(完整版)七年级数学下册相交线与平行线考试题及答案培优试题

一、选择题
1．如图，ABC 中∠BAC ＝90°，将周长为12的ABC 沿BC 方向平移2个单位得到DEF ，连接AD ，则下列结论：①AC //DF ，AC ＝DF ；②DE ⊥AC ；③四边形 ABFD 的周长是16；④ABEO CFDO S S =四边形四边形，其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．如图，//AB CD ，将一个含30角的直角三角尺按如图所示的方式放置，若1∠的度数为25︒，则2∠的度数为（ ）
A ．35︒
B ．65︒
C ．145︒
D ．155︒ 3．如图，//,AD BC D ABC ∠=∠,点
E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ，点
F 是边AB 上一点，使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线E
G 交B
H 于点G ，若100DEH ︒∠=，则BEG ∠的度数是（ ）
A ．30︒
B ．40︒
C ．50︒
D ．60︒
4．给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）不相等的两个角不是同位角；
（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做该点到直线的距离；
（5）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条．
其中真命题的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
5．一副直角三角板如图放置，其中∠F ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝45°，∠B ＝60°，AB //DC ，则
∠CAE 的度数为（ ）
A ．25°
B ．20°
C ．15°
D ．10°
6．下列几个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②如果1∠和2∠是对顶角，那么12∠=∠；
③一个角的余角一定小于这个角的补角；
④三角形的一个外角大于它的任一个内角．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4
7．如图，//AB CD ，AC 平分BAD ∠，B CDA ∠=∠，点E 在AD 的延长线上，连接EC ，2B CED ∠=∠，下列结论：①//BC AD ；②CA 平分BCD ∠；③AC EC ⊥；
④ECD CED ∠=∠．其中正确的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．如图，长方形ABCD 中，7AB =，第一次平移长方形ABCD 沿AB 的方向向右平移5个单位，得到长方形1111D C B A ，第3次平移将长方形1111D C B A 沿11A B 的方向向右平移5个单位，得到长方形2222A B C D ，…第n 次平移将长方形1111n n n n A B C D ----的方向平移5个单位，得到长方形(2)n n n n A B C D n >，若n AB 的长度为2022，则n 的值为（ ）
A ．403
B ．404
C ．405
D ．406
9．直线12//l l ，125A ∠=︒，85B ∠=︒，115∠=︒，则2∠=（ ）
A ．15°
B ．25°
C ．35
D ．20°
10．如图，点E 在CA 延长线上，DE 、AB 交于F ，且BDE AEF ∠=∠，B C ∠=∠，EFA 比FDC ∠的余角小10︒，P 为线段DC 上一动点，Q 为PC 上一点，且满足
FQP QFP ∠=∠，FM 为EFP ∠的平分线．则下列结论：①//AB CD ；②FQ 平分AFP ∠；③140B E ∠+∠=︒；④QFM ∠的角度为定值．其中正确结论的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
11．如图，//AC BD ，BC 平分ABD ∠，设ACB ∠为α，点E 是射线BC 上的一个动点，若:5:2BAE CAE ∠∠=，则CAE ∠的度数为__________．（用含α的代数式表示）．
12．如图，有两个正方形夹在AB 与CD 中，且AB//CD,若∠FEC=10°，两个正方形临边夹角为150°，则∠1的度数为________度(正方形的每个内角为90°)
13．如图，已知直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝______．
14．如图，已知//AB CD ，BF 平分ABE ∠，//BF DE ，且40D ∠=︒，则BED ∠的度数为______．
15．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D、C分别落在点D'、C′的位置处，若∠1＝56°，则∠EFB的度数是___．
∠=︒则∠4的度数是___度．
16．如图，a∥b，∠2＝∠3，140,
17．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN，MF交于点O．若∠E+60°＝2∠F，则∠AMF的大小是___．
18．一副三角板按如图所示（共定点A）叠放在一起，若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝___°时，DE∥AB．
19．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB ，CD ．若CD ∥BE ，∠1＝28°，则∠2的度数是______．
20．如图．已知点C 为两条相互平行的直线,AB ED 之间一动点，ABC ∠和CDE ∠的角平分线相交于F ，若3304
BCD BFD ∠=∠+︒，则BCD ∠的度数为________．
三、解答题
