河北省保定市2020年高三第二次模拟数学(理科)试卷(含答案)
2020年河北省保定市高考数学一模试卷(二)(有答案解析)
2020年河北省保定市高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z=，则=（）A. -1+3iB. -1-3iC. 1+3iD. 1-3i2.已知cosα=-，且α为第二象限角，则sin2α的值为（）A. B. - C. D. -3.设P和Q是两个集合，定义集合P-Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|1＜2x＜4}，Q={y|y=2+sin x，x∈R}，那么P-Q=（）A. {x|0＜x≤1}B. {x|0≤x＜2}C. {x|1≤x＜2}D. {x|0＜x＜1}4.若方程=1表示双曲线，则m的取值范围是（）A. m＜2或m＞6B. 2＜m＜6C. m＜-6或m＞-2D. -6＜m＜-25.在如图所示的程序框图中，如果输出p=120，则输入的N=（）A. 3B. 4C. 5D. 66.已知向量，满足||=3，||=2，且，则与的夹角为（）A. 30°B. 150°C. 60°D. 120°7.已知变量x，y满足约束条件则目标函数z=的取值范围是（）A. [0，2]B. [0，]C. []D. [0，+∞）8.一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，M是AB的中点，则三棱锥C-MEF的高为（）A. B. C. D.9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2a，b sin B-a sin A=a sin C，则cos B等于（）A. B. C. D.10.已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=1，AB=BC=2，则球O的表面积为（）A. 5πB. πC. 9πD. π11.已知命题p：函数y=sin（2x+）和y=cos（2x-）的图象关于原点对称；命题q：若平行线6x+8y+a=0与3x+by+22=0之间的距离为a，则a=b=4．则下列四个判断：“p∨q是假命题、p∧q是真命题、（￢p）∨q是真命题、p∨（￢q）是真命题”中，正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 412.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①f（x m）=mf（x），x＞0，m∈R；②存在实数a＞1，使得f（a）=1．则下列选项正确的是（）A. f（）＞f（3）＞f（2）B. f（）＞f（2）＞f（3）C. f（3）＞f（2）＞f（）D. f（3）＞f（）＞f（2）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=x2+e x的图象在点x=0处的切线方程为______14.从由数字，，所组成的所有三位数中随机抽取一个数，则该数为没有重复数字的三位数的概率为________．15.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？“其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为总量的，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余的，第4关收税金为剩余的，第5关收税金为剩余的，5关所收税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？假设原本持金x斤，则x=______斤．16.已知点O为△ABC所在平面内的一点，且满足||=||=||=1，3，则=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n+1-2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=S n+log2，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=，M为AB的中点.（1）在线段PC上求一点N，使得MN∥平面PAD；（2）若AB=4，PA=PD=2，且二面角P-AD-B为，求PA与平面PBC所成角的正弦值．19.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，且其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问k MN•k OP（O为坐标原点）是否为定值？请说明理由．20.为了尽快攻克一项科研课题，某生物研究所分别设立了甲、乙两个研究小组同时进行对比试验，现随机在这两个小组各抽取40个数据作为样本，并规定试验数据落在[495，510）之内的数据为理想数据，否则为不理想数据．试验情况如表所示：抽查数据频数甲乙[490，495）62 [495，500）812 [500，505）1418[505，510）86[510，515）42（1）根据表中数据作出两个小组样本数据的频率分布直方图；（2）若从甲小组测得的试验数据中，依次有放回的随机抽查5个数据，设抽到理想数据的次数为ξ，求ξ的分布列与数学期望；（以频率作为概率）（3）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关？甲小组乙小组合计理想数据不理想数据合计附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821.已知函数f（x）=ax2-（a2+1）x，x＞0，a≥1．（1）求证：函数f（x）的零点不小于4；（2）g（x）=f（x）+a ln x，若x∈[1，+∞），求证：g（x）＞-a3-+e-2a．22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线M的参数方程是（θ为参数）．（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，P为曲线M上的动点，求△ABP面积的最大值．23.已知函数f（x）=|x-1|-|x+a|，a∈R．（1）若a=2，解不等式f（x）≥1；（2）若x∈（2，4）时，|f（x）|＜|2x+a-1|，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵z==，∴=-1+3i．故选：A．直接利用复数的乘除运算化简得,则=-1+3i．本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数，是基础题．2.答案：B解析：解：∵co sα=-，且α为第二象限角，∴sinα==，则sin2α=2sinα•cosα=2••（-）=-，故选：B．利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角公式求得sin2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．3.答案：D解析：解：P={x|0＜x＜2}，Q={y|1≤y≤3}；∴P-Q={x|0＜x＜1}．故选：D．根据P-Q的定义，可求出P，Q，然后即可求出P-Q．考查描述法的定义，指数函数的单调性，正弦函数的值域，以及P-Q的定义．4.答案：A解析：解：若方程=1表示双曲线，则（m-2）（6-m）＜0∴m＜2或m＞6，故选：A．利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．5.答案：C解析：解：第一次p=1，k＜N成立，k=2，第二次p=2，k＜N成立，k=3，第三次p=6，k＜N成立，k=4，第五次p=24，k＜N成立，k=5，第六次p=120，k＜N不成立，输出p=120，故k≤4不成立，k=5成立，则N=5，故选：C．根据条件进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．6.答案：B解析：解：∵，；∴；∴；∴；又；∴与的夹角为150°．故选：B．根据即可得出，从而得出，这样即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，以及向量夹角的余弦公式．7.答案：A解析：解：变量x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分：目标函数z=的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率，由得A（1，2），所以k OA=2，由图可知目标函数z=的取值范围是：[0，2]．