2019高考数学常考题型专题04数列问题理

专题04 数列问题1．（2018新课标全国Ⅰ理科）设为等差数列{}n a 的前项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12-B ．10- C ． D ． 【答案】B【解析】设等差数列的公差为，根据题中的条件可得3243332224222d d d ⨯⨯⎛⎫⨯+⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与1a d ,的关系，从而求得结果.2．（2018新课标全国Ⅰ理科）记为数列{}n a 的前项和，若21n n S a =+，则6S =_________． 【答案】63-【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.3．（2018新课标全国Ⅱ理科）记为等差数列{}n a 的前项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求，并求的最小值．【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n 项和公式得关于n 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.4．（2018新课标全国Ⅲ理科）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记为{}n a 的前项和．若63m S =，求．【解析】（1）设{}n a 的公比为，由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =. 故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21nn S =-.由63m S =得264m =，解得6m =.综上，6m =.1．等差数列、等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式、性质、前n 项和等为考查的重点，有时会将等差数列和等比数列的通项、前n 项和及性质综合进行考查.2．在高考中常出两道客观题或一道解答题，若是以客观题的形式出现，一般一道考查数列的定义、性质或求和的简单题，另一道则是结合其他知识，考查递推数列等的中等难度的题.若在解答题中出现，则一般结合等差数列和等比数列考查数列的通项，前n 项和等知识，难度中等.指点1：等差数列及其前项和1．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解. 2．等差数列前n 项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用1(1)=2n n n S na d -+；若已知通项公式，则使用1()=2n n n a a S +，同时注意与性质“12132n n n a a a a a a --+=+=+=”的结合使用.【例1】已知等差数列{}n a 满足9117S =，719a =，数列{}n b 满足112ni i i b n -==∑.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列11{}n n n b a a ++的前项和. 【解析】（1）依题意，9117S =，即59117a =，所以513a =，则7532a a d -==， 故7(7)19(7)332n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 因为112ni i i b n -==∑，所以1123242n n b b b b n -+++⋅⋅⋅+=①， 当2n ≥时，212312421n n b b b b n --+++⋅⋅⋅+=-②，①②得121n n b -=，即112n n b -=. 当1n =时，11b =满足上式. ∴数列{}n b 的通项公式为112n n b -=. （2）由（1）知，111111()(32)(31)33231n n a a n n n n +==--+-+，112n n b -=， 记数列11{}n n a a +的前项和为，{}n b 的前项和为， 则111111(1)3447323131n nS n n n =⨯-+-++-=-++， 2111111122222n n n T --=++++=-，故数列11{}n n n b a a ++的前项和为112312n n n n S T n -+=+-+. 指点2：等比数列及其前项和1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用11n n a a q -=求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形n mn m a a q -=可以简化解题过程．2．当1q ≠时，若已知1,,a q n ，则用1(1)1n n a q S q -=-求解较方便；若已知1,,n a q a ，则用11n n a a qS q-=-求解较方便.【例2】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且26a =，3472a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：*()n n b a n n =-∈N ，求数列{}n b 的前项和.指点3：数列的综合应用1．解决等差数列与等比数列的综合问题时，若同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；若两个数列是通过运算综合在一起的，则要把两个数列分开求解.2．数列常与函数、不等式结合起来考查，其中数列与不等式的结合是考查的热点，注意知识之间的灵活运用.【例3】设等差数列{}n a 的前项和为，等比数列{}n b 的前项和为，已知11a =-，11b =，223a b +=． （1）若337a b +=，求数列{}n b 的通项公式；（2）若313T =，且0n b >，求．