湖北省武汉市达标名校2024届中考数学最后冲刺浓缩精华卷含解析

湖北省武汉市达标名校2024年中考数学最后冲刺浓缩精华卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1．两个有理数的和为零，则这两个数一定是（ ） A ．都是零
B ．至少有一个是零
C ．一个是正数，一个是负数
D ．互为相反数
2．如图，取一张长为a 、宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边,a b 应满足的条件是（ ）
A ．2a b =
B ．2a b =
C ．2a b =
D ．2a b =
3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是( )
A ．
6
π
B ．
3
π C ．
2π-12
D ．
12
4．由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB=30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与
⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为（）
A．6 B．9 C．10 D．12
6．已知点A、B、C是直径为6cm的⊙O上的点，且AB=3cm，AC=32cm，则∠BAC的度数为（）A．15°B．75°或15°C．105°或15°D．75°或105°
7．有个零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置，它的主视图是()
A．B．C．D．
8．如图，两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是()
A．5：2 B．3：2 C．3：1 D．2：1
9．方程x2+2x﹣3=0的解是（）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
10．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则∠C与∠D的大小关系为（）A．∠C＞∠D B．∠C＜∠D C．∠C=∠D D．无法确定
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11．分解因式：32a ab -=___．
12．如果x y 10+-=，那么代数式2y x y
x x x ⎛⎫--÷
⎪⎝
⎭的值是______． 13．分解因式：x 2y ﹣6xy+9y=_____． 14．因式分解34x x -= ． 15．已知
，则
=_____．
16．若x ，y 为实数，y ＝
224
41
2
x x x ，则4y ﹣3x 的平方根是____．
17．有下列各式：①·x y y x ；②x b y a ÷；③62x x ÷；④23·a a
b b
．其中，计算结果为分式的是_____．（填序号）
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同学必须且只能选择一项球类运动，对该校学生随机抽取进行调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
运动项目 频数(人数) 羽毛球 30
篮球
乒乓球 36 排球
足球
12
请根据以上图表信息解答下列问题：频数分布表中的，；在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为度；全校有多少名学生选择参加乒乓球运动？
19．（5分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）阅读理解：
在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y＝k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1•k2＝﹣1．
解决问题：
①若直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，则m的值是____；
②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值．
20．（8分）自学下面材料后，解答问题。

分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。

如：
223
0;
11
x x
x x
-+
>
+-
<0等。

那么如何求出它们的解集呢?
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。

其字母表达式为：
若a>0,b>0,则a
b
>0;若a<0,b<0,则
a
b
>0；
若a>0,b<0,则a
b
<0;若a<0,b>0,则
a
b
<0.
反之：若a
b
>0,则
a
b
>
>
⎧
⎨
⎩
或
a
b
<
<
⎧
⎨
⎩
，
（1）若a
b
<0，则___或___.
（2）根据上述规律,求不等式
2
1
x
x
-
+
>0的解集.
21．（10分）列方程解应用题：
为宣传社会主义核心价值观，某社区居委会计划制作1200个大小相同的宣传栏．现有甲、乙两个广告公司都具备制作能力，居委会派出相关人员分别到这两个广告公司了解情况，获得如下信息：
信息一：甲公司单独制作完成这批宣传栏比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用10天；
信息二：乙公司每天制作的数量是甲公司每天制作数量的1.2倍．
根据以上信息，求甲、乙两个广告公司每天分别能制作多少个宣传栏？
22．（10分）在“双十二”期间，,A B两个超市开展促销活动，活动方式如下：
A超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；
B超市：购物金额打8折．
某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在,A B两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：若一次性付款4200元购买这种篮球，则在B商场购买的数量比在A商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案）
23．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AB边上一点，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，且交BC于点F，AG平分∠BAC交CD于点G.
求证：BF=AG.
