专题03 反比例函数与几何图形综合题研究(解析版)

专题三：反比例函数与几何图形综合题研究

【题型导引】

题型一：反比例函数与三角形综合题

（1）反比例函数与三角形结合解决线段、周长、面积等问题；（2）反比例函数与几何图形结合相似或者角的问题；（3）反比例函数与三角形结合解决图形形状等问题。

题型二：反比例函数与四边形综合题

（1）反比例函数与四边形结合解决线段、周长、面积等问题；（2）反比例函数与四边形结合解决点的坐标等问题；（3）反比例函数与四边形结合解决图形形状等问题。

【典例解析】

类型一：反比例函数与三角形的综合

例题1：（2018•大庆）如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x 轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．

（1）求反比例函数y=的表达式；

（2）求点B的坐标；

（3）求△OAP的面积．

【解析】：（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，

则反比例函数解析式为y=；

（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，

则OC=4、AC=3，

∴OA==5，

∵AB∥x轴，且AB=OA=5，

∴点B的坐标为（9，3）；

（3）∵点B坐标为（9，3），

∴OB所在直线解析式为y=x，

由可得点P坐标为（6，2），

过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，

则点E坐标为（6，3），

∴AE=2、PE=1、PD=2，

则△OAP的面积=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=5．

技法归纳：在解反比例函数问题时(一次函数、二次函数也是如此)，常会遇到利用点的坐标表示线段的长度、三角形的面积等问题，①选择函数图象上关键点，通过用待定量表示点的坐标，进而再表示长度、面积等；②善于运用数形结合的思想方法，通过构图和图形的性质分析问题．

类型二：反比例函数与四边形的综合

例题2：（2019▪广西河池▪12分）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为A（0，0），B（6，0），C （6，8），D（0，8），AC，BD交于点E．

（1）如图（1），双曲线y＝过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的解析式；

（2）如图（2），双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N，点C关于MN的对称点C′在y轴上．求证△CMN～△CBD，并求点C′的坐标；

（3）如图（3），将矩形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝与AD交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值．

【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴DE＝EB，

∵B（6，0），D（0，8），

∴E（3，4），

∵双曲线y＝过点E，

∴k1＝12．

∴反比例函数的解析式为y＝12

x

．

（2）如图2中，

∵点M，N在反比例函数的图象上，∴DN•AD＝BM•AB，

∵BC＝AD，AB＝CD，

∴DN•BC＝BM•CD，

∴＝，

∴MN∥BD，

∴△CMN∽△CBD．

∵B（6，0），D（0，8），

∴直线BD的解析式为y＝﹣4

3

x+8，

∵C，C′关于BD对称，∴CC′⊥BD，

∵C（6，8），

∴直线CC′的解析式为y＝3

4

x+

7

2

，

∴C′（0，7

2）．

（3）如图3中，

①当AP＝AE＝5时，∵P（m，5），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，

∴5m＝4（m+3），∴m＝12．

②当EP＝AE时，点P与点D重合，∵P（m，8），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，

∴8m＝4（m+3），

∴m＝3．

综上所述，满足条件的m的值为3或12．

技法归纳：充分运用四边形的边与坐标轴的平行或垂直关系，借助于点的坐标，利用对称点的坐标，结合

平行四边形的性质，表示相应的长度或图形的面积．

【变式训练】

1. （2018•柳州）如图，一次函数y=mx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（3，1），B（﹣，n）两点．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）求n的值及该一次函数的解析式．

【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过A（3，1），

∴k=3×1=3，

∴反比例函数的解析式为y=；

（2）把B（﹣，n）代入反比例函数解析式，可得

﹣n=3，

解得n=﹣6，

∴B（﹣，﹣6），

把A（3，1），B（﹣，﹣6）代入一次函数y=mx+b，可得

，

解得，

∴一次函数的解析式为y=2x﹣5．

2. （2018•菏泽）如图，已知点D在反比例函数y=的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y=kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD=OC，OC：OA=2：5．

（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式；

（2）直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．

【解析】：（1）∵BD=OC，OC：OA=2：5，点A（5，0），点B（0，3），

∴OA=5，OC=BD=2，OB=3，

又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，

∴点C的坐标为（0，﹣2），点D的坐标为（﹣2，3）．

∵点D（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，

∴a=﹣2×3=﹣6，

∴反比例函数的表达式为y=﹣．

将A（5，0）、B（0，﹣2）代入y=kx+b，

，解得：，

∴一次函数的表达式为y=x﹣2．

（2）将y=x﹣2代入y=﹣，整理得： x2﹣2x+6=0，

∵△=（﹣2）2﹣4××6=﹣＜0，

∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．

观察图形，可知：当x＜0时，反比例函数图象在一次函数图象上方，

∴不等式＞kx+b的解集为x＜0．