2019-2022年上海市初三数学中考一模分类汇编24题-二次函数与角度问题含详解

2．（2021 秋•闵行区期末）在平面直角坐标系 xOy 中，如果抛物线 y＝ax2+bx+c 上存在 一点 A，使点 A 关于坐标原点 O 的对称点 A′也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物 线叫做回归抛物线，点 A 叫做这条抛物线的回归点． （1）已知点 M 在抛物线 y＝﹣x2+2x+4 上，且点 M 的横坐标为 2，试判断抛物线 y＝﹣x2+2x+4 是否为回归抛 物线，并说明理由； （2）已知点 C 为回归抛物线 y＝﹣x2﹣2x+c 的顶点，如果点 C 是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达 式； （3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D．联结 CO 并延长，交该抛物线于点 E，点 F 是射线 CD 上一点，如果∠CFE＝∠DEC，求点 F 的坐标．
9．（2020 秋•闵行区期末）已知：在平面直角坐标系 xOy 中，对称轴为直线 x＝﹣2 的 抛物线经过点 C（0，2），与 x 轴交于 A（﹣3，0）、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）． （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结 BC，求∠BCO 的余切值； （3）如果过点 C 的直线，交 x 轴于点 E，交抛物线于点 P，且∠CEO＝∠BCO，求点 P 的坐标．
4．（2022 秋•宝山区期末）已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0） 经过点 A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点为点 D． （1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）联结 BD、CD，试判断△BCD 与△AOC 是否相似，并证明你的结论； （3）抛物线上是否存在点 P，使得∠PAC＝45°，如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
二次函数与角度问题
【例题讲解】 1．（2022 秋•长宁区期末）抛物线 y＝ax2+2ax+c 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C（0，3），其顶点 D 的纵坐标为 4． （1）求该抛物线的表达式； （2）求∠ACB 的正切值； （3）点 F 在线段 CB 的延长线上，且∠AFC＝∠DAB，求 CF 的长．
设 F（m，﹣3m+3），
∴（ 3 2 ）2＝（m+3）2+（﹣3m+3）2，
解得：m1＝0（舍），m2＝ 6 ，∴F（ 6 ，﹣ 3 ），
5
55
∴CF＝ (6)2 ( 3 3)2 6 10 ．
5
5
5
【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的解析式，对称轴公式，顶点式，三角函数的定义，两点的
6．（2021 秋•松江区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax2+bx﹣2 经 过点 A（2，0）和 B（﹣1，﹣1），与 y 轴交于点 C． （1）求这个抛物线的表达式； （2）如果点 P 是抛物线位于第二象限上一点，PC 交 x 轴于点 D， PD 2 ．
DC 3 ①求 P 点坐标； ②点 Q 在 x 轴上，如果∠QCA＝∠PCB，求点 Q 的坐标．
距离，三角形面积等知识，第三问有难度，得出∠AFC＝∠ACB 是本题的关键．
2．（2022 秋•黄浦区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2-3ax-4a(a<0)与 x 轴交于 A（-1，0）、 B 两点与 y 轴交于点 C，点 M 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 l 与 BC 交于点 D，与 x 轴交于点 E．
10．（2020 秋•静安区期末）在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知二次函数 y＝ax2+bx+c （其中 a、b、c 是常数，且 a≠0）的图象经过点 A（0，﹣3）、B（1，0）、C（3，0），联结 AB、AC． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点 D 是线段 AC 上的一点，联结 BD，如果 S△ABD：S△BCD＝3：2，求 tan∠DBC 的值； （3）如果点 E 在该二次函数图象的对称轴上，当 AC 平分∠BAE 时，求点 E 的坐标．
11．（2020 秋•杨浦区期末）已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝mx2﹣2mx+4（m ≠0）与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），且 AB＝6． （1）求这条抛物线的对称轴及表达式； （2）在 y 轴上取点 E（0，2），点 F 为第一象限内抛物线上一点，联结 BF，EF，如果 S 四边形 OEFB＝10，求点 F 的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，点 F 在抛物线对称轴右侧，点 P 在 x 轴上且在点 B 左侧，如果直线 PF 与 y 轴的夹角等于∠EBF，求点 P 的坐标．
【思维导图】
二次函数与角度问题
【例题讲解】 1．（2022 秋•长宁区期末）抛物线 y＝ax2+2ax+c 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C（0，3），其顶点 D 的纵坐标为 4． （1）求该抛物线的表达式； （2）求∠ACB 的正切值； （3）点 F 在线段 CB 的延长线上，且∠AFC＝∠DAB，求 CF 的长．
5 3
10 2；
10
5
（3）如图 2，∵tan∠ACB＝2，tan∠DAB＝ DM 4 2 ， AM 2
∴∠ACB＝∠DAB， ∵∠DAB＝∠AFC，∴∠ACB＝∠AFC，∴AC＝AF，
b 3
k 3
设
BC
的解析式为：y＝kx+b，则
k
b
0
，解得：
b
3
，
∴BC 的解析式为：y＝﹣3x+3，
4．（2021 秋•青浦区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax2+bx﹣4 与 x 轴交于点 A（﹣4，0）和点 B（2，0），与 y 轴交于点 C． （1）求该抛物线的表达式及点 C 的坐标； （2）如果点 D 的坐标为（﹣8，0），联结 AC、DC，求∠ACD 的正切值； （3）在（2）的条件下，点 P 为抛物线上一点，当∠OCD＝∠CAP 时，求点 P 的坐标．