24．（14分）一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要6小时，顺流而下需要4小时，若船在静水中的速度为20千米/时，则水流的速度是多少千米/时？
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1、D 【解题分析】
解：互为相反数的两个有理数的和为零，故选D ．A 、C 不全面．B 、不正确． 2、B 【解题分析】
由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为b ，宽为1
4
a ，然后根据相似多边形的定义，列出比例式即可求出结论． 【题目详解】
解：由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为b ，宽为1
4
a ， ∵小长方形与原长方形相似，
,14
a b b a ∴=
2a b ∴=
故选B ． 【题目点拨】
此题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的定义列比例式是解决此题的关键． 3、A 【解题分析】
先根据勾股定理得到
S 扇形ABD ，由旋转的性质得到Rt △ADE ≌Rt △ACB ，于是S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD -S △ABC =S 扇形ABD ． 【题目详解】
∵∠ACB=90°，AC=BC=1， ∴
，
∴S 扇形ABD =
()
2
302=
360
6
ππ⨯
，
又∵Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ， ∴Rt △ADE ≌Rt △ACB ，
∴S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD −S △ABC =S 扇形ABD =6
π
， 故选A. 【题目点拨】
本题考查扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键. 4、A
【解题分析】试题分析：几何体的主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1. 故选A ． 考点：三视图
视频 5、B 【解题分析】
首先连接OA 、OB ，根据圆周角定理，求出∠AOB=2∠ACB=60°，进而判断出△AOB 为等边三角形；然后根据⊙O 的半径为6，可得AB=OA=OB=6，再根据三角形的中位线定理，求出EF 的长度；最后判断出当弦GH 是圆的直径时，它的值最大，进而求出GE+FH 的最大值是多少即可． 【题目详解】
解：如图，连接OA 、OB ，
，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°， ∵OA=OB ，
∴△AOB 为等边三角形， ∵⊙O 的半径为6， ∴AB=OA=OB=6，
∵点E ，F 分别是AC 、BC 的中点，
∴EF=1
2
AB=3，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：6×2=12，
∴GE+FH的最大值为：12﹣3=1．
故选：B．
【题目点拨】
本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键.
6、C
【解题分析】
解：如图1．∵AD为直径，∴∠ABD=∠ACD=90°．在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，则∠BDA=30°，∠BAD=60°．在Rt△ABD中，AD=6，AC=32，∠CAD=45°，则∠BAC=105°；
如图2，．∵AD为直径，∴∠ABD=∠ABC=90°．在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，则∠BDA=30°，∠BAD=60°．在Rt△ABC 中，AD=6，AC=32，∠CAD=45°，则∠BAC=15°．故选C．
点睛：本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的知识，掌握直径所对的圆周角是直径和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．
7、C
【解题分析】
根据主视图的定义判断即可．
【题目详解】
解：从正面看一个正方形被分成三部分，两条分别是虚线，故C正确．
故选：C．
【题目点拨】
此题考查的是主视图的判断，掌握主视图的定义是解决此题的关键．
8、C
【解题分析】
求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题； 【题目详解】
解：正六边形的面积226(2a)4
=⨯
=，
阴影部分的面积2a =⋅=，
∴空白部分与阴影部分面积之比是2=：23=：1，
故选C ． 【题目点拨】
本题考查正多边形的性质、平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9、B 【解题分析】
本题可对方程进行因式分解，也可把选项中的数代入验证是否满足方程． 【题目详解】 x 2+2x-3=0，
即（x+3）（x-1）=0， ∴x 1=1，x 2=﹣3 故选：B ． 【题目点拨】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法． 10、A 【解题分析】
直接利用圆周角定理结合三角形的外角的性质即可得. 【题目详解】 连接BE ，如图所示：
∵∠ACB=∠AEB ， ∠AEB ＞∠D ， ∴∠C ＞∠D ． 故选：A ． 【题目点拨】
考查了圆周角定理以及三角形的外角，正确作出辅助线是解题关键．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11、()()a a b a b +- 【解题分析】
先提取公因式a ，再利用平方差公式分解因式即可. 【题目详解】
()()()3222a ab a a b a a b a b -=-=+-
故答案为：()()a a b a b +-. 【题目点拨】
本题考查了分解因式，熟练掌握因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法的区别，根据题目选择合适的方法是解题的关键. 12、1 【解题分析】
分析：对所求代数式根据分式的混合运算顺序进行化简，再把10x y +-=变形后整体代入即可.