（2）因为231(1)T b q q =++，所以2113q q ++=，解得3q =或4q =-，又0n b >，所以3q =，因为223a b +=，所以1133d -++⨯=，即1d =，【例4】已知公差大于零的等差数列{}n a 的前项和为，且34117a a =，2522a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 是等差数列，且nn S b n c=+，求非零常数的值． （3）设11n n n C a a +=，为数列{}n C 的前项和，是否存在正整数，使得8n M T >对任意的n ∈*N 均成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）因为数列{}n a 为等差数列，2522a a +=，所以235422a a a a +=+=， 又34117a a =，所以，是方程2221170x x -+=的两个根， 由2221170x x -+=解得19x =，213x =，设等差数列{}n a 的公差为，由题意可得0d >，所以34a a <， 所以39a =，413a =，所以1129 313a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得114a d =⎧⎨=⎩，所以14(1)43n a n n =+-=-，故数列{}n a 的通项公式为43n a n =-．（2）由（1）知，2(143)22n n n S n n +-==-，所以22n n S n n b n c n c-==++， 所以111b c =+，262b c =+，3153b c=+， 因为数列{}n b 是等差数列，所以2132b b b =+，即12115213c c c=++++， 即220c c +=，解得12c =-（0c =舍去）， 当12c =-时，2n b n =，易知数列{}n b 是等差数列，满足题意． 故非零常数的值为12-．（3）由题可得111111()(43)(41)44341n n n C a a n n n n +===--+-+， 利用裂项相消法可得111(1)4414n T n =-<+，故82n T <， 所以存在正整数2M ≥，使得8n M T >对任意的n ∈*N 均成立， 所以的最小值为．1．等差数列{}n a 的前项和为,若679218a a a +-=,则63S S -= A ．18 B ．27 C ．36 D ．45 【答案】B【解析】根据等差数列的性质，得6345653S S a a a a -=++=，而()6796652222218a a a a d a d a +-=-=-==，所以59a =，所以6327S S -=，故选B ． 2．已知等比数列{}n a 中，23a =，581a =，3log n n b a =，数列{}n b 的前项和为，则8T = A ．36 B ．28 C ．45 D ．32 【答案】B【解析】由题可得：352273a q q a ==⇒=，所以2212333n n n n a a q ---==⋅=，故13log 31n n b n -==-，所以{}n b 是以公差为1的等差数列，故()1888282b b T +==，故选B ．3．中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{}n a 的前项和214n S n =，*n ∈N ，等比数列{}n b 满足112b a a =+， 234b a a =+，则3b =A ．4B ．5C ．9D ．16 【答案】C4．已知数列{}n a 的前项和为，12a =，*12(2,)n n S S n n n -=-≥∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求{}n b 的前项和.【解析】（1）*12(2,)n n S S n n n -=-≥∈N ①，当3n ≥时，122(1)n n S S n --=--②.①-②得，121n n a a -=-，112(1)n n a a --=-，所以112(3)1n n a n a --=≥-. 当2n =时，12122a a a +=-，得20a =，则21111211a a --==-≠-. 所以{1}n a -是从第二项起，以2为公比的等比数列.则221122n n n a ---=-⋅=-，2*21(2,)n n a n n -=-+≥∈N . 所以22,121,2n n n a n -=⎧=⎨-+≥⎩.（2）易知22,12,2n n n b n n n -=⎧=⎨-⋅+≥⎩. 012222322(23)n n T n n -=-⨯-⨯--⋅++++③，12124223222(23)n n T n n -=-⨯-⨯--⋅++++④，③-④得223211(1)(2)222222222242212n n n n n n n T n n -----+-⨯-=-------+⋅-=--+⋅--1(1)(2)(1)(2)2(1)222n n n n n n --+-+=---.所以2122(1)2n n n n T n -++=--.5．已知数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 为等差数列，且111b a ==，212b a a =+，3326a b =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设21n n n c b b +=，数列{}n c 的前项和为，证明：1153n T ≤<. 【解析】（1）设数列{}n a 的公比为，数列{}n b 的公差为，由题意得11d q +=+，()22126q d =+-，解得2d q ==， 所以12,21n n n a b n -==-.（2）因为21n n n c b b +=()()1111212342123n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111111453723212123n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111111432123342123n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 因为111042123n n ⎛⎫+> ⎪++⎝⎭，所以13n T <，又因为{}n T 在[)1,+∞上单调递增，所以当1n =时，取最小值115T =， 所以1153n T ≤<.。