故选：A．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．8.答案：D解析：解：根据题意知，三棱柱ADF-BCE是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图所示；过点C作CN⊥BE，垂足为N，则CN⊥平面ABEF，所以CN是三棱锥C-MEF的高，在R△BCE中，BC=CE=1，所以CN=BE=．故选：D．根据题意知三棱柱ADF-BCE是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，过点C作CN⊥BE，则CN是三棱锥C-MEF的高，求出即可．本题考查了空间中的位置关系与应用问题，是基础题．9.答案：A解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由c=2a，利用正弦定理化简已知等式可得：b2-a2=ac=a2，利用余弦定理即可求得cos B的值．【解答】解：∵若c=2a，，∴则由正弦定理可得：b2-a2=ac=a2，即：，∴．故选A．10.答案：C解析：【分析】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球O的半径是解答本题的关键，属于较易题.由题意可得，S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的半径，代入球的表面积公式即可得到答案．解析：解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S-ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径．∵SA=1，AB=2，BC=2，∴2R==3，即R=．∴球O的表面积S=4•πR2=9π．故选：C．11.答案：C解析：解：y=cos（2x-）=sin[-（2x-）]=sin（-2x）=-sin（-2x）则函数y=sin（2x+）关于原点对称的函数为-y=sin（-2x+），即y=-sin（-2x），即命题p是真命题，若两直线平行则得b=4，∴两平行直线为6x+8y+a=0与6x+8y+44=0，平行直线的距离为═=a，即|a-44|=10a，a＞0，则a-44=10a或a-44=-10a，得a=4或-（舍），则a=b=4，即命题q是真命题，则“p∨q是真命题、p∧q是真命题、（￢p）∨q是真命题、p∨（￢q）是真命题，正确的命题有3个，故选：C．根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件判断命题的真假是解决本题的关键．12.答案：C解析：解：在（0，+∞）上若f（x）满足：①f（x m）=mf（x），x＞0，m∈R；∴f（x）为对数型函数，设f（x）=log a x，若在实数a＞1，使得f（a）=1．即当a＞1时，f（x）=log a a=1，则函数f（x）=log a x为增函数，则f（3）＞f（2）＞f（），故选：C．根据抽象函数关系，确定f（x）为对数型函数，设f（x）=log a x，结合条件判断对数函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合抽象函数关系，转化为对数型函数，结合对数函数的单调性是解决本题的关键．13.答案：y=x+1解析：解：函数y=x2+e x，可得y′=2x+e x，切线的斜率为：1，切点坐标（0，1），函数y=x2+e x的图象在点x=0处的切线方程为：y=x+1．故答案为：y=x+1．求出函数的导数，然后求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．14.答案：解析：解：由1，2，3组成的所有的三位数有33=27个，由1，2，3组成的所有没有重复数字的三位数有=6个，故=．故填：．计算出由1，2，3组成的所有数字，及由1，2，3组成的所有没有重复数字的三位数，即可得到概率．本题考查了古典概型的概率计算，分步乘法原理，属于基础题．15.答案：1.2解析：解：由题意可知过第一关后剩余，过第二关后剩余•=，过第三关后剩余=，过第四关后剩余•=，过第五关后剩余=，∴x-=1，解得x=1.2故答案为：1.2计算每关过后的剩余量即，列方程求出答案．本题考查了数学应用，属于基础题．16.答案：解析：解：∵||=||=||=1，3，∴，两边同时平方可得，9+16+24=25，∴=0，∵=，则==（）==0=，故答案为：．由已知可知两边同时平方可求，然后结合=，及=，结合向量数量积的性质即可求解．本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于中档试题．17.答案：解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n+1-2．①当n=1时，a1=2．当n≥2时，②①-②得：（首项符合通项），故：．（2）由于：，则：．数列{b n}满足b n=S n+log2=2n+1-2-n．所以：+（23-2-2）+…+（2n+1-2-n），=（22+23+24+…+2n+1）-2n-（1+2+3+…+n），=，=．解析：（1）利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.答案：解：（1）设线段PC的中点为N，则N为所求．设线段PD的中点为H，连接NH，AH，在△PDC中，HN∥DC，HN=，∵四边形ABCD是菱形，M为AB的中点，∴AM∥DC，AM=，∴HN∥AM，HN=AM，∴四边形AMNH是平行四边形，∴AH∥MN又∵AH⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.即N为线段PC中点时满足MN∥平面PAD．（2）在菱形ABCD中，取AD中点O，连接BO，∵∠BAD=，∴△ABD是等边三角形，由三线合一得：BO⊥AD，连接PO，∵PA=PD，则PO⊥AD，∴∠POB是二面角P-AD-B的平面角，即∠POB=，∴∠POG=，∴OG=，PG=1；如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过点O的平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，-，1），C（-4，2，0），=（2，，-1），=（0，3，-1），=（-4，0，0），设面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取得=（0，，9），∴PA与平面PBC所成角的正弦值为sin θ=|cos＜＞|==．解析：本题考查满足线面平行的点的位置的判断与求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是较难题．（1）设线段PC的中点为N，线段PD的中点为H，连接NH，AH，推导出AM∥DC，从而HN∥AM，HN=AM，从而四边形AMNH是平行四边形，进而MN∥平面PAD，由此得到N为线段PC中点时满足MN∥平面PAD．（2）在菱形ABCD中，取AD中点O，连接BO，则BO⊥AD，连接PO，PA=PD，则PO⊥AD，∠POB是二面角P-AD-B的平面角，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过点O的平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA与平面PBC所成角的正弦值．19.答案：解：（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），∴椭圆C的半焦距为c=1，又椭圆的离心率e=，∴a=2，则b=．∴椭圆C的方程为；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=kx+m，联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．△＞0即只需n2＜4k2+3．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴P（），∴．∴．解析：（1）由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆半焦距，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=kx+m，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得P的坐标，再由斜率公式求得OP的斜率，可得k MN•k OP为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：（1）甲乙两个小猪的频率分布直方图如图，（2）易知甲小组的理想数据为8+14+8=30．