详解：2,y x y
x x x ⎛⎫--÷
⎪⎝⎭ 22,x y x y
x x x ⎛⎫-=-÷ ⎪⎝⎭
()(),x y x y x
x
x y
+-=
⋅
-
.x y =+
10,x y +-= 1.x y ∴+=
故答案为1.
点睛：考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.注意整体代入法的运用.
13、y （x ﹣3）2
【解题分析】
本题考查因式分解．
解答：()()2
2269693x y xy y y x x y x -+=-+=-． 14、()()x x 2x 2-+-
【解题分析】
试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式x -后继续应用平方差公式分解即可：()
()()324x x x x 4x x 2x 2-=--=-+-． 15、
【解题分析】 由可知值，再将化为的形式进行求解即可.
【题目详解】 解：∵
， ∴，
∴原式=
. 【题目点拨】
本题考查了分式的化简求值.
16、±5【解题分析】 24x -24x -同时成立，
∴224040
x x ⎧-≥⎨-≥⎩ 故只有x 2﹣4=0，即x =±2，
又∵x﹣2≠0，
∴x=﹣2，y=
1
2
x-
=﹣
1
4
，
4y﹣3x=﹣1﹣（﹣6）=5，
∴4y﹣3x的平方根是±5．
故答案：±5．
17、②④
【解题分析】
根据分式的定义，将每个式子计算后，即可求解. 【题目详解】
x y ·y x =1不是分式，
x b
y a
÷=
xa
yb
，
62
x x
÷=3不是分式，
2
a3a
·
b b
=
3
2
3a
b
故选②④.
【题目点拨】
本题考查分式的判断，解题的关键是清楚分式的定义.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、(1)24，1；(2) 54；（3）360.
【解题分析】
（1）根据选择乒乓球运动的人数是36人，对应的百分比是30%，即可求得总人数，然后利用百分比的定义求得a，用总人数减去其它组的人数求得b；
（2）利用360°乘以对应的百分比即可求得；
（3）求得全校总人数，然后利用总人数乘以对应的百分比求解．
【题目详解】
（1）抽取的人数是36÷30%＝120（人），
则a＝120×20%＝24，
b＝120﹣30﹣24﹣36﹣12＝1．
故答案是：24，1；
（2）“排球”所在的扇形的圆心角为360°×＝54°，
故答案是：54；
（3）全校总人数是120÷10%＝1200（人），
则选择参加乒乓球运动的人数是1200×30%＝360（人）．
19、（1）y ＝﹣
12x 2+12x+1；（2）①-12
；②点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3
. 【解题分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据垂线间的关系，可得PA ，PB 的解析式，根据解方程组，可得P 点坐标；
（3）根据垂直于x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值
【题目详解】
解：（1）将A ，B 点坐标代入，得
10(1)
11(2)a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得1
21
2
a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
抛物线的解析式为y ＝21
1
x x 122-++；
（2）①由直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，得
2m ＝﹣1，
即m ＝﹣1
2； 故答案为﹣1
2；
②AB 的解析式为1
1
22y x =+
当PA ⊥AB 时，PA 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2，
联立PA 与抛物线，得211122
22
y x x y x ⎧
=++⎪⎨⎪=--⎩，
解得10x y =-⎧⎨=⎩（舍），6
14x y =
⎧⎨=-⎩，
即P （6，﹣14）；
当PB ⊥AB 时，PB 的解析式为y ＝﹣2x+3，
联立PB与抛物线，得
2
11
1
22
23
y x x
y x
⎧
=++
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
，
解得
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
（舍）
4
5
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
即P（4，﹣5），
综上所述：△PAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3）如图：
，
∵M（t，﹣1
2
t2+
1
2
t+1），Q（t，
1
2
t+
1
2
），
∴MQ＝﹣1
2
t2+
1
2
S△MAB＝1
2
MQ|x B﹣x A|
＝1
2
（﹣
1
2
t2+
1
2
）×2
＝﹣1
2
t2+
1
2
，
当t＝0时，S取最大值1
2
，即M（0，1）．
由勾股定理，得
AB22
21
+5
设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得
h
55
．
点M到直线AB的距离的最大值是
5
5
．
【题目点拨】
本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键
20、（1）
a
b
>
<
⎧
⎨
⎩
或
a
b
<
>
⎧
⎨
⎩
；（2）x>2或x<−1.