21．已知：AB //CD ．点E 在CD 上，点F ，H 在AB 上，点G 在AB ，CD 之间，连接FG ，EH ，GE ，∠GFB ＝∠CEH ．
（1）如图1，求证：GF //EH ；
（2）如图2，若∠GEH ＝α，FM 平分∠AFG ，EM 平分∠GEC ，试问∠M 与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M ）？请写出你的猜想，并加以证明．
22．（1）（问题）如图1，若//AB CD ，40AEP ∠=︒，130PFD ∠=︒．求EPF ∠的度数； （2）（问题迁移）如图2，//AB CD ，点P 在AB 的上方，问PEA ∠，PFC ∠，EPF ∠之间
有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知EPF α∠=，PEA ∠的平分线和PFC ∠的平分线交于点G ，用含有α的式子表示G ∠的度数．
23．如图，//MN PQ ，直线AD 与MN 、PQ 分别交于点A 、D ，点B 在直线PQ 上，过点B 作BG AD ⊥，垂足为点G ．
（1）如图1，求证：90MAG PBG ∠+∠=︒；
（2）若点C 在线段AD 上（不与A 、D 、G 重合），连接BC ，MAG ∠和PBC ∠的平分线交于点H 请在图2中补全图形，猜想并证明CBG ∠与AHB ∠的数量关系；
24．如图，已知直线//AB 射线CD ，110CEB ∠=︒．P 是射线EB 上一动点，过点P 作//PQ EC 交射线CD 于点Q ，连接CP ．作PCF PCQ ∠=∠，交直线AB 于点F ，CG 平分ECF ∠．
（1）若点P ，F ，G 都在点E 的右侧．
①求PCG ∠的度数；
②若30EGC ECG ∠-∠=︒，求CPQ ∠的度数．（不能使用“三角形的内角和是180︒”直接解题）
（2）在点P 的运动过程中，是否存在这样的偕形，使:3:2EGC EFC ∠∠=？若存在，直接写出CPQ ∠的度数；若不存在．请说明理由．
25．如图1，已知直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．
（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝
（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由；
（3）利用（2）的结论解答：
①如图2，AP1，BP1分别平分∠DAP，∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由；
②如图3，AP2，BP2分别平分∠CAP，∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B．（用含β的代数式表示）
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据平移的性质逐一判定即可．
【详解】
解：∵将ABC沿BC向右平移2个单位得到DEF，
∴AC//DF，AC＝DF，AB＝DE，BC＝EF，AD＝BE＝CF＝2，∠BAC＝∠EDF＝90°，
∴ED⊥DF，四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝12+2+2＝16．
∵S△ABC＝S△DEF，
∴S△ABC﹣S△OEC＝S△DEF﹣S△OEC，
∴S四边形ABEO＝S四边形CFDO，
即结论正确的有4个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平移的距离以及图形的面积．
2．A
解析：A
【分析】
过三角板60°角的顶点作直线EF∥AB，则EF∥CD，利用平行线的性质，得到
∠3+∠4=∠1+∠2=60°，代入计算即可．
【详解】
如图，过三角板60°角的顶点作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠3=∠1，∠4=∠2，
∵∠3+∠4=60°，
∴∠1+∠2=60°，
∵∠1=25°，
∴∠2=35°，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的辅助线构造，平行线的判定与性质，三角板的意义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
AD∥BC，∠D=∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．
【详解】
解：设FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，
∠FEH 的角平分线为EG ，设∠GEH=∠GEF=β，
AD ∥BC ，∴∠ABC+∠BAD=180°，
而∠D=∠ABC ，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB ∥CD ，
∠DEH=100°，则∠CEH=∠FAE=80°，
∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，
在△AEF 中，
在△AEF 中，80°+2α+180-2β=180°
故β-α=40°，
而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，
故选：B ．
【点睛】
此题考查平行线的性质，解题关键是落脚于△AEF 内角和为180°，即100°+2α+180°-2β=180°，题目难度较大．
4．B
解析：B
【详解】
试题分析：根据两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确； 同位角不一定相等，只有在两直线平行时，同位角相等，故（2）不正确；
平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（3）正确； 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离，故（4）不正确； 过直线外一点作已知直线的平行线，有且只有一条，故（5）不正确.