故甲小组中理想数据的频率为=0.75由题意知，ξ～B（5，），所以ξ012345PE（ξ）=5×=，（或者E（ξ）=0×+1×+……+5×=．（3）甲小组的理想数据为30，乙小组的理想数据为36，甲小组乙小组合计理想数据30 3666不理想数据 10 4 14合计 4040 80∵由表中数据得K2的观测值k===30117＞2.706．∴有90%的把握任务抽取的数据为理想数据与对两个小组的选择与有关．解析：（1）根据频数计算各小组对应的概率，画频率分布直方图．（2）根据题意，ξ～B（5，），ξ的取值为从0到5，列出分布列，计算期望即可．（3）列出2×2列联表，计算k，查表，判断即可．本题考查了频率分布直方图，二项分布，独立性检验等知识，属于中档题．21.答案：证明：（1）由f（x）=ax2-（a2+1）x，x＞0，a≥1．得零点x=≥=4，当且仅当a=1时取等号，故结论成立．（2）g（x）=f（x）+a ln x=ax2-（a2+1）x+a ln x，x∈[1，+∞），g′（x）=ax-（a2+1）x+==，∴由g′（x）=0，解得x=a，．由a=≥1时，解得a=1．（i）当a=1时，g′（x）≥0，在x∈[1，+∞）上恒成立，g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（1）=-（1+1）=-，而-a3-+e-2a=-．结论成立．（ii）当＜a，即a＞1时，g（x）在x∈（a，+∞）上单调递增，在x∈（1，a）上单调递减．∴g（x）min=g（a）=a lna--a=-，而-a3-+e-2a=-．结论成立．要证明：g（x）＞-a3-+e-2a成立．即证明：a lna+a＞-+e成立．令u（a）=a lna+a，v（a）=-+e，a＞1．u′（a）=ln a+2＞2，∴u（a）在a∈（1，+∞）上单调递增．∴u（a）＞u（1）=1．v′（a）=-=-＜0，∴v（a）在a∈（1，+∞）上单调递减，v（a）＜v（1）=0＜1．∴a lna+a＞-+e恒成立．因此g（x）＞-a3-+e-2a．解析：（1）由f（x）=ax2-（a2+1）x，x＞0，a≥1．得零点x=，利用基本不等式的性质即可证明．（2）g（x）=f（x）+a ln x=ax2-（a2+1）x+a ln x，x∈[1，+∞），g′（x）=ax-（a2+1）x+=，由g′（x）=0，解得x=a，．由a=≥1时，解得a=1．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）由题意可知C：x2+y2=3，直线l的直角坐标方程为y=x-1．（2）将直线l方程代入C的方程并整理得t2+-2=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-，t1t2=-2，∴|AB|=|t1-t2|=，所以点P到直线l的距离d==，所以当sin（-θ）=-1时，d的最大值为，即三角形ABP面积最大值为××=．解析：（1）消去参数t可得直线l的直角坐标方程，由ρ=可得ρ2=3，可得x2+y2=3；（2）利用参数的几何意义求弦长，利用掉到直线的距离求三角形的高，利用三角函数的性质求最大值．本题考查了简单无线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）当a=2时，f（x）=，当x＜-2时，由f（x）≥1，得x＜-2；当-2≤x≤1时，由f（x）≥1得-2≤x≤-1；当x＞1时，由f（x）≥1，无解；所以不等式f（x）≥1的解集为{x|x≤-1}（2）因为|f（x）|=||x-1|-|x+a||≤|（x-1）+（x+a）|=|2x+a-1|，当且仅当（x-1）（x+a）≤0时，等号成立．当（x-1）（x+a）＞0时，|f（x）|＜|2x+a-1|，记其解集为A，则（2，4）⊆A，①若a≥-1，显然成立；②若a＜-1，∴A=（-∞，1）∪（-a，+∞），∴-2≤a≤-1，所以a的取值范围是[-2，+∞）．解析：（1）分3段去绝对值姐不等式；（2）利用绝对值不等式取等的条件可得．本题考查了绝对值不等式，属中档题．。
河北省保定市2020届高三下学期第二次模拟考试数学(理科)试题--带答案
＝３，犪→ %犫→ rx１２０°，q
→
→
犪＋２犫
＝
．
１４． å y s t 犘－犃犅犆，犃犅＝２槡３，犘犃＝２槡５，q í y s t Í u v + w x
．
１５． *yz犚 +t犳（狓）＝μ＋２λ犲狓＋λ犲２狓狓＋２狓＋２２０２０ｓｉｎ狓i3×d]3=d，\3
×d]3=d+]４，qλ－μ＝
6狓 + D ñ 犕′． X / ： é j 犕′犖 % 狓 + ` ñ 犛 ^ e * ñ， \ ｜犗犙｜·｜犗犛｜＝４ （犗 Îñ）．
２１． （１２b）
t犳（狓）＝（犪＋２）ｌｎ狓＋２狓犪－狓．
（１）Ï1犳（狓）+ÐS； （２）rt犺（狓）＝犳（狓）－２ｌｎ狓 ie|.+Ñdñ狓１，狓２ （狓１＜狓２），
所以
P（A）
4 5
4
C
3 4
4 5
3
g1 5
512（ 625
0.8192）
所以生产 4 个 KN90 口罩所得的利润不少于 8 元的概率为 512 …………12 分 625
19.（1）证明：取 PB 的中点 G，连结 EG，HG，
则 EG / / AB ，且 EG 1
……1 分
高三二模数学理科答案 第 2页 共 9 页
①-②得 3an
an 1
1即an
1 3
an
1
1 3
，
当n
2时，aann11212
1 3
an1
1 3
an1
1 2
1 2
1 3
……3 分 ……5 分
又
a1
1 2
【2020保定二模】河北省保定市2020届高三下学期第二次模拟考试理科综合试题含答案
2020年保定市第二次模拟考试理综（物理部分）参考答案题号14 15 16 17 18 19 20 21答案 C B C D B BC BD AD22. （1）不需要” （2分）（2）2122)(2tx x d - （3分） 23.（1）1.128 （2分）（2） （3分）（3）1.67 (1.65~1.67) （3分）（4）95.6 (94.0~96.0) （2分）24.（1）三个滑轮对应角速度分别为ω1、ω2、ω3皮带相连的两滑轮轮缘上线速度相等3311r r ωω= （1分）同轴的两轮角速度相等21ωω= （1分）所以 4:1:1::321=ωωω （2分）（2）滑轮O 2在时间t 内轮缘某点的路程为x 2322r N x π⋅= （1分）此过程中物块向上的位移大小为x ，则内轮轮缘上某点的路程为x ，内外轮转过的周数相等12222r x r x ππ= （1分） 对于物块 221at x = （2分） 物块受到绳子拉力为Tma mg T =- （2分）解得 )2(2t Nlg m T π+= （2分）25.（1）由左手定则可以判定：产生电势差的两个表面分别是AEHD （低电势面）和BFGC （高电势面）设两表面间电压为U ，电子受电场力和洛伦兹力平衡evB l U e= （2分） 由I=neSv 可得2nelI v = （2分） 解得 nle IB U =（2分） （2）①当物块速度向左以速度v 运动时，切割磁感线产生电动势，由右手定则判定知道：ABCD 表面带正电，EFGH 表面带负电，组成电容器。
电动势 Blv E = （1分）电容器电容 l d SC εε== （1分）又 EQ C = （1分） 解得 v Bl Q 2ε= （2分）②物块加速运动，电容器已知充电，存在充电电流，所以水平方向上物块受推力、摩擦力和安培力ma ilB mg mg =--μ （2分）其中 tQ i ∆∆= （1分） v Bl Q ∆⋅=∆2ε （1分）a tv =∆∆ （1分） 解得 32)1(l B m mg a εμ+-=（2分） 物块做初速度为0的匀加速直线运动，速度v 与t 的关系为t l B m mg v ⋅+-=32)1(εμ （2分） 33（1）BCD （5分）（2）①M 管中气体的压强为p Mh p p M +=0 （0.5分）N 管内气体的初始状态，气体压强为p N 1，体积为V N 101p p N = （0.5分） LS V N =1 （0.5分）活塞A 向下压缩距离为x 时，阀门K 联通M 、N ，气体压强为p N 2，体积为V N 2M N p p =2 （0.5分）S x L V N )(2-= （0.5分）由玻意耳定律定律有2211N N N N V p V p = （0.5分）联立解得 x =30cm （2分）②以刚连通时M 、N 中的气体为整体，初始时气体的压强为p 1，体积为V 1M p p =1 （0.5分）S x L V )2(1-= （0.5分）活塞A 压到N 管底部时，气体压强为p 2，体积为V 2H p p +=01 （0.5分）S h H L V )(2-+= （0.5分）由玻意耳定律定律有2211V p V p = （0.5分）联立解得 cm 5.62cm (752130=-=）H （2.5分）34（1）BCD （5分）（2）①如图所示，根据折射定律知道光线b 在射出玻璃砖之前将不发生偏折。
