直线与圆的位置关系经典例题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
直线与圆的位置关系经典例题
一、点与圆的位置关系
结合图形认识直线与圆的位置关系,比较OA 与r 的大小关系
若点A 在⊙O 内OA r 若点A 在⊙O 上OA r 若点A 在⊙O 外OA r
小练习:
1.在△ABC 中,90C ∠=︒,AC=2,BC=4,如果以点A 为圆心,AC 为半径作⊙A,那么斜边中点D 与⊙A 的位置关系是()
(A)D 在圆外(B)D 在圆上
(C)D 在圆内(D)无法确定
二、直线与圆的位置关系
(1)实验创境:用移动的观点认识
如果我们把太阳看作一个圆,那么太阳在升起的过程中,太阳和海平面就有图中的几种位置关系。
(可让学生用硬币自己操作演示)
根据直线与圆公共点的个数可以得到三种位置关系:
、、。
(2)用数量关系判断
从以上的一个例子,可以看到,直线与圆的位置关系只有以下三种,如下图所示:若要判断圆与直线的位置关系,可以将______与_____进行比较大小,由比较的结果得出结论。
典型例题:
例1、已知圆的半径等于5厘米,圆心到直线MN 的距离是:(1)4厘米;(2)5厘米;(3)6厘米。
分别说出直线MN 与圆的位置关系以及直线MN 和圆分别有几个公共点?
例2.Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C 为圆心,r 为半径作圆,当3,4.2,2===r r r 时,
⊙C 与直线AB 分别是怎样的位置关系?
★①直线l 和⊙O 相交
d r ②直线l 和⊙O 相切
d r ③直线l 和⊙O 相离d r
1、如果⊙O 的直径为10厘米,圆心O 到直线AB 的距离为10厘米,那么⊙O 与直线AB有怎样的位置关系是
2、已知:⊙A 的直径为6,点A 的坐标为)4,3(--,则⊙A 与x 轴的位置关系是
;
⊙A 与y 轴的位置关系是。
三、切线的判定
实验探究:
在练习纸上画⊙O ,在⊙O 上任取一点A ,连结OA ,过A 点作直线l ⊥OA ,判断直线l 是否与⊙O 相切?为什么?当直线和圆有唯一公共点时,直线是圆的切线;当直线和圆的距离等于该圆半径时,直线是圆的切线;那么,直接从直线和圆的位置上观察,具备什么条件的直线也是圆的切线呢?
两个条件缺一不可
(1)经过半径外端(2)垂直于这条半径
切线判定定理:经过直径外端并且于这条直径的直线是圆的切线。
典型例题:
例3、作图:在∠AOB 内,作OM 平分∠AOB ,在OM 上取一点P ,过P 作PD ⊥OA ,垂足为D ,以P 为圆心,PD 为半径作⊙P。
请问⊙P 与OB 分别相切吗?为什么?
(提示,过P 作PE⊥OB)
方法:
例4、如图,AB 是⊙O 的直径,⊙O 过AC 的中点D ,DE ⊥BC ,垂足为E 。
求证DE 为⊙O 的切线
方法:d =r 直线l 和⊙O 相切
已知公共点D---连半径AD---证明AD ⊥BC
1.已知△ABC,读下列语句并按照这些语句在下作业:
图中用尺轨作图(不写作法,保留作图痕迹)。
1)作∠B的角平分线BD;作BC的垂直平分线交BD于点P,交BC边于E;
2)根据作图回答:若以点P为圆心,以PE的长为半径。
作圆,则作出的⊙P与AB的位
置关系为。
2.已知⊙O的直径为12cm,如果直线和圆心的距离分别为。
(1)5.5cm(2)6cm(3)8cm时,判断这条直线和圆有几个公共点?
3.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm
(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切?
(2)以点C为圆心,分别以2cm,4cm为半径作两个圆,
这两个圆与AB分别有怎样的位置关系?
4.已知,x轴上两点A(1,0),B(3,0),⊙C过A,B两点且与y轴相切,则圆心C的坐标为。
5.在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=3,AB=5,若以C为圆心,r为半径作圆,那么:
(1)当直线AB与⊙C相离时,r的取值范围是;
(2)当直线AB与⊙C相切时,r的取值范围是;
(3)当直线AB与⊙C相交时,r的取值范围是.
6.已知AB为⊙O的一条弦,AC=BC,以OC为半径作小圆⊙O,求证AB与小圆⊙O相切。
7.△ABC中,AB=AC,点D为BC中点,以A为圆心,AD为半径⊙A,判断⊙A与BC的位置关系,并说明理由。
8.如图,AB是⊙O的直径,⊙O过AC的中点D,DE⊥BC,垂足为E。
求证DE为⊙O的
切线
9.已知:BC为⊙O直径,AB⊥BC,AO平行于弦CD。
求证:AD为⊙O的切线
10(选作).已知,△ABC内接于⊙O,过A作直线DE使得∠EAC=∠B,求证:DE为⊙O的切线
(选作)如图所示,菱形ABCD的顶点A、B在x轴上,点A在点B的左侧,点D在y轴的正半轴上,∠BAD=60°,点A的坐标为(-2,0).