故选B.
5．C
解析：C
【分析】
利用平行线的性质和给出的已知数据即可求出CAE ∠的度数．
【详解】
解：90F ∠=︒，45D ∠=︒，
45DEF ∴∠=︒，
90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，
30BAC ∴∠=︒，
//AB DC ，
45BAE DEF ∴∠=∠=︒，
∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
CAE BAE BAC
453015
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟记平行线的性质．
6．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质对①进行判断；根据对顶角的性质对②进行判断；根据余角与补角的定义对③进行判断；根据三角形外角性质对④进行判断．
【详解】
解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；
如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，所以②正确；
一个角的余角一定小于这个角的补角，所以③正确；
三角形的外角大于任何一个与之不相邻的一个内角，所以④错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
7．D
解析：D
【分析】
结合平行线性质和平分线判断出①②正确，再结合平行线和平分线根据等量代换判断出③④正确即可．
【详解】
解：∵AB//CD，
∴∠1=∠2，
∵AC平分∠BAD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠B=∠CDA，
∴∠1=∠4，
∴∠3=∠4，
∴BC//AD，
∴①正确；
∴CA平分∠BCD，
∴②正确；
∵∠B=2∠CED，
∴∠CDA=2∠CED，
∵∠CDA=∠DCE+∠CED，
∴∠ECD=∠CED，
∴④正确；
∵BC//AD，
∴∠BCE+∠AEC= 180°，
∴∠1+∠4+∠DCE+∠CED= 180°，
∴∠1+∠DCE = 90°，
∴∠ACE= 90°，
∴AC⊥EC，
∴③正确
故其中正确的有①②③④，4个，
故选：D．
【点睛】
此题考查平行线的性质和角平分线的性质，难度一般，利用性质定理判断是关键．
8．A
解析：A
【分析】
根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=7-5=2，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出AB n=（n+1）×5+2求出n即可．
【详解】
解：∵AB=7，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形
A1B1C1D1，
第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2…，∴AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=7-5=2，
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+2=12，
∴AB2的长为：5+5+7=17；
∵AB1=2×5+2=12，AB2=3×5+2=17，
∴AB n=（n+1）×5+2=2022，
解得：n=403．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出AA1=5，
A1A2=5是解题关键．
9．A
解析：A
【分析】
分别过A、B作直线1l的平行线AD、BC，根据平行线的性质即可完成．
【详解】
分别过A、B作直线1l∥AD、1l∥BC，如图所示，则AD∥BC
∵1l ∥2l
∴2l ∥BC
∴∠CBF =∠2
∵1l ∥AD
∴∠EAD =∠1=15゜
∴∠DAB =∠EAB -∠EAD =125゜-15゜=110゜
∵AD ∥BC
∴∠DAB +∠ABC =180゜
∴∠ABC =180゜-∠DAB =180゜-110゜=70゜
∴∠CBF =∠ABF -∠ABC =85゜-70゜=15゜
∴∠2=15゜
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定等知识，关键是作两条平行线．
10．D
解析：D
【分析】
①由BDE AEF ∠=∠可得AE ∥BD ，进而得到B EAF ∠=∠，结合B C ∠=∠即可得到结论；②由//AB CD 得出AFQ FQP ∠=∠，结合FQP QFP ∠=∠即可得解；③由平行线的性质和内角和定理判断即可；④根据角平分线的性质求解即可；
【详解】
∵BDE AEF ∠=∠，
∴AE ∥BD ，
∴B EAF ∠=∠，
∵B C ∠=∠，
∴EAF C ∠=∠，