2020年河北省保定市高考数学一模试卷(理科)-普通用卷
2020年河北省保定市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合或，则A. B.C. D.2.若复数，则A. B. C. D.3.已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足，，则A. B. C. D.4.已知与均为单位向量，若，则与的夹角为A. B. C. D.5.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思是：“现有甲、乙、丙、丁、戊，五人依次差值等额分五钱，要使甲、乙两人所得的钱数与丙、丁、戊三人所得的钱数相等，问每人各得多少钱？”请问上面的问题里，五人中所得的最少钱数为A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱6.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a cos C，b cos B，c cos A成等差数列，若外接圆的半径为1，则A. B. 2 C. D.7.一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为A. B. C. D.8.如图所示的程序框图中，若输入的，则输出的A.B.C.D.9.抛掷一枚质地均匀的硬币，记为数列的前n项和，则且的概率为A. B. C. D.10.已知等差数列的前n项和为，若点A，B，C，O满足：；，B，O确定一个平面；，则A. 29B. 40C. 45D. 5011.抛物线焦点为F，点P满足为坐标原点，若过点O作互相垂直的两弦OA、OB，则当弦AB过点P时，的所有可能取值的集合为A. B. C. D.12.设函数，若常数A满足：对，唯一的，使得，A，成等差数列，则A. B. C. D. 2020二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，，则______．14.设函数是奇函数，其中，则______．15.中，，，以BC的中点为圆心，以1为半径的圆，分别交BC于点P、Q，则______．16.若是定义在R上的函数，且对任意都有，，且，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若a，b，c成等比数列，求证：；若为锐角，，求中AB边上的高h．18.如图，四边形ABCD为矩形，和均为等腰直角三角形，且，．求证：平面BCF；设，问是否存在，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19.习近平总书记在2020年元旦贺词中勉励大家：“让我们只争朝夕，不负韶华，共同迎接2020年的到来．”其中“只争朝夕，不负韶华”旋即成了网络热词，成了大家互相砥砺前行的铮铮誓言，激励着广大青年朋友奋发有为，积极进取，不负青春，不负时代．“只争朝夕，不负韶华”用英文可翻译为：“”求上述英语译文中，e，i，t，a四个字母出现的频率小数点后面保留两位有效数字，并比较四个频率的大小；用“”连接在上面的句子中随机取一个单词，用X表示取到的单词所包含的字母个数，写出X的分布列，并求出其数学期望；从上述单词中任选两个单词，求其字母个数之和为6的概率，20.已知椭圆C：的右焦点为，离心率为，且经过点，点M为椭圆上的动点．求M到点的最短与最长距离；设直线l：与椭圆C相交于A、B两点，则是否存在点，使得的内切圆恰好为？并说明理由．21.已知函数．若，求函数的最大值；设，若对任意，，不等式恒成立，求实数m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线为参数，M是上的动点，点P满足，且其轨迹为．求的直角坐标方程；在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线OE与、交点分别为A、均异于，求线段AB中点Q的轨迹的极坐标方程．23.已知a，b，c为正数，．若，求函数的最小值；若且a，b，c不全相等，求证：．-------- 答案及解析 --------1.答案：C解析：解：集合或，．．故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：，．故选：B．利用虚数单位i的运算性质变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：【分析】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于基础题．由已知条件推导出，再由，推导出．【解答】解：互相垂直的平面，交于直线l，直线m，n满足，或或m与相交，，，．故选：C．4.答案：D解析：解：设与的夹角为；因为与均为单位向量，，；因为为向量的夹角，所以；故选：D．直接代入数量积为0即可求解结论．本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直进行求解是解决本题的关键．5.答案：D解析：解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，则由题意可知，，即，又，，五人中所得的最少钱数为，故选：D．依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，由题意求得，结合求得，则答案可求．本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．6.答案：C解析：解：由题意，得，由正弦定理，得，即，，，，，，外接圆的半径为1，，，故选：C．利用等差数列列出方程，然后利用正弦定理结合三角形的内角和，转化求解即可．本题考查等差数列以及三角形的解法，正弦定理以及两角和的正弦公式，考查计算能力．7.答案：A解析：解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，设底面三角形外接圆的半径r，由正弦定理可得，，，所以，所以球的表面积．故选：A．正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，求出球的半径，即可求出球的表面积本题是基础题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，明确球心、球的半径与正三棱柱的关系是本题解决的关键．8.答案：C解析：解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出变量的值，若输入的，则时，；时，；时，；综上，输出的．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出变量的值，分类讨论即可求解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：B解析：解：抛掷一枚质地均匀的硬币，记为数列的前n项和，且包含2种情况：前3次中1次正面向上2次反面向上后七次中6次正面上1次反面向上，前3次中2次正面向上1次反面向上后七次中5次正面上2次反面向上，且的概率为．故选：B．且包含2种情况：前3次中1次正面向上2次反面向上后七次中6次正面上1次反面向上，前3次中2次正面向上1次反面向上后七次中5次正面上2次反面向上，由此能求出且的概率．本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.答案：D解析：解：因为，且A，B，O确定一个平面所以A、B、C三点共线，且A、B、C、O四点共面．又因为，所以．又因为是等差数列，所以故选：D．先根据；，B，O确定一个平面结合向量共线的条件求出，再利用等差数列的性质和求和公式求．本题综合考查了平面向量的共线条件与等差数列的求和公式、性质等知识，同时考查了学生对一些常见结论的整理和记忆．是一道中档题．11.答案：A解析：解：由题意可知，，设，，当直线AB的斜率不存在时，，，，显然，，点，又，，，，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：，联立方程，消去y得：，，，，，，，，，直线AB的方程为：，令得，，，又，，，，综上所求，的值为4，故选：A．