一元二次方程的实根分布问题

一元二次方程的实根分布问题

问题1. 试讨论方程02

=++c bx x 的根的情况.

（1） 根的个数：b 、c 满足什么条件时，方程有两个不等的实根?相等实根？无实根?

（2） 根的大小：b 、c 满足什么条件时,方程有两个正根？两个负根?一正根、一负根？一

根为0？

（3） 根的范围：b 、c 满足什么条件时，方程两根都大于1？都小于1?一根小于1，一根

大于1？

说明 对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的研究，主要分为四个方面（A ）有没有实数根；（B ）有实数根时，两根相等还是不等；（C ）根的正负；(D ）根的分布范围。

利用根的判别式，可以解决(A ）,（B ）,结合运用韦达定理,可以解决（C ）。而要解决（D ），需综合运用判别式、韦达定理及不等式的知识.

思路1 （方程思想）设c bx x x f ++=2)(

（1） 方程0)(=x f 有两个大于1的实根的充要条件是： ⎪⎩

⎪⎨⎧->+-<≥-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-->+≥∆12040)1)(1(2

022121c b b c b x x x x （2） 方程0)(=x f 有两个小于1的实根的充要条件是：

⎪⎩

⎪⎨⎧->+->≥-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<+≥∆12040)1)(1(2

022121c b b c b x x x x （3） 方程0)(=x f 有一根大于1，一根小于1的充要条件是.1,0)(-<+<c b x f 即

思路2 (函数思想)设c bx x x f ++=2

)(，结合图形，则

（1） 方程0)(=x f 有两根都大于1的条件是： ⎪⎩⎪⎨⎧->+≥--<⇒⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧>++=≥-=∆>-.104201)1(0

41222c b c b b c b f c b b （2） 方程0)(=x f 有两根都小于1的条件是：

⎪⎩⎪⎨⎧->+≥-->⇒⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧>++=≥-=∆<-.104201)1(0

41222c b c b b c b f c b b （3） 方程0)(=x f 有两根一个大于1,小于1的条件是：

.101)1(-<+⇒<++=c b c b f

令n c n b 2,1=+=,导出下题。

问题2 关于x 的方程02)1(2

=+++n x n x ，分别在下列条件下，求实数n 的取值范围。

(1）有一个根小于—1，一个根大于1；（2）两根均在)1,1(-内。

解：(1）设n x n x x f 2)1()(2+++=

为使0)(=x f 有一个根小于—1，一个根大于1，则有 320

2)1(102)1(10)1(0)1(-<⇒⎩⎨⎧<+++<++-⇒⎩⎨⎧<<-n n n n n f f 即为所求。 （2）0)(=x f 两根均在)1,1(-内的充要条件是2230121100)1(0)1(-≤<⇒⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<+-<-≥∆>>-n n f f 即为所求.

思考：（1)中为什么不考虑0>∆？（2)中为什么要考虑四个条件,缺一行吗？

问题3 若关于x 的方程0222

=++-a ax x 有两个不同的实数根，且只有一根在[1，2]内，求a 的取值范围。

解：令a ax x x f ++-=22)(2，

（1） 若,84,0)2()1(<<<⋅a f f 此时方程在（1,2）上有一根。

（2） 若0)1(=f ,此时a=8, 方程的两根为,5,121==x x 适合题意。

（3） 若0)2(=f ，此时a=4，方程的两根为,221==x x 不适合题意。

综上所述，a 的取值范围是.84≤<a

说明：在进行一元二次方程根的讨论时，一定要注意是在方程有实根的前提下进行的,所以“∆≥0"千万不可漏掉，对于一元二次方程根的讨论，通常有以下几种情况：

（1)有两个正根的条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-≥∆000a c a b (当a ＞0时，简化为⎪⎩⎪⎨⎧><≥∆000c b ）

（2）有两负根的条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥∆000a c a b （当a ＞0时，简化为⎪⎩⎪⎨⎧>>≥∆000c b ）

（3）两根异号的条件是a c

＜0(a ＞0，简化为c ＜0)．

（4）两根异号，且正根绝对值大的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<00a b a c （当a ＞0时,简化为⎩⎨⎧<<00b c ）

（5）两根异号，且负根绝对值大的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<00a b a c （当a ＞0时，简化为⎩⎨⎧><00b c ）

例4如果关于x 的方程2

2x ＋3x ＋5m ＝0的两个实数根都小于1．求实数m 的取值范围． 分析：我们知道，两数1x 、2x 都为负数的条件是⎩⎨⎧>⋅<+002

121x x x x ,那么是不是11<x ，12<x 就可由⎩⎨⎧<⋅<+122

121x x x x 来决定呢？不,不能．我们通常是将11<x ,12<x ，转化为011<-x ,012<-x ，从而由⎩⎨⎧>--<-+-0)1)(1(0)1()1(2121x x x x 来解决．

解:设原方程的两个根为1x 、2x ,则1x +2x =23

-，1x ·2x =25m

由题意，知1x ﹤1，2x ﹤1，∴ 1x －1﹤0，2x －1﹤0

∴ （1x －1）（2x －1）﹥0，1x ·2x －（1x +2x ）+1﹥0,25m+23

+1﹥0