【解题分析】
（1）根据两数相除，异号得负解答；
（2）先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．【题目详解】
(1)若a
b
>0,则
a
b
>
>
⎧
⎨
⎩
或
a
b
<
<
⎧
⎨
⎩
；
故答案为：
a
b
>
<
⎧
⎨
⎩
或
a
b
<
>
⎧
⎨
⎩
；
（2）由上述规律可知,不等式转化为
20
10
x
x
->
+>
⎧
⎨
⎩
或
20
10
x
x
-<
+<
⎧
⎨
⎩
，
所以，x>2或x<−1.
【题目点拨】
此题考查一元一次不等式组的应用，解题关键在于掌握掌握运算法则.
21、甲广告公司每天能制作1个宣传栏，乙广告公司每天能制作2个宣传栏．
【解题分析】
设甲广告公司每天能制作x个宣传栏，则乙广告公司每天能制作1.2x个宣传栏，然后根据“甲公司单独制作完成这批宣传栏比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用10天”列出方程求解即可．
【题目详解】
解：设甲广告公司每天能制作x个宣传栏，则乙广告公司每天能制作1.2x个宣传栏．
根据题意得：
解得：x=1．
经检验：x=1是原方程的解且符合实际问题的意义．
∴1.2x=1.2×1=2．
答：甲广告公司每天能制作1个宣传栏，乙广告公司每天能制作2个宣传栏．
【题目点拨】
此题考查了分式方程的应用，找出等量关系为两广告公司的工作时间的差为10天是解题的关键．
22、（1）这种篮球的标价为每个50元；（2）见解析
【解题分析】
（1）设这种篮球的标价为每个x元，根据题意可知在B超市可买篮球4200
0.8x
个，在A超市可买篮球
4200300
0.9x
+
个，
根据在B商场比在A商场多买5个列方程进行求解即可；
（2）分情况，单独在A超市买100个、单独在B超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得. 【题目详解】
（1）设这种篮球的标价为每个x元，
依题意，得42004200300
5 0.80.9
x x
+
-=，
解得：x=50，
经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，
答：这种篮球的标价为每个50元；
（2）购买100个篮球，最少的费用为3850元，
单独在A超市一次买100个，则需要费用：100×50×0.9-300=4200元，
在A超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2（50×50×0.9-300）=3900元，单独在B超市购买：100×50×0.8=4000元，
在A、B两个超市共买100个，
根据A超市的方案可知在A超市一次购买：
2000
0.950
⨯
=44
4
9
，即购买45个时花费最小，为45×50×0.9-300=1725元，
两次购买，每次各买45个，需要1725×2=3450元，其余10个在B超市购买，需要10×50×0.8=400元，这样一共需要3450+400=3850元，
综上可知最少费用的购买方案：在A超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元.
【题目点拨】
本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
23、见解析
【解题分析】
根据角平分线的性质和直角三角形性质求∠BAF=∠ACG.进一步证明△ABF≌△CAG，从而证明BF=AG.
【题目详解】
证明：∵∠BAC=90°，，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，
又∵AG平分∠BAC，∴∠GAC=1
2
∠BAC=45°，
又∵∠BAC=90°，AE⊥CD，
∴∠BAF+∠ADE=90°，∠ACG +∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ACG. 又∵AB=CA,
∴
B GAC
AB CA
BAF ACG
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△ABF≌△CAG（ASA），
∴BF=AG
【题目点拨】
此题重点考查学生对三角形全等证明的理解，熟练掌握两三角形全等的证明是解题的关键.
24、1千米/时
【解题分析】
设水流的速度是x千米/时，则顺流的速度为（20+x）千米/时，逆流的速度为（20﹣x）千米/时，根据由货轮往返两个码头之间，可知顺水航行的距离与逆水航行的距离相等列出方程，解方程即可求解.
【题目详解】
设水流的速度是x千米/时，则顺流的速度为（20+x）千米/时，逆流的速度为（20﹣x）千米/时，
根据题意得：6（20﹣x）=1（20+x），
解得：x=1．
答：水流的速度是1千米/时．
【题目点拨】
本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，设出未知数后列出方程是解决此类题目的基本思路.。