∴//AB CD ，结论①正确；
∵//AB CD ，
∴AFQ FQP ∠=∠，
∵FQP QFP ∠=∠，
∴AFQ QFP ∠=∠，
∴FQ 平分AFP ∠，结论②正确；
∵//AB CD ，
∴EFA FDC ∠=∠，
∵EFA 比FDC ∠的余角小10︒，
∴40EFA ∠=︒，
∵B EAF ∠=∠，180EFA E EAF ∠+∠+∠=︒，
∴180140B E EFA ∠+∠=︒-∠=︒，结论③正确；
∵FM 为EFP ∠的平分线， ∴111222
MFP EFP EFA AFP ∠=∠=∠+∠， ∵AFQ QFP ∠=∠， ∴12
QFP AFP ∠=∠， ∴1202
QFM MFP QFP EFA ∠=∠-∠=∠=︒，结论④正确； 故正确的结论是①②③④；
故答案选D ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、余角和补角的性质，准确分析计算是解题的关键．
二、填空题
11．或
【分析】
根据题意可分两种情况，①若点运动到上方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由，，列出等量关系求解即可得出结论；②若点运动到下方，根据 解析：41203α︒-或
36047α︒-
【分析】
根据题意可分两种情况，①若点E 运动到1l 上方，根据平行线的性质由α可计算出CBD ∠的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出BAC ∠的度数，再由
5:2BAE CAE ∠∠=，BAE BAC CAE ∠=∠+∠，列出等量关系求解即可得出结论；②若点E 运动到1l 下方，根据平行线的性质由α可计算出CBD ∠的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出BAC ∠的度数，再由5:2
BAE CAE ∠∠=，BAE BAC CAE ∠=∠-∠列出等量关系求解即可得出结论．
【详解】
解：如图，若点E 运动到l 1上方，
//AC BD ，
CBD ACB α∴∠=∠=， BC 平分ABD ∠，
22ABD CBD α∴∠=∠=，
1801802BAC ABD α∴∠=︒-∠=︒-， 又5:2BAE CAE ∠∠=， 5():2BAC CAE CAE ∴∠+∠∠=， 5(1802):2CAE CAE α︒-+∠∠=
， 解得180241205312
CAE αα︒-∠==︒--； 如图，若点E 运动到l 1下方，
//AC BD ，
CBD ACB α∴∠=∠=，
BC 平分ABD ∠， 22ABD CBD α∴∠=∠=，
1801802BAC ABD α∴∠=︒-∠=︒-，
又5:2BAE CAE ∠∠=，
5():2
BAC CAE CAE ∴∠-∠∠=， 5(1802):2CAE CAE α︒--∠∠=
， 解得180236045712
CAE αα︒-︒-∠==+． 综上CAE ∠的度数为41203α︒-或
36047α︒-． 故答案为：4
1203α︒-或36047
α︒-．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等，合理应用平行线的性质是解决本题的关键．12．【详解】
作IF∥AB,GK∥AB,JH∥AB
因为AB∥CD
所以，AB∥CD∥ IF∥GK∥JH
所以，∠IFG=∠FEC=10°
所以，∠GFI=90°-∠IFG=80°
所以，∠KGF=∠
解析：【详解】
作IF∥AB,GK∥AB,JH∥AB
因为AB∥CD
所以，AB∥CD∥ IF∥GK∥JH
所以，∠IFG=∠FEC=10°
所以，∠GFI=90°-∠IFG=80°
所以，∠KGF=∠GFI=80°
所以，∠HGK=150°-∠KGF=70°
所以，∠JHG=∠HGK=70°
同理，∠2=90°-∠JHG=20°
所以，∠1=90°-∠2=70°
故答案为70
【点睛】
本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是关键，注意掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
13．【分析】
延长AB，交两平行线与C、D，根据平行线的性质和领补角的性质计算即可；【详解】
延长AB，交两平行线与C、D，
∵直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，
∴，，，
∴，
∴，
解析：17︒
【分析】
延长AB ，交两平行线与C 、D ，根据平行线的性质和领补角的性质计算即可；
【详解】
延长AB ，交两平行线与C 、D ，
∵直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，
∴4285∠+∠=︒，13125∠+∠=︒，34180∠+∠=︒，
∴852*******︒-∠+︒-∠=︒，
∴1230∠+∠=︒，
又∵∠1比∠2大4°，
∴2=14∠∠-︒，
∴2134∠=︒，
