2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行直线间的距离-人教A版高中数学选择性必修第一册课件
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d | Ax0 By0 C | . A2 B2
注意 1.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 2.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立；
2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
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Ax0 By0 C
A2 B2
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2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
例1 求点P1, 2到下列直线的距离 : 1 2x y 10 0 ; 2 3x 2 .
是否平行？若平行，求 间的距离.
解：因为
l1, l2
斜率分别为
k1
2 7
,
k2
6 2. 21 7
所以 l1, l2 平行.
先求 l1 与x轴的交点 A的坐标，易得 A(4, 0)
点 A到直线 l的2 距离为
6 4 210 1
d
23
23
62 212
3 53 159
53
l1, l2
间的距离为
23 159
边所在直线的方程为：
即：
点
到
因此，
的距离
y 4A
3
2h
1
C -1 O 1 2
B 3x
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已知两条平行直线
设
是直线 上的任意一点，则
| C1 C2 | A2 B2
就是直线 和 的距离．
注意：两条平行直线的方程必须化为一般式，即为
2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
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2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
以上两式相加，只整理分子得
2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
注意：当A=0或B=0，也可直接利用图形性质求得距离。
因为直线
平行于 轴 ，所以
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变式训练：已知点 P(1,2)到直线l : 4x 3y C 0的距离为1， 求C的值。
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变式.已知直线 l1 : 2x 7 y 8 0 l2 : 6x 21y 1 0
解:（1）根据点到直线的距离公式，得
d | 21 2 10 | 10 2 5.
22 12
5
（2）根据点到直线的距离公式，得
d | 31 2 | 5
32 02 3
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设P1(x1, x2 ), P（2 x2, y2 )是直线l : Ax By C 0上任意两点，
则PP21 (x2 x1, y2 y1)是直线l的方向向量。Ax1 By1 C 0 Ax2 By2 C 0两式相减，得A（x2 x1) B（y2 y1) 0. 由平面向量的数量积运算可知，向量（A, B)与向量（x2 x1, y2 y1) 垂直。向量 1 ( A, B)就是与直线l的方向向量垂直的一个单位
53
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思考：我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具， 能否用向量的方法求点到直线的距离？
如图，点P到直线l的距离，就是向量PQ的模。 设M（x, y)是直线l上的任意一点，n是与直线的
方向向量垂直的单位向量，则PQ是PM在n上的
投影向量，PQ
PM n
如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n ?
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2.两条平行直线间的距离
（1）两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线 段的长。 （2）探究： 能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离？
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A2 B2 向量。
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我们取n
1
( A, B),从而
A2 B2
PM
n
（x
x0 ,
Байду номын сангаас
得 直线 的斜率为
因此直线 的方程为
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即Q点的坐标为
点
之间的距离
（ 到 的距离）为
逐项整理
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离
（1）.掌握点到直线的距离公式的推导过程； （2）.能用点到直线的距离公式进行计算； （3）.能求有关平行线间的距离。
2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
1.什么是点到直线的距离？
点P0到直线的距离是指:
从点P0 (如图所示)到直线l(如图所示)的垂线段P0Q的长度，
其中Q为垂足.
y
Q
P0
l
o
x
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例2
已知点
，求
的面积．
解：如图，设 边上的高为 ，则
y
4A
3
边上的高 就是点 到
2h
的距离．
1
B
-1 O 1 2 3 x
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点P(1,2)，直线4x 3y 5 0 由点到直线的距离公式可得点P(1,2)到直线 4x 3y 5 0的距离为d 4 6 5 1
5
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2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
所以
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例2、求下列两条平行线间的距离。
（1）l1 : 2x 3y 8 0;l2 : 2x 3y 18 0
（2）l1 : 3x 4y 10;l2 : 3x 4 y 0
答案：2 3;2
2.点到直线的距离
已知点
，直线
如何求点 到直线 的距离？
y
Q
P0
l
o
x
，
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由
及直线 的斜率
练习：求过点M(－2, 1)，且与A(－1, 2)，B(3, 0)距
离相等的直线方程. 解：由题意，设所求直线方程为： 即
由于所求直线与A(－1, 2)，B(3, 0)距离相等，则有
解得 所求直线方程为
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y
y0 )
1 ( A, B)
A2 B2
1 A2
B2
A（x2
x1)
B（y2
y1 )
1
( Ax By Ax By)
A2 B2
因为点M (x, y）在直线l上，所以Ax By C 0，所以Ax By -C
代入上式得PM
n
1 A2
（B2
A x0
-
B y0
-
C）
因此 PQ
PQ
PM n
注意 1.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 2.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立；
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Ax0 By0 C
A2 B2
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例1 求点P1, 2到下列直线的距离 : 1 2x y 10 0 ; 2 3x 2 .