由题意可知，，设，，当直线AB的斜率不存在时，点，又，所以，当直线AB的斜率存在时，由得，设直线AB的方程为：，与抛物线方程联立，利用韦达定理代入得，所以，故．本题主要考查抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．12.答案：A解析：解：对，唯一的，使得，A，成等差数列，可得对，唯一的，成立．由函数在递减，可得在的值域为；在递增，可得其在的值域为；由题意可得，可得，且，解得且，可得．故选：A．由等差数列的中项性质和对数函数的单调性，求得和在上的值域，将恒成立问题转化为两个值域间的包含关系，接不上可得所求值．本题考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和集合的关系，考查对数函数的单调性的运用，以及不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．13.答案：1解析：解：，，，又，．故答案是1．根据对数运算与指数运算是互为逆运算，求出a，再利用换底公式求出与，进行对数运算可求．本题考查了指数与对数的互化，考查了对数的运算公式及换底公式，熟练运用换底公式化同底数的对数是进行对数运算的关键．14.答案：解析：解：是奇函数，为偶函数，根据偶函数的性质可得，当时，函数取得最值，即，，，，．故答案为：由已知结合函数的性质可得为偶函数，然后根据偶函数的对称性可求．本题主要考查了函数奇偶性的性质的应用及正弦函数对称性的应用，属于基础试题．15.答案：56解析：解：因为，，所以，因为，，则在中，由余弦定理可得，，中，同理可得，所以．故．故答案为：56．由已知根据勾股定理可求，然后分别在中，中结合余弦定理可求，，代入可求．本题主要考查了圆的性质的应用及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档试题．16.答案：102解析：解：根据题意，，则，又由，必有，则；设，则，则有，故；故；故答案为：102．根据题意，分析可得，进而变形可得，即可得；据此分析可得答案．本题考查抽象函数的求值，关键是分析得到．17.答案：解：证明：因为a，b，c成等比数列，所以；而当且仅当时取等号又因为B为三角形的内角，所以；在中，因为，所以．又因为，，所以由正弦定理，解得；由得．由余弦定理，得．解得或舍．所以AB边上的高．解析：由已知得；代入余弦定理结合余弦函数的性质即可得证．由二倍角公式求出角A的正弦，再结合正弦定理求出a，进而求得结论．本题考查了等比数列、余弦定理、基本不等式的性质、余弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：因为，平面BCF，平面BCF．所以平面BCF，同理由，所以平面分所以平面平面BCF，平面ADE，故ED平面分以D为原点，建立空间直角坐标系，如图．因为，所以平面ABCD，又因为，所以平面ABCD．设，，则0，，a，，0，，a，分则0，，a，，设平面DEF的法向量为，则由取，因为，则分设平面BEF的法向量为，0，，则由，取，分因为二面角的余弦值为，所以，即，由于，所以不存在正实数，使得二面角的余弦值为分解析：由，利用线面平行对判定定理可得：平面同理由，可得平面BCF，再利用面面平行的判定定理性质定理即可证明结论．以D为原点，建立空间直角坐标系，如图．设平面DEF的法向量为，利用法向量的性质即可得出设平面BEF的法向量为，同理可得，再利用向量夹角公式即可得出．本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：，i，t，a四个字母出现的频率分别为：，其大小关系为：e出现的频率出现的频率出现的频率出现的频率．在上面的句子中随机取一个单词，用X表示取到的单词所包含的字母个数，则X的可能取值为2，3，4，5，，，，，分布列为：X 2 3 4 5P其数学期望为．满足字母个数之和为6的情况分为两种情况：从含两个字母的两个单词中取一个，再从含4个字母的两个单词中取一个，其取法个数为，从含3个字母的4个单词中取两个，其取法个数为，故所求的概率为．解析：分别求出e，i，t，a四个字母出现的频率，由此能比较四个频率的大小．的可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．满足字母个数之和为6的情况分为两种情况：从含两个字母的两个单词中取一个，再从含4个字母的两个单词中取一个，从含3个字母的4个单词中取两个，由此能求出其字母个数之和为6的概率．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：依题意得所以，所以椭圆的方程为；设到点D的距离为d，则，因为二次函数的对称轴为直线，所以，该函数在上单调递减，所以当时取得最小值，时取得最大值，所以M到点D的最短与最长距离分别为1，3；假设存在点，使得的内切圆恰好为，设，，因为直线AB与圆相切，，，AB的方程为，联立得，，，，法1：因为AO为的角平分线，所以，所以，，所以直线BP的方程为为，因为圆心到直线BP的距离为，所以此时BP不是圆的切线，，BP也不是圆的切线，综上所述：P不存在．，，所以，直线AP的方程为，由原定O到直线AP的距离为1得，解得或，当时，，此时直线BP的效率为，所以直线BP的方程为，因为圆心到直线BP的距离为，所以此时BP不是圆的切线．，，此时直线BP的效率为，所以直线BP的方程为，与直线AB重合，故舍去．，BP也不是圆的切线．综上所述：P不存在．解析：由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，可得a，b，c的方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程，设到点D的距离为d，由两点的距离公式和二次函数的性质、椭圆的范围，可得所求最值；假设存在点，使得的内切圆恰好为，设，，运用直线和圆相切的条件：，以及直线和椭圆方程联立求交点，对n 讨论，即可判断存在性．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立求交点，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和分类讨论思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.答案：解：由，所以，因为，所以在上，递增；在递减，所以函数只有最大值，其最大值为．，所以，即，由于时，函数为减函数，因为对任意的，，不等式恒成立，故只需，即原式等价于对任意的，恒成立，记，则．，，且．当时，，，即时，单调递减．，只需，解得，．当时，令得，或舍去；当时，，当时，；当时，，，解得，．当时，则，又因为，所以，则在上单调递增，，综上，m的取值范围是．解析：求导，根据单调性判断其最大值，先代入函数，仔细分析后，把含参数x的分离到不等号一边，可发现含x的是单调递减函数，通过最值放缩，再求剩余函数的最值，求出参数的取值范围．本题考查导数最值，以及求满足不等式的参数，属于难题．22.答案：解：法1：设，则由条件知由于M点在上，所以从而的参数方程为为参数消去参数得到所求的直角坐标方程为法2：由为参数得即的直角坐标方程为：设，则由条件知由于M点在上，所以M的坐标适合上述方程即，化简得所求的直角坐标方程为因为，，代入上式得的直角坐标方程得，其极坐标方程为同理可得曲线的极坐标方程为设，，，则AB的中点Q的轨迹方程为即AB的中点Q的轨迹极坐标方程为解析：由先求出P的参数方程，然后消去参数即可；也可以先将M的直角坐标方程求出来，再求P的轨迹方程．先求出、的极坐标方程，因为射线OE与、交点分别为A、均异于，可见中点Q与A、B的极角相同，则问题迎刃而解．本题考查了直角坐标方程与参数方程的互化，以及代入法求轨迹方程的基本思路．第二问中利用A、B、Q的极角相同较容易的求出Q的极坐标方程，要注意体会．23.答案：解：因为，所以，法1：由上可得：所以，当时，函数的最小值为2；法2：，当且仅当，即时取得最小值2；证明：因为a，b，c为正数，所以要证，即证明就行了，法1：因为，当且仅当时取等号．又因为即且a，b，c不全相等，所以，即，法2：因为，当且仅当取等号，又因为即且a，b，c不全相等，所以，即．解析：法1：去绝对值，化为分段函数，求出最值，法2：根据绝对值三角不等式，求出最值，法1：根据基本不等式即可证明，法2：根据柯西不等式即可证明．本题考查重要不等式的应用，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力．。
河北省保定市2020届高三下学期第二次模拟考试数学(理)答案
则 tan 60o
EG GK
3
, 则GK
23 3
.