∴117∠=︒；
故答案是17︒．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质应用，准确计算是解题的关键．
14．140°
【分析】
延长DE 交AB 的延长线于G ，根据两直线平行，内错角相等可得∠D ＝∠AGD ，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AGD ＝∠ABF ，然后根据角平分线的定义得∠EBF ＝∠ABF ，再根据平
解析：140°
【分析】
延长DE 交AB 的延长线于G ，根据两直线平行，内错角相等可得∠D ＝∠AGD ，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AGD ＝∠ABF ，然后根据角平分线的定义得∠EBF ＝∠ABF ，再根据平行线的性质解答．
【详解】
解：如图，延长DE 交AB 的延长线于G ，
∵//AB CD ，
∴∠D ＝∠AGD ＝40°，
∵BF//DE，
∴∠AGD＝∠ABF＝40°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF＝∠ABF＝40°，
∵BF//DE，
∴∠BED＝180°﹣∠EBF＝140°．
故答案为：140°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．15．62°
【分析】
根据折叠性质得出∠DED′=2∠DEF，根据∠1的度数求出∠DED′，即可求出
∠DEF的度数，进而得到答案．
【详解】
解：由翻折的性质得：∠DED′=2∠DEF，
∵∠1=56°
解析：62°
【分析】
根据折叠性质得出∠DED′=2∠DEF，根据∠1的度数求出∠DED′，即可求出∠DEF的度数，进而得到答案．
【详解】
解：由翻折的性质得：∠DED′=2∠DEF，
∵∠1=56°，
∴∠DED′=180°-∠1=124°，
∴∠DEF=62°，
又∵AD∥BC，
∴∠EFB=∠DEF=62°．
故答案为：62°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解题的关键．
16．40
【分析】
分别作a∥c，a∥d，则a∥b∥c∥d，由题可知根据平行线的性质得出再用等式的性质得出再根据平行线的性质由a∥c，b∥d，得出即可得出．
【详解】
如图，作a∥c，a∥d，则a∥b∥
解析：40
【分析】
∠+∠=∠+∠根据平行线的性质得出分别作a∥c，a∥d，则a∥b∥c∥d，由题可知5678,
∠=∠再用等式的性质得出58,
∠=∠再根据平行线的性质由a∥c，b∥d，得出
67,
∠=∠∠=∠即可得出1440
15,48,
∠=∠=︒．
【详解】
如图，作a∥c，a∥d，则a∥b∥c∥d，
∵∠2＝∠3，
∠+∠=∠+∠
∴5678,
又∵c∥d，
∠=∠
∴67,
∠=∠
∴58,
∵a∥c，b∥d，
∠=∠∠=∠
∴15,48,
∠=∠=︒
∴1440,
故答案为：40．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质；两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．17．【分析】
作，则，，而，所以，同理可得，变形得到，利用等式的性质得，加上已给条件，于是得到，易得的度数．
【详解】
解：作，如图，
，
，
，，
是的平分线，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
解析：40︒
【分析】
作//EH AB ，则1AME ∠=∠，2CNE ∠=∠，而12
AME AMF ∠=∠，所以12MEN AMF CNE ∠=∠+∠，同理可得12
F AMF CNE ∠=∠+∠，变形得到22F AMF CNE ∠=∠+∠，利用等式的性质得322
F E AMF ∠-∠=∠，加上已给条件602MEN F ∠+︒=∠，于是得到3602
AMF ∠=︒，易得AMF ∠的度数． 【详解】
解：作//EH AB ，如图，
//AB CD ，
//EH CD ，
1AME ∴∠=∠，2CNE ∠=∠， EM 是AMF ∠的平分线，
12
AME AMF ∴∠=∠， 12MEN ∠=∠+∠，
12
MEN AMF CNE ∴∠=∠+∠， 同理可得，
12
F AMF CNE ∠=∠+∠， 22F AMF CNE ∴∠=∠+∠，
322
F MEN AMF ∴∠-∠=∠， 602MEN F ∠+︒=∠，即260F MEN ∠-∠=︒， ∴3602
AMF ∠=︒， 40AMF ∴∠=︒，
故答案为：40︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，合理作辅助线和把一般结论推广是解决问题的关键．
18．30或150
【分析】
分两种情况，根据ED∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．【详解】