是否平行？若平行，求 间的距离.
解：因为
l1, l2
斜率分别为
k1
2 7
,
k2
6 2. 21 7
所以 l1, l2 平行.
先求 l1 与x轴的交点 A的坐标，易得 A(4, 0)
点 A到直线 l的2 距离为
6 4 210 1
d
23
23
62 212
3 53 159
53
l1, l2
间的距离为
23 159
边所在直线的方程为：
即：
点
到
因此，
的距离
y 4A
3
2h
1
C -1 O 1 2
B 3x
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已知两条平行直线
设
是直线 上的任意一点，则
| C1 C2 | A2 B2
就是直线 和 的距离．
注意：两条平行直线的方程必须化为一般式，即为
2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
以上两式相加，只整理分子得
2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
注意：当A=0或B=0，也可直接利用图形性质求得距离。
因为直线
平行于 轴 ，所以
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变式训练：已知点 P(1,2)到直线l : 4x 3y C 0的距离为1， 求C的值。
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变式.已知直线 l1 : 2x 7 y 8 0 l2 : 6x 21y 1 0
解:（1）根据点到直线的距离公式，得
d | 21 2 10 | 10 2 5.
22 12
5
（2）根据点到直线的距离公式，得
d | 31 2 | 5
32 02 3
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设P1(x1, x2 ), P（2 x2, y2 )是直线l : Ax By C 0上任意两点，
则PP21 (x2 x1, y2 y1)是直线l的方向向量。Ax1 By1 C 0 Ax2 By2 C 0两式相减，得A（x2 x1) B（y2 y1) 0. 由平面向量的数量积运算可知，向量（A, B)与向量（x2 x1, y2 y1) 垂直。向量 1 ( A, B)就是与直线l的方向向量垂直的一个单位
53
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思考：我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具， 能否用向量的方法求点到直线的距离？
如图，点P到直线l的距离，就是向量PQ的模。 设M（x, y)是直线l上的任意一点，n是与直线的
方向向量垂直的单位向量，则PQ是PM在n上的
投影向量，PQ
PM n
如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n ?
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2.两条平行直线间的距离
（1）两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线 段的长。 （2）探究： 能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离？
2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
A2 B2 向量。
2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
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我们取n
1
( A, B),从而
A2 B2
PM
n
（x
x0 ,
Байду номын сангаас
得 直线 的斜率为
因此直线 的方程为
2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
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即Q点的坐标为
点
之间的距离
（ 到 的距离）为
逐项整理
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离
（1）.掌握点到直线的距离公式的推导过程； （2）.能用点到直线的距离公式进行计算； （3）.能求有关平行线间的距离。
2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
1.什么是点到直线的距离？
点P0到直线的距离是指:
从点P0 (如图所示)到直线l(如图所示)的垂线段P0Q的长度，
其中Q为垂足.
y
Q
P0
l
o
x
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例2
已知点
，求
的面积．
解：如图，设 边上的高为 ，则
y
4A
3
边上的高 就是点 到
2h
的距离．
1
B
-1 O 1 2 3 x
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点P(1,2)，直线4x 3y 5 0 由点到直线的距离公式可得点P(1,2)到直线 4x 3y 5 0的距离为d 4 6 5 1
5
2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
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2.3.3点到直线的距离2.3.4两条平行 直线间 的距离- 人教A 版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
所以
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例2、求下列两条平行线间的距离。
（1）l1 : 2x 3y 8 0;l2 : 2x 3y 18 0
（2）l1 : 3x 4y 10;l2 : 3x 4 y 0
答案：2 3;2
2.点到直线的距离
已知点
，直线
如何求点 到直线 的距离？
y
Q
P0
l
o
x
，
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由
及直线 的斜率
练习：求过点M(－2, 1)，且与A(－1, 2)，B(3, 0)距
离相等的直线方程. 解：由题意，设所求直线方程为： 即
由于所求直线与A(－1, 2)，B(3, 0)距离相等，则有
解得 所求直线方程为
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y
y0 )
1 ( A, B)
A2 B2
1 A2
B2
A（x2
x1)
B（y2
y1 )
1
( Ax By Ax By)
A2 B2
因为点M (x, y）在直线l上，所以Ax By C 0，所以Ax By -C
代入上式得PM
n
1 A2
（B2
A x0
-
B y0
-
C）
因此 PQ
PQ
PM n