 D。

i>8
16.给出下列命题，其中正确的命题是（）
A。

若x∈C，则方程x=2只有一个根3
B。

若z1∈C,z2∈C且z1−z2>0，则z1>z2
C。

若z∈R，则z⋅z=z不成立
D。

若z∈C，且z<0，那么z一定是纯虚数
17.圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）
A。

x2+y2-x-2y+1=0 B。

x2+y2-x-2y-1=0
C。

x2+y2+x-2y+1=0 D。

x2+y2-x-2y+1=0
18.数列{an},{bn}，若区间[a n+1,b n+1]⊆[a n,b n] n∈N；lim(b n −a n )=0，则称[a n。

b n ]为区间套。

下列选项中，可以构成区间套的数列是（）
A。

an=1/(n+2),bn=2/(3n+2)
B。

an=1/n,bn=2(3n+1)/(n+3)
C。

an=n/(n+2),bn=2/(3n+2)
D。

an=n/(n+2),bn=1/(n+1)
三、解答题（本大题满分74分）
本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD与BC所成角的大小为60°，求：
1）线段A1B1到底面ABCD的距离；
2）三棱椎B1-ABC1的体积。

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分
6分，第2小题满分8分。

如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，
∠MON=π/2，点A是弧MN上的一点，且∠OAN=π/6.现在要
在草地上建一座小房子，使得房子的一面墙恰好与XXX重合，且另外三面墙都与OA、OB、AB平行。

已知小房子的高度为h，底面积为S，求：
1）小房子的体积；
2）若h=2R/3，S=4R2/3，则小房子的表面积为多少？
（结果保留到小数点后两位）
作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段
AB平行于XXX：若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；第二问：现要在其中圈出一块矩形场地ABCD，当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值
为多少？
已知函数$f(x)=\dfrac{ax^2+1}{bx+c}$是奇函数
（$a,b,c$为常数）。

第一问：求实数$c$的值；第二问：若$a,b\in N^*$，且$f(1)=2,f(2)<3$，求$f(x)$的解析式；第三问：对于第二问中的$f(x)$，若$f(x)=m$有正数解，求实数$m$的
取值范围。

如图，曲线$\Gamma$由曲线$C_1:
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0,y\leq0)$和曲线
$C_2: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(y>0)$组成，其中
点$F_1,F_2$为曲线$C_1$所在圆锥曲线的焦点，点
$F_3,F_4$为曲线$C_2$所在圆锥曲线的焦点。

第一问：若
$F_2(2,0),F_3(-6,0)$，求曲线$\Gamma$的方程；第二问：对于第一问中的曲线$\Gamma$，若过点$F_4$作直线$l$平行于曲
线$C_2$的渐近线，交曲线$C_1$于点$A,B$，求三角形
$ABF_1$的面积；第三问：如图，若直线$l$（不一定过$F_4$）平行于曲线$C_2$的渐近线，交曲线$C_1$于点$A,B$，求证：弦$AB$的中点$M$必在曲线$C_2$的另一条渐近线上。

数列$\{a_n\}$各项均不为$0$，前$n$项和为$S_n$，
$b_n=a_n$，$b_n$的前$n$项和为$T_n$，且$T_n=S_n$。

第一问：若数列$\{a_n\}$共$3$项，求所有满足要求的数列；第二问：求证：$a_n=n(n\in N^*)$是满足已知条件的一个数列；第三问：请构造出一个满足已知条件的无穷数列$\{a_n\}$，并使得$a_{2015}=-2014$。

5.12.16
二、选择题
15.B
16.D
17.D
18.C
三、解答题
19.（本题12分，第一小题6分，第二小题6分）
解：（1）因为AD//BC，所以角CBC'为异面直线AD与BC所成角，所以角CBC' = 60°。

（2分）
又因为BB'垂直于面ABCD正四棱柱ABCD-AB'B"C'D"，所以AB'//面ABCD，所以线段BB'的长度为线段AB'到底面ABCD的距离。

（4分）
在三角形BCC'中，BC = 1，角CBC' = 60°，所以BB' =
CC' = 3.所以线段AB'到底面ABCD的距离为3.（6分）2）VAB'C' = VABC。

（8分）
VABC = 1/3 × AB × BC × CC' = 1/3 × 1 × 1 × 3 = 1.（10分）VAB'C' = 1/3 × AB' × B'C' × C'C' = 1/3 × 1/2 × 3 × 3 = 3/2.（12分）
20.（本题14分，第一小题6分，第二小题8分）
1）解：如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，
连接OA、OB，所以角AOB = π/6.（2分）
AB = 24sin(π/12)，OH = 12cos(π/12)，MN = HE = OE =
1/2AB = 12sin(π/12)。