解：如图1所示：当ED∥AB时，∠BAD=∠D=30°；
如图2所示，当ED∥AB时，∠D
解析：30或150
【分析】
分两种情况，根据ED∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【详解】
解：如图1所示：当ED∥AB时，∠BAD=∠D=30°；
如图2所示，当ED∥AB时，∠D=∠BAD=180°，
∵∠D=30°
∴∠BAD=180°-30°=150°；
故答案为：30°或150°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
19．56°
【分析】
由折叠的性质可得∠3＝∠1＝28°，从而求得∠4＝56°，再根据平行线的性质定理求出∠EBD＝180°﹣∠4＝124°，最后再根据平行线性质定理求出∠2＝56°．【详解】
解：如
解析：56°
【分析】
由折叠的性质可得∠3＝∠1＝28°，从而求得∠4＝56°，再根据平行线的性质定理求出
∠EBD＝180°﹣∠4＝124°，最后再根据平行线性质定理求出∠2＝56°．
【详解】
解：如图，由折叠的性质，可得∠3＝∠1＝28°，
∴∠4＝∠1+∠3＝56°，
∵CD∥BE，AC∥BD，
∴∠EBD＝180°﹣∠4＝124°，
又∵CD∥BE，
∴∠2＝180°﹣∠CBD＝180°﹣124°＝56°．
故答案为：56°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系． 20．120°
【分析】
由角平分线的定义可得，，又由，得，；设，，则；再根据四边形内角和定理得到，最后根据即可求解．
【详解】
解：和的角平分线相交于，
，，
又，
，，
设，，
，
在四边形中，，，，
解析：120°
【分析】
由角平分线的定义可得EDA ADC ∠=∠，CBE ABE ∠=∠，又由//AB ED ，得
EDF DAB ∠=∠，DFE ABF ∠=∠；设EDF DAB x ∠=∠=，DFE ABF y ∠=∠=，则
DFB x y ∠=+；再根据四边形内角和定理得到3602()BCD x y ∠=︒-+，最后根据
3304
BCD BFD ∠=∠+︒即可求解． 【详解】
解：ABC ∠和CDE ∠的角平分线相交于F ，
EDA ADC ∴∠=∠，CBE ABE ∠=∠，
又//AB ED ，
EDF DAB ∴∠=∠，DEF ABF ∠=∠，
设EDF DAB x ∠=∠=，DEF ABF y ∠=∠=，
BFD EDA ADE x y ∴∠=∠+∠=+，
在四边形BCDF 中，FBC x ∠=，ADC y ∠=，BFD x y ∠=+，
3602()BCD x y ∴∠=︒-+，
04
33BCD BFD ∠=∠+︒， 120BFD x y ∴∠=+=︒，
3602()120BCD x y ∴∠=︒-+=︒，
故答案为：120︒．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）902FME α∠=︒-
，证明见解析． 【分析】
（1）由平行线的性质得到CEH EHB ∠=∠，等量代换得出GFB EHB ∠=∠，即可根据“同位角相等，两直线平行”得解；
（2）过点M 作//MQ AB ，过点G 作//GP AB ，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
【详解】
（1）证明：//AB CD ，
CEH EHB ∴∠=∠，
GFB CEH ∠=∠，
GFB EHB ∴∠=∠，
//GF EH ∴；
（2）解：902FME α
∠=︒-，理由如下：
如图2，过点M 作//MQ AB ，过点G 作//GP AB ，
//AB CD ，
//MQ CD ∴，
AFM FMQ ∴∠=∠，QME MEC ∠=∠，
FME FMQ QME AFM MEC ∴∠=∠+∠=∠+∠，
同理，FGE FGP PGE AFG GEC ∠=∠+∠=∠+∠，
FM 平分AFG ∠，EM 平分GEC ∠，
2AFG AFM ∴∠=∠，2GEC MEC ∠=∠，
2FGE FME ∴∠=∠，
由（1）知，//GF EH ，
180FGE GEH ∴∠+∠=︒，
GEH α∠=，
180FGE α∴∠=︒-，
2180FME α∴∠=︒-，
902FME α
∴∠=︒-．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键．
22．（1）90°；（2）∠PFC=∠PEA+∠P；（3）∠G=1
2
α
【分析】
（1）根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN=∠PEA+∠FPE，进而可得
∠PFC=∠PEA+∠FPE，即可求解；
（3）令AB与PF交点为O，连接EF，根据三角形的内角和定理可得∠GEF+∠GFE＝
1 2∠PEA+1
2
∠PFC+∠OEF+∠OFE，由（2）得∠PEA=∠PFC-α，由∠OFE+∠OEF=180°-