【考点】二次函数综合题． 版权所有
【专题】压轴题；公式：x＝﹣ - b 可得对称轴是：x＝﹣1，得 D（﹣1，4），根据顶点式可设抛物线
2a 的解析式为：y＝a（x+1）2+4，把（0，3）代入可得结论； （2）如图 1，构建直角三角形，计算 AM 和 CM 的长，根据正切的定义可得结论； （3）根据正切相等可得∠ACB＝∠DAB，所以得 AC＝AF，根据两点的距离公式列方程可得结论． 【解答】解：（1）∵y＝ax2+2ax+c，∴对称轴是：x＝ - 2a ＝﹣1，
15 （2）先求出点 M、点 D 的坐标，由 MD= 可列等式，求出 a 的值，求解
8 （3）先证△BCF∽△BFD，得 BF2=BD•BC，则 BE2+EF2=BD•BC，可得答案．
【解答】(1)解：∵二次函数=2−3−4，
∴对称轴是 x b 3a 3 1.5 ， 2a 2a 2
∵A(−1，0)，∵1+1.5=2.5，∴1.5+2.5=4，
∴点 B(4，0)；
(2) 当 x= 3 时， y 9 a 9 a 4a 25 a
2
42
4
∴点 M ( 3 , 25) 24
又∵抛物线 y=ax2-3ax-4a(a<0) 与 y 轴交于点 C
∴点 C（0，-4a）
∵点 B（4,0） ∴直线 BC 的解析式是：y=ax-4a
2a ∴顶点 D 的坐标为（﹣1，4）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+4， 把（0，3）代入得：a+4＝3， ∴a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图 1，过点 A 作 AM⊥BC 于 M，
当 y＝0 时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0），
7．（2021 秋•奉贤区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝﹣ 1 x2+bx+c 2
与 x 轴正半轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B（0，2），点 C 在该抛物线上且在第 一象限． （1）求该抛物线的表达式； （2）将该抛物线向下平移 m 个单位，使得点 C 落在线段 AB 上的点 D 处，当 AD＝3BD 时，求 m 的值； （3）连接 BC，当∠CBA＝2∠BAO 时，求点 C 的坐标．
(1)求抛物线的对称轴及 B 点的坐标 (2)如果 MD 15 ，求抛物线 y=ax2-3ax-4a(a<0)的表达式；
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(3)在（2）的条件下，已知点 F 是该抛物线对称轴上一点，且在线段 BC 的下方，∠CBF=∠CFB=∠BCO，求 点 F 的坐标 【考点】二次函数综合题．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识． 【分析】（1）根据二次函数抛物线的性质，可求出对称轴，即可得点的坐标；
3．（2021 秋•长宁区期末）已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax2+bx+2 经过点 A（﹣3，﹣6）、B（6，0），与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的表达式； （2）点 D 是抛物线上的点，且位于线段 BC 上方，联结 CD． ①如果点 D 的横坐标为 2．求 cot∠DCB 的值； ②如果∠DCB＝2∠CBO，求点 D 的坐标．
∴AB＝3+1＝4，BC＝ 32 12 ＝ 10 ，AC＝ 3 2 ，
∵S△ABC＝
1 2
AB•OC＝
1 2
BC•AM，∴
1 2
4
3
＝
1 2
×
10 AM，
∴AM＝ 6 10 ， 5
由勾股定理得：CM＝ AC 2 AM 2 (3 2)2 ( 6 10)2 5 10 ，
5
3
6
∴tan∠ACB＝ AM CM
【课后练习】 1．（2022 秋•虹口区期末）已知开口向上的抛物线 y＝ax2﹣4ax+3 与 y 轴的交点为 A， 顶点为 B，点 A 与点 C 关于对称轴对称，直线 AB 与 OC 交于点 D． （1）求点 C 的坐标，并用含 a 的代数式表示点 B 的坐标； （2）当∠ABC＝90°时，求抛物线 y＝ax2﹣4ax+3 的表达式； （3）当∠ABC＝2∠BCD 时，求 OD 的长．
8．（2020 秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别为 A（﹣1，0），B（3，0），与 y 轴相交于点 C． （1）求抛物线的表达式； （2）联结 AC、BC，求∠ACB 的正切值； （3）点 P 在抛物线上，且∠PAB＝∠ACB，求点 P 的坐标．
5．（2021 秋•虹口区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（﹣1，0）、B （3，0）、C（0，3），抛物线 y＝ax2+bx+c 经过 A、B 两点． （1）当该抛物线经过点 C 时，求该抛物线的表达式； （2）在（1）题的条件下，点 P 为该抛物线上一点，且位于第三象限，当∠PBC＝∠ACB 时，求点 P 的坐标； （3）如果抛物线 y＝ax2+bx+c 的顶点 D 位于△BOC 内，求 a 的取值范围．
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(3)在（2）的条件下，已知点 F 是该抛物线对称轴上一点，且在线段 BC 的下方，∠CBF=∠CFB=∠BCO，求 点 F 的坐标
3．（2022 秋•徐汇区期末）如图，抛物线 y＝﹣ 4 x2+ 10 x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴 33
交于点 B，C 为线段 OA 上的一个动点，过点 C 作 x 轴的垂线，交直线 AB 于点 D，交 该抛物线于点 E． （1）求直线 AB 的表达式，直接写出顶点 M 的坐标； （2）当以 B，E，D 为顶点的三角形与△CDA 相似时，求点 C 的坐标； （3）当∠BED＝2∠OAB 时，求△BDE 与△CDA 的面积之比．
2．（2022 秋•黄浦区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2-3ax-4a(a<0)与 x 轴交于 A（-1，0）、 B 两点与 y 轴交于点 C，点 M 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 l 与 BC 交于点 D，与 x 轴交于点 E．
(1)求抛物线的对称轴及 B 点的坐标 (2)如果 MD 15 ，求抛物线 y=ax2-3ax-4a(a<0)的表达式；