以 A 为 原点， 以 AD 为 X 轴，以 AB 反向为 Y 轴，
P
N
建立平面坐标系,则 G( )，D(2,0) ，
设直线 DN 的方程为
(k>0) 则点 G 到直线 DN 的距离
，
解得
，则直线 DN 方程为
，N 点为直线 DN 与直线 BC 的交点，
DN
(2,a
1,0)，由 n
DE
0及n
DN
0知
3 2
y
2z
0 令 y
2 得：
2x (a 1)y 0
高三二模数学理科答案 第 3页 共 9 页
z
3 ,x 2
1a
故： n
(1
a,2, 3)……………10 2
分
设平面ＡＢＣＤ的法向量 m (0,0,1)，
cos n，m
2020 年高三第二次模拟考试
数学理科参考答案
一、选择题：
CBACC ADBDA DD
12（理）分析：
原式变形为1
x e x1
1
x e x1
a
令u(x)
x e x1
,则1
u
u
1
a
即u2
(1
a)u
a
1
0
用导数分析u(x)函数图像,由已知可知必有u1 (0,1), u2 1或0或u2 0
当 u2 0或1时可解得a进而得出不符合题意
F G EH
ＥＦ和 AD 显然相交所以 CD 平面PAD ，
所以 平面ABCD 平面PAD
……………6 分
2020-2021学年河北省高考数学二模试卷(理科)及答案解析
河北省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}2．若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或33．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=（）A．2 B．﹣4 C．D．4．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm35．在区间内随机取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）A．B．C．D．6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）A．8 B．9 C．16 D．217．某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元（其他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则①处应填（）A．y=2.0x+2.2 B．y=0.6x+2.8 C．y=2.6x+2.0 D．y=2.6x+2.88．已知一个球的表面上有A、B、C三点，且AB=AC=BC=2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为（）A．20πB．15πC．10πD．2π9．当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（）A．y=±x B．C．D．10．已知数列{a n}中，前n项和为S n，且，则的最大值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．111．若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A． B． C．D．12．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．则下列命题中：①若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．②若点A，B，C是三角形的三个顶点，则有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）．③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0．④若A为坐标原点，B在直线x+y﹣2=0上，则d（A，B）的最小值为2．真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知△ABC中，若AB=3，AC=4，，则BC= ．14．某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是名．15．若直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，则的展开式中x的系数为．16．已知定义在（0，∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）是连续不断的，若方程f'（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f=2017，设a=f（20.5），b=f（log43），c=f（logπ3），则a，b，c的大小关系是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）在（1）中，设b n=，求证：当c=﹣时，数列{b n}是等差数列．18．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）．若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号．（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望．19．如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；（2）求二面角D﹣EC﹣B的正弦值．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），b（0，b），D（﹣a，0），△ABD的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设P（x0，y0）是椭圆C在第二象限的部分上的一点，且直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=e x的切线l1，l2，若两切线的斜率互为倒数，求证：1＜a＜2．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sinθ+cosθ=．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}【考点】1D：并集及其运算．【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．2．若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，可得x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x．【解答】解：∵复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，∴x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x=1．故选：B．3．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=（）A．2 B．﹣4 C．D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用直线斜率的定义、二倍角的正切公式，进行计算即可．【解答】解：∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，∴tanθ=2；∴tan2θ==﹣，故选D．4．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm3【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】该三棱锥高为3，底面为直角三角形．【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直，∴V=××3×1×3=．故选A．5．在区间内随机取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率．【解答】解：由题意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2，由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为6，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax ﹣a2＞0}这个事件的测度为3，故区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为，故选：D．6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）A．8 B．9 C．16 D．21【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据基本不等式求得ab的范围，进而利用三角形面积公式求得．【解答】解：∵ab≤（）2=36，当且仅当a=b=6时，等号成立，∴S△ABC=absinC≤×36×=9，故选：B．7．某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元（其他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则①处应填（）A．y=2.0x+2.2 B．y=0.6x+2.8 C．y=2.6x+2.0 D．y=2.6x+2.8【考点】EF：程序框图．【分析】由题意可得：当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，应按超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元收费，进而可得函数的解析式．【解答】解：当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元∴y=2.6（x﹣2）+7+1=8+2.6（x﹣2），即整理可得：y=2.6x+2.8．故选：D．8．已知一个球的表面上有A、B、C三点，且AB=AC=BC=2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为（）A．20πB．15πC．10πD．2π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由正弦定理可得截面圆的半径，进而由勾股定理可得球的半径和截面圆半径的关系，解方程代入球的表面积公式可得．【解答】解：由题意可得平面ABC截球面所得的截面圆恰为正三角形ABC的外接圆O′，设截面圆O′的半径为r，由正弦定理可得2r=，解得r=2，设球O的半径为R，∵球心到平面ABC的距离为1，∴由勾股定理可得r2+12=R2，解得R2=5，∴球O的表面积S=4πR2=20π，故选：A．9．当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（）A．y=±x B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其焦距2c=2=2，由二次函数的性质分析可得当m=1时，双曲线的焦距最小，将m的值代入双曲线方程可得此时双曲线的方程，由双曲线的渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦距2c=2=2，分析可得：当m=1时，双曲线的焦距最小，此时双曲线的方程为：﹣=1，其渐近线的方程为y=±x，故选：B．10．已知数列{a n}中，前n项和为S n，且，则的最大值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系可得==1+，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣a n﹣1，化为：==1+，由于数列单调递减，可得：n=2时，取得最大值2．∴的最大值为3．故选：C．11．若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A． B． C．D．【考点】KE：曲线与方程．【分析】取特殊点代入进行验证即可．【解答】解：由题意，x=1时，y=1，故排除C，D；令x=2，则y=，排除A．故选B．12．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．则下列命题中：①若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．②若点A，B，C是三角形的三个顶点，则有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）．③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0．④若A为坐标原点，B在直线x+y﹣2=0上，则d（A，B）的最小值为2．真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】IS：两点间距离公式的应用；2K：命题的真假判断与应用．【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0），x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）成立，故①正确；在△ABC中，d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|≥|（x0﹣x1）+（x2﹣x0）|+|（y0﹣y1）+（y2﹣y0）|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）③，故②错误；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x﹣1|+|y|}，由|x+1|=|x﹣1|，解得x=0，∴到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0，即③成立；设B（x，y），则d（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|=|x|+|2﹣x|≥2，即d（A，B）的最小值为2，故④正确；综上知，正确的命题为①③④，共3个．