∠FOE=180°-∠PFC可求解．
【详解】
解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∴∠1=∠AEP．
又∠AEP=40°，
∴∠1=40°．
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠2+∠PFD=180°．
∵∠PFD=130°，
∴∠2=180°-130°=50°．
∴∠1+∠2=40°+50°=90°．
即∠EPF=90°．
（2）∠PFC=∠PEA+∠P．
理由：过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA=∠NPE，
∵∠FPN=∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN=∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN=∠PFC，
∴∠PFC=∠PEA+∠FPE，即∠PFC=∠PEA+∠P；（3）令AB与PF交点为O，连接EF，如图3．
在△GFE 中，∠G =180°-（∠GFE +∠GEF ），
∵∠GEF ＝12∠PEA +∠OEF ，∠GFE ＝1
2∠PFC +∠OFE ，
∴∠GEF +∠GFE ＝12∠PEA +12∠PFC +∠OEF +∠OFE ，
∵由（2）知∠PFC =∠PEA +∠P ，
∴∠PEA =∠PFC -α，
∵∠OFE +∠OEF =180°-∠FOE =180°-∠PFC ，
∴∠GEF +∠GFE ＝12(∠PFC −α)+12∠PFC +180°−∠PFC ＝180°−12α，
∴∠G ＝180°−(∠GEF +∠GFE )＝180°−180°+12α＝12α．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质与判定，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． 23．（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点C 在AG 上时，290AHB CBG ∠-∠=︒；当点C 在DG 上时，290AHB CBG ∠+∠=︒．
【分析】
（1）过点G 作//GE MN ，根据平行线的性质即可求解；
（2）分两种情况：当点C 在AG 上，当点C 在DG 上，再过点H 作//HF MN 即可求解．
【详解】
（1）证明：如图，过点G 作//GE MN ，
∴MAG AGE ∠=∠，
∵//MN PQ ，
∴//GE PQ ．
∴PBG BGE ∠=∠．
∵BG AD ⊥，
∴90AGB ∠=︒，
∴90MAG PBG AGE BGE AGB ∠+∠=∠+∠=∠=︒．
（2）补全图形如图2、图3，
猜想：290AHB CBG ∠-∠=︒或290AHB CBG ∠+∠=︒．
证明：过点H 作//HF MN ．
∴1AHF ∠=∠．
∵//MN PQ ，
∴//HF PQ
∴2BHF ∠=∠，
∴12AHB AHF BHF ∠=∠+∠=∠+∠．
∵AH 平分MAG ∠，
∴21MAG ∠=∠．
如图3，当点C 在AG 上时，
∵BH 平分PBC ∠，
∴22PBC PBG CBG ∠=∠+∠=∠，
∵//MN PQ ，
∴MAG GDB ∠=∠，
2212290AHB MAG PBG CBG
GDB PBG CBG CBG
∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+∠
即290AHB CBG ∠-∠=︒．
如图2，当点C 在DG 上时，
∵BH 平分PBC ∠，
∴22PBC PBG CBG ∠=∠-∠=∠．
∴2212290AHB MAG PBG CBG CBG ∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒-∠．
即290AHB CBG ∠+∠=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及角的运算，解题的关键是准确作出平行线，找出角与角之间的数量关系．
24．（1）①35°；（2）55°；（2）存在，52.5︒或7.5︒
【分析】
（1）①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG 的度数；
②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG =∠GCF =20°，再根据PQ ∥CE ，即可得出∠CPQ =∠ECP =60°；
（2）设∠EGC =3x ，∠EFC =2x ，则∠GCF =3x -2x =x ，分两种情况讨论：①当点G 、F 在点E 的右侧时，②当点G 、F 在点E 的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．
【详解】
解：（1）①∵AB∥CD，