⑴求线段AD所在直线的函数表达式.
⑵动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,按照A→D→C→B→A的顺序在菱
形的边上匀速运动一周,设运动时间为t秒.求t为何值时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切?
直线与圆的位置关系(二)
一、切线的性质:
自学:读课本P125有关反证法研究切线性质的内容
切线性质定理:圆的切线于经过的直径。
几何语言:连结OA ∵
∴
利用切线的性质时,注意
典型例题:
例1.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,
AD 和过C 点的切线互相垂直,垂足为D ,判断AC 是否平分。
∠DAB?并说明理由.
例2.Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,O 为斜边AB 上一点,⊙O 过点B 且于AC 相切于点D ,求⊙O 的半径。
跟踪练习;
1.如图,两个同心圆的半径分别为3cm
和5cm ,弦AB 与小圆相切于点C ,则AB
的长为()A .4cm B .5cm C .6cm D .8cm
2.如图,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,
直线PBC 过圆心O,∠ACP=300,
OC=1cm,则PA 的长为()
(A)2cm (B)3cm (C)2cm (D)3cm
3.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在AB 的延长线上,CD 切⊙O 于点D ,过点D 作DF ⊥AB 于点E ,交⊙O 于点F ,已知OE =1cm ,DF =4cm .
(1)求⊙O 的半径;
(2)求切线CD 的长.
见切点----连半径---得垂直
二、三角形的内切圆
1、操作探究一:
(1)如图∠AOB ,⊙P 与OA,OB 分别相切于点D,E,连结PD,PE,OP
(2)找出图中全等三角形、相等线段和相等的角。
2、操作探究二:
(1)如图△ABC ,作⊙I 与三边都相切(找圆心,半径)
(2)设切点分别为D,E,F 可以得到哪些相等线段,和相等的角。
例3.(1)已知ABC 中,BC=14,AB=13,AC=9,它的内切圆与BC 、AB 、AC 分别相切于点D 、E 、
F ,,则AE=,BD=,CF=。
(2)Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=12,BC=5,求内切圆半径r 。
跟踪练习:
1.在△ABC 中,内切圆⊙I 与BC 、AC 、AB 分别相切于D 、E 、F ,∠A=α°,则∠
FDE=。
三角形的圆心是三角形的内心,它是三条的交点,它到的距离相等
2.一个三角形三边的长度分别为3、4、5,则三角形的内切圆的面积为课后作业:1.如图,PA、PB 是O 的切线,切点分别是A、B,如果∠P=60°,那么∠AOB 等于(
)
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°2.已知:如图,AB 与O 相切于点C ,OA OB =,⊙O 的直径为4,8AB =.
(1)求OB 的长;
(2)求sin A 的值.
3.如图,正三角形的内切圆半径为1,那么这个正三角形的边长为(
)
A.2
B.3C.3D.234.如图6,已知直线AB 是⊙O 的切线,A 为切点,OB 交⊙O 于点C ,点D 在⊙O 上,且∠OBA=40°,则
∠ADC=
5.如图,PA 与⊙O 相切于A 点,弦AB ⊥OP ,垂足为C ,OP 与⊙O 相交于D 点,已知OA =2,OP =4。
(1)求∠POA 的度数;
(2)计算弦AB 的长。
6.已知AB 是⊙O 的直径,AP 是⊙O 的切线,A 是切点,BP 与⊙O 交于点C .(Ⅰ)如图①,若2AB =,30P ∠=︒,求AP 的长(结果保留根号);
(Ⅱ)如图②,若D 为AP 的中点,求证直线CD 是⊙O
的切线.
7.如图,在□ABCD 中,∠DAB =60°,AB =15㎝.已知⊙O 的半径等于3㎝,AB ,AD 分别与⊙O 相切于点E ,F .⊙O 在□ABCD 内沿AB 方向滚动,与BC 边相切时运动停止.⊙O 滚过的路程是cm .
(选作)Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6。
图(1)中,⊙O 为△ABC 的内切圆,
图(2)中两等圆⊙O 1、⊙O 2外切,并且⊙O 1与AC 、AB 相切,⊙O 2与BC 、AB 相切,以下各图中,各等圆都与相邻的圆外切、与AB 相切,两端的两个圆分别与△ABC 的两边相切。
求:(1)图中有一个圆时圆的半径r 1=;
(2)图中有两个等圆时圆的半径r 2=;
(3)图中有三个等圆时圆的半径r 3=;
(4)图中有n 个等圆时圆的半径r n =;.第7题图A O
·C C
A
B D O F
E。