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知△ABC中，若AB=3，AC=4，，则BC= ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的数量积公式可得•=||•||cosA=6，再根据余弦定理即可求出．【解答】解：∵AB=3，AC=4，，∴•=||•||cosA=6，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB••cosA=9+16﹣12=13，∴BC=，故答案为：．14．某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是7 名．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z=x+y，则题意求解在可行域内使得z取得最大．【解答】解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z=x+y⇔y=﹣x+z 则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，截距最大时的直线为过⇒（4，3）时使得目标函数取得最大值为：z=7．故答案为：7．15．若直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，则的展开式中x的系数为210 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，求出a=2，由此利用分类讨论思想能求出=（x+﹣2）5的展开式中x的系数．【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，∴，解得a=2，∴=（x+﹣2）5，∴展开式中x的系数为：++=80+120+10=210．故答案为：210．16．已知定义在（0，∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）是连续不断的，若方程f'（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f=2017，设a=f（20.5），b=f（log43），c=f（logπ3），则a，b，c的大小关系是a＞c＞b ．【考点】3S：函数的连续性．【分析】根据题意得出f（x）是单调函数，得出f（x）﹣log2015x是定值；设t=f（x）﹣log2015x，得f（x）=t+log2015x，结合f（x）是单调增函数判断a，b，c的大小．【解答】解：∵方程f′（x）=0无解，∴f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，∴f（x）是单调函数；由题意得∀x∈（0，+∞），f=2017，又f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，则f（x）﹣log2015x是定值，设t=f（x）﹣log2015x，则f（x）=t+log2015x，∴f（x）是增函数，又0＜log43＜logπ3＜1＜20.5，∴a＞c＞b．故答案为：a＞c＞b．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）在（1）中，设b n=，求证：当c=﹣时，数列{b n}是等差数列．【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定．【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，即可求{a n}的通项公式；（2）先化简b n，再利用定义证明即可．【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+5=0得其二根分别为1和5，∵a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根∴以a1=1，a2=5，∴{a n}等差数列的公差为4，∴=2n2﹣n；（2）证明：当时，=，∴b n+1﹣b n=2（n+1）﹣2n=2，∴{b n}是以2为首项，公差为2的等差数列．18．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）．若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号．（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人．用分层抽样的方法，与古典概率计算公式即可得出．（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．利于古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是所以选中的“优秀警员”有4人，“优秀陪练员”有6人．用事件A表示“至少有1名“优秀警员”被选中”，则=．因此，至少有1人是“优秀警员”的概率是（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3.，，，，因此，ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3p∴．19．如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；（2）求二面角D﹣EC﹣B的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，四边形AEFG 为平行四边形，即AG∥EF，由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，可证平面BDE⊥平面BCD（2），过点B在△BEC内做BM⊥EC，垂足为M，连接DM，则DM⊥EC，可得∠DMB为所求二面角的平面角在等腰三角形EBC中．由面积相等可知：，；，根据余弦定理=，即可．【解答】解：（1）证明：如下图所示：取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，FG是△BCD的中位线所以FG∥AE且FG=AE，即四边形AEFG为平行四边形，所以AG∥EF由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF⊂面BDE，故平面BDE⊥平面BCD（2）由AB=2，AE=1可知，，同理又DC=BC=2，EC为△BEC，△DEC的公共边，知△BEC≌△DEC，过点B在△BEC内做BM⊥EC，垂足为M，连接DM，则DM⊥EC，所以∠DMB为所求二面角的平面角在等腰三角形EBC中，BC=2．由面积相等可知：，；根据余弦定理=所以二面角D﹣EC﹣B正弦值为20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），b（0，b），D（﹣a，0），△ABD的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设P（x0，y0）是椭圆C在第二象限的部分上的一点，且直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的离心率公式及三角形的面积公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）求得直线PA的方程，求得丨BM丨，同理求得丨AN丨，由，代入即可求得四边形ABNM的面积．【解答】解：（1）由题意得，解得a=2，．∴椭圆C的方程为．（2）由（1）知，A（2，0），，由题意可得，因为P（x0，y0），﹣2＜x0＜0，，．∴直线PA的方程为令x=0，得．从而=．直线PB的方程为．令y=0，得．从而|AN|=|2﹣x N|=．∴|AN|•|BM|=，=，=，=．∴=，四边形ABNM的面积2．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=e x的切线l1，l2，若两切线的斜率互为倒数，求证：1＜a＜2．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用导数求函数的单调区间，从而求解函数f（x）的极值；（2）设切线l2的方程为y=k2x，从而由导数及斜率公式可求得切点为（1，e），k2=e；再设l1的方程，整理得，再令，求导确定函数的单调性，从而问题得证．【解答】（1）解：①若a≤0时，＞0所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，故无极大值和极小值②若a＞0，由得，所以．函数f（x）单调递增，，函数f（x）单调递减故函数f（x）有极大值a﹣lna﹣1，无极小值．（2）证明：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，，所以x2=1，y2=e，则．由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则=，所以，．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得令，则，所以m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．又x0为m（x）的一个零点，所以①若x1∈（0，1），因为，，所以，因为所以=1﹣lnx1，所以1＜a＜2．②若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以a=1﹣lnx1=0（舍去）．综上可知，1＜a＜2．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sinθ+cosθ=．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求出圆心到直线的距离，即可求直线l被圆C所截得的弦长．【解答】解：（1）圆C的参数方程化为普通方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x+y=1，（2）圆心到直线的距离，故直线l被圆C所截得的弦长为．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f（x）≥3的解集；（2）f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2≥|（x﹣1）﹣（x+1）|﹣2=0，利用关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于或或解得：或，∴不等式的解集为或．（2）∵f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2≥|（x﹣1）﹣（x+1）|﹣2=0，且f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，∴a2﹣a﹣2≤0，解得﹣1≤a≤2，∴实数a的取值范围是﹣1≤a≤2．。
河北省保定市2020年高三第二次模拟数学(理科)试卷(含答案)
2020年高三第二次模拟考试，理科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分， 共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}042>-=x x x P ，{}2)1(log 2<-=x x Q ，则Q P C R I )(=A ． [0，4]B ．[0，5）C ．（1，4]D ．[1，5）2．若复数z 满足2)21()2(i z i +=-，则|z|=A ．3B ．5C ．2D ．33．在△ABC 中，“0>⋅”是“△ABC 是钝角三角形”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件：4．已知函数)0)(6sin(>-=ωπωx y 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则该函数图象是由x y 2cos =的图象经过怎样的变换得到？A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移3π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 5．七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.完整图案为一正方形（如图）：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是A ．83B ．165C ．167D ．31 6．已知)3cos()3sin(απαπ-=+，则=α2cos ． A ． 0 B ．1 C ．22 D ．23 7．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A ．π214+ B ．π212105++ C ．π4212105+++ D ．π4214++ 8．n x x )12(+的展开式中第3项与第7项的二项式系数用等。
河北省保定市2019-2020学年高考数学二模试卷(理科)(II)卷