∴∠CEB+∠ECQ=180°，
∵∠CEB=110°，
∴∠ECQ=70°，
∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，
∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝1
2∠QCF+1
2
∠FCE＝1
2
∠ECQ＝35°；
②∵AB∥CD，
∴∠QCG=∠EGC，
∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=70°，
∴∠EGC+∠ECG=70°，
又∵∠EGC-∠ECG=30°，
∴∠EGC=50°，∠ECG=20°，
∴∠ECG=∠GCF=20°，∠PCF＝∠PCQ＝1
2
(70°−40°)＝15°，∵PQ∥CE，
∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ-∠PCQ=70°-15°=55°．
（2）52.5°或7.5°，
设∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，
①当点G、F在点E的右侧时，
∵AB∥CD，
∴∠QCG=∠EGC=3x°，∠QCF=∠EFC=2x°，
则∠GCF=∠QCG-∠QCF=3x°-2x°=x°，
∴∠PCF＝∠PCQ＝1
2∠FCQ＝1
2
∠EFC＝x°，
则∠ECG=∠GCF=∠PCF=∠PCD=x°，
∵∠ECD=70°，
∴4x=70°，解得x=17.5°，
∴∠CPQ=3x=52.5°；
②当点G、F在点E的左侧时，反向延长CD到H，∵∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，
∴∠GCH=∠EGC=3x°，∠FCH=∠EFC=2x°，
∴∠ECG=∠GCF=∠GCH-∠FCH=x°，
∵∠CGF=180°-3x°，∠GCQ=70°+x°，
∴180-3x=70+x，
解得x=27.5，
∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=27.5°×2+70°=125°，
∴∠PCQ＝1
2
∠FCQ＝62.5°，
∴∠CPQ=∠ECP=62.5°-55°=7.5°，
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
25．（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，理
由见解析；②∠AP2B=
1 180
2
β
︒-．
【分析】
（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根据
∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；
（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．
（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答；②根据①的规律可得
∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．
【详解】
（1）证明：过P作PM∥CD，
∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等），
∵CD∥EF（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），
∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质）即∠APB=∠DAP+∠FBP=40°+70°=110°．（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．
理由：见（1）中证明．
（3）①结论：∠P=2∠P1；
理由：由（2）可知：∠P=∠DAP+∠FBP，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，
∵∠DAP=2∠DAP1，∠FBP=2∠FBP1，
∴∠P=2∠P1．
②由①得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，
∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，
∴∠CAP2=1
2∠CAP，∠EBP2=1
2
∠EBP，
∴∠AP2B=1
2∠CAP+1
2
∠EBP，
= 1
2（180°-∠DAP）+ 1
2
（180°-∠FBP），
=180°- 1
2
（∠DAP+∠FBP），
=180°- 1
2
∠APB，
=180°- 1
2
β．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．。