（4分）
EH = OH - OE = 12(cos(π/12) - sin(π/12))。

（4分）
S = AB × EH = 24sin(π/12) × 12(cos(π/12) - sin(π/12)) =
144(2sin(π/12)cos(π/12) - 2sin^2(π/12)) = 144(sin(π/6) + cos(π/6) - 1/2) = 7 - 23√3.（6分）
2）设角AOB = θ，所以0 < θ < π/2.（7分）
则AB = 24sin(θ/2)，OH = 12cos(θ/2)，OE = 1/2AB =
12sin(θ/2)。

（8分）
EH = OH - OE = 12(cos(θ/2) - sin(θ/2))。

（9分）
S = AB × EH = 24sin(θ/2) × 12(cos(θ/2) - sin(θ/2)) =
288sin(θ/2)cos(θ/2) - 288sin^2(θ/2) = 144(sinθ + cosθ - 1) =
144(2sin(θ/2)cos(θ/2) + 2sin^2(θ/2) - 1)。

（11分）
因为0 < θ < π/2，所以0 < θ + π/6 < π。

（12分）
1.格式错误已修正，删除了没有问题的段落。

2.改写后的文章如下：
根据公式 $\Delta = \frac{(2m)^2-4\cdot 2(m^2-a^2)}{2a^2-
m^2}$，可以得到 $m$ 的取值范围为 $-2a<m<2a$。

同时，根
据数形结合，可以得到 $m\geq a$，因此 $a\leq m<2a$。

设点$A(x_1.y_1)$，$B(x_2.y_2)$，$M(x,y)$，则有$x_1+x_2=2m$，$x_1x_2=m^2-a^2$，$y=-\frac{a}{2}(x-m)$，即点 $M$ 在直线$y=-\frac{a}{x}$ 上。

对于数列 $1.2.3$，$1.2.-2$，$1.-1.1$，有 $a_n=n$。

现证
明 $1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$。

数学归纳法证明如下：
1.当 $n=1$ 时，$1^3=1^2$，成立。

2.假设当 $n=k$ 时，
$1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$ 成立。

3.则当 $n=k+1$ 时，
$1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)
^2+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$，成立。

因此，原命题成立。

等式 $13+23+33+。

+n^3+n=n(1+2+3+。

+n)$ 成立，其中$n$ 是正整数。

证明：对于 $n=1$，等式显然成立。

现在考虑 $n>1$ 的情况。

等式左边可以化简为 $\frac{n(n+1)}{2}^2$，等式右边可
以化简为$\frac{n(n+1)}{2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}$，两边相等，原命题得证。

定义数列 $\{a_n\}$ 满足对于 $n\in\mathbb{N}^*$，都有$a_n+n^3=(1+2+3+。

+n)^2$。

证明：对于 $n=1$，等式显然成立。

现在考虑 $n>1$ 的情况。

根据等差数列求和公式，$1+2+3+。

+n=\frac{n(n+1)}{2}$。

代入原式得 $a_n+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$。

移项得 $a_n=\frac{n^2(n+1)^2}{4}-n^3=\frac{n^2(n-
1)^2}{4}$。

定义数列 $\{a_n\}$ 满足对于 $n\in\mathbb{N}^*$，有
$a_{n+2}+3a_n=2(a_{n+1}+a_n)$。

证明：对于 $n=1$，等式显然成立。

现在考虑 $n>1$ 的情况。

将原式中的 $n$ 替换为 $n-1$，得到 $a_{n+1}+3a_{n-1}=2(a_n+a_{n-1})$。

将原式两边同乘 $2$，得到
$2a_{n+2}+6a_n=4(a_{n+1}+a_n)$。

将上式减去原式，得到 $2a_{n+2}-2a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)$，即 $a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n$。

因此，数列 $\{a_n\}$ 是一个等差数列。

设 $a_1=k$，$a_2=k+d$，则 $a_n=k+(n-1)d$。

代入原式得 $d=\frac{k}{2}$，因此 $a_n=k+\frac{(n-1)k}{2}$。

构造数列 $\{a_n\}$ 满足：
begin{cases}a_n=n-1&n\leq 2014\\a_n=n-4029&2015\leq n\leq 4028\\a_n=-2014&n\geq 4029\end{cases}$
也可以构造其他满足条件的数列。