河北省保定市2019-2020学年高考数学二模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·泉州模拟) 已知集合A={x|2x＞1}，B={x|x2﹣5x+6＜0}，则∁AB（）A . （2，3）B . （﹣∞，2]∪[3，+∞）C . （0，2]∪[3，+∞）D . [3，+∞）2. （2分） (2017高二下·石家庄期末) 复数 =（）A . iB . ﹣iC . 2iD . ﹣2i3. （2分）建造一个容积为8米3 ，深为2米的长方体无盖水池，如池底和池壁的造价分别为120元/米2和80元/米，则总造价与一底边长x的函数关系式为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·莱芜模拟) 设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A . 3B . 4C . 5D . 65. （2分） (2020高一下·杭州月考) 若，则的值为（）A .B .C .D .6. （2分）下列函数中，是偶函数，且在区间上为增函数的是（）A .B .C .D .7. （2分）已知等差数列的前项和为，且，为平面内三点，点为平面外任意一点，若，则（）A . 共线B . 不共线C . 共线与否和点的位置有关D . 位置关系不能确定8. （2分）已知，则的值为（）A . -2B . -1C . 1D . 29. （2分） (2017高一下·鞍山期末) 如图所示，程序框图的输出结果为（）A . 4B . 5C . 6D . 710. （2分）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1 ，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（）A . 4B . 2C . 2D .11. （2分） (2016高三上·德州期中) 已知函数，若x0是方程f（x）=0的根，则x0∈（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高二上·榆树期末) 椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（）A . 2B .C .D .二、二.填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·松江模拟) 已知数列{an}满足a1=1，a2=3，若|an+1﹣an|=2n（n∈N*），且{a2n﹣1}是递增数列、{a2n}是递减数列，则 =________．14. （1分）(2017·江苏) 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1 ，球O的体积为V2 ，则的值是________．15. （1分）(2017·肇庆模拟) 在平面四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=120°，AB= ，AD=2．设CD=t，则t的取值范围是________．16. （1分） (2019高一下·海珠期末) 以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的侧面积是________．三、三.解答题 (共7题；共65分)17. （10分）若数列是公差为2的等差数列，数列满足，，且．（1）求数列，的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数λ的取值范围．18. （15分） (2020高一下·内蒙古期中) 某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：组别频数频率145.5～149.580.16149.5～153.560.12153.5～157.5140.28157.5～161.5100.20161.5～165.580.16165.5～169.5m n合计M N（1）求出表中字母所对应的数值；（2）在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图；（3）估计该校高一女生身高在149.5～165.5 范围内有多少人？19. （10分）(2020·江苏模拟) 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AB的中点。
河北省保定一中2020届高三上学期第二次阶段测试数学理科试卷 Word版含答案
姓名，年级：时间：保定一中2019-2020学年第一学期高三年级第二次阶段考试理科数学试卷命题人 ：霍云超 周改 审定人:霍云超 周改说明：1.本试卷有选择题和非选择题两部分构成，其中选择题60分，非选择题90分，总分150分. 考试时间120分钟.2. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．考试过程中考生答题必须使用0.5毫米黑色水笔作答,答案必须写在指定的答题区域，在其它区域作答无效。
第Ⅰ卷 选择题(60分)一、选择题（本大题有12个小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）1．设集合{}{}222,B 320A x x x x x =-<=-+<.则R A C B ⋂=（ )A. B 。
C 。
D.2．复数31ii +（i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．下列函数中,既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递增的是( ） A 。
1y x=B. 1y x =- C 。
lg y x = D 。
12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭4．已知函数1()f x x x =-，若2(log 6)a f =,22(log )9b f =-，0.5(3)c f =,则，，的大小关系为（ ） A 。
B 。
C 。
D.5．不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D,有下面四个命题：，,，其中的真命题是( ) A ．B ．C ．D ．6．执行如图所示的程序框图，则输出的i =( ) A ．3B ．4C ．5D ．67．函数1()ln ||f x x x=+的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．8．函数1()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图象恒过定点A,若点A 在直线10mx ny --=上，其中，，则12m n+的最小值为( ）A.4 B 。
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河北省保定市2020年高三第二次模拟考试
理科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分， 共60分。
在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}042>−=x x x P ，{}2)1(log 2<−=x x Q ，则Q P C R )(=
A ． [0，4]
B ．[0，5）
C ．（1，4]
D ．[1，5）
2．若复数z 满足2)21()2(i z i +=−，则|z|=
A ．3
B ．5
C ．2
D ．3
3．在△ABC 中，“0>⋅BC AB ”是“△ABC 是钝角三角形”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件：
4．已知函数)0)(6sin(>−=ωπ
ωx y 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2
π，则该函数图象是由x y 2cos =的图象经过怎样的变换得到？
A ．向左平移
3π个单位长度 B ．向左平移6
π个单位长度 C ．向右平移3π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 5．七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.完整图案为一正方形（如图）：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是
A ．83
B ．165
C ．167
D ．3
1 6．已知)3cos()3sin(απ
απ−=+，则=α2cos ． A ． 0 B ．1 C ．22 D ．2
3 7．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为
A ．π214+
B ．π212105++
C ．π4212105+++
D ．π4
214++ 8．n x x )1
2(+的展开式中第3项与第7项的二项式系数用等。
则该展开式中
21x 系数为 A ．56 B ．448 C ．408 D ．1792
9．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874 年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是
A ．132
B ．133
C ．134
D ．135
10．已知点))(,(*N n a n n ∈在函数x y ln =图象上，若满足m e
e e S n a a a n ≥+++= 21的n 的最小值为5，
则m 的取值范围是
A ．（10，15]
B ．（一∞，15]
C ．（15，21]
D ．（一∞，21]
11．已知21,F F 分别为双曲线)0,0(122
22>>=−b a b
y a x 的左、右焦点，过)0,(1c F −作x 轴的垂线交双曲线于A 、B 两点，若21AF F ∠的平分线过点)031(，c M −，则双曲线的离心率为
A ．2
B ．2
C ．3
D ．3
12．已知方程1
)
1(21−−−−=+x x x ae x e x e 有三个不同的根，则实数a 的取值范围为 A ．),1(e − B ．)21,(e − C ．)1,1(− D ．)2
1,1(−
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a ，b 满足： |a |=2， |b |=3， a 与b 夹角为120°，则|a +2b |= .
14．已知正三棱锥5232==−PA AB ABC P ，，，则此三棱锥外接球的半径为 . 15．已知定义域为R 的函数2
22sin 20202)(x x x e e x f x x ++++=λλμ有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为4，则μλ−= .
16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ，且C ab c b a sin 222=−+，c A b B a =+sin cos ，
10=a ，则b = .
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)(02*
N n n a S n n ∈=−+. （1）求证：数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧−21n a 为等比数列；
（2）求数列{}n a n −的前n 项和n T ．
某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品。
现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下:
（1）试分别估计两种口罩的合格率；
（2）假设生产一个KN90口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，
①设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润的和，求随机变量X的分布列和数学期望；
②求生产4个KN9O口罩所得的利润不少于8元的概率.
19．（12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长2的正方形，PA=PD=17，E为PA中点，点F在PD上且EF⊥平面PCD，M在DC延长线上，FH//DM，交PM于H，且FH=1
（1）证明：EF//平面PBM；
（2）设点N在线段BC上，若二面角E—DN—A为60°，求BN的长度.
已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：的离心率为2
1，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为32．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）经过定点)2)(0,(>m m Q 的直线l 交椭圆C 于不同的两点M ， N ，点M 关于x 轴的对称点为M'，试证明：直线M'N 与x 轴的交点S 为一个定点，且4=⋅OS OQ （O 为原点）
21．（12分） 已知函数x x a x a x f −+
+=2ln )2()( （1）讨论)(x f 的单调性；
（2）若函数x x f x h ln 2)()(−=有两个不同的极值点)(,2121x x x x <，求证：)22ln 5(8)()(2121−>−+x x x f x f ；
（3）设1−=a ，函数x x x f ++
2)(的反函数为)(x k ，令])[()(x i n
i k x k =，*,1,,2,1N n n i ∈−= 且2≥n ，若]1,1[−∈x 时， 对任意的*N n ∈且n≥2，m n e x k x k x k 1)()()(121≥− 恒成立，求m 的最小值．
（二）选考题：共10分。
请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22． [选修4—4：坐标系与参数方程] （10分）
已知曲线C 的极坐标方程是2=ρ，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=−=,231,212t y t x （t 为参数）
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）在（1）中，设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y
y x x 3得到曲线1C ，设曲线1C 上任意一点为),(00y x M ，当
点M 到直线l 的距离取最大值时，求此时点M 的直角坐标，
23． [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数12)(2
−+=x x x f ． （1）求不等式x x
x f 2)(>的解集；
（2）若)(x f 的最小值为N ，且),,(R c b a N c b a ∈=++，，求证2222222≥+++++a c c b b a。