八年级数学下册 专题课堂(三)平行四边形的判定与性质的综合应用习题课件 (新版)华东师大版
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＝12BC，∴DF 綊 CE，∴四边形 CEDF 是平行四边形 (2)过点 D 作 DH⊥BE 于点 H.在▱ ABCD 中，∵∠B＝60°， ∴∠DCE ＝ 60°.∵AB
＝4，∴CD＝AB＝4，∴在 Rt△ DCH 中，CH＝12CD＝2，DH＝2 3.
又∵在▱ CEDF 中，CE＝DF＝12AD＝3，∴EH＝1.∴在 Rt△ DHE 中，
4．如图，在▱ ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE＝12BC， 连结 DE，CF. (1)求证：四边形 CEDF 是平行四边形； (2)若 AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求 DE 的长．
(1)在▱ ABCD 中，AD 綊 BC.∵F 是 AD 的中点，∴DF＝12AD.又∵CE
6．(2016·鄂州)如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点 作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD， AB于M，N. (1)求证：四边形CMAN是平行四边形； (2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．
(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴CM∥AN，∵AM⊥BD，CN⊥BD，
第18章 平行四边形
专题课堂(三) 平行四边形的判定与性质的综合应用
1．(2016·益阳)如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F， 连结AF，CE.求证：AF＝CE.
易证△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE＝CF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF＝CE
(1)(4 3，4) (2)∵∠OAB＝90°，∴AB⊥x 轴，∵y 轴⊥x 轴，∴AB∥y 轴，即 AB∥CE，∵∠AOB＝30°，∴∠OBA＝60°，∵DB＝DO＝4，∠OAB ＝ 90°， ∴DB ＝ AB ＝ 4 ， ∴∠BDA ＝ ∠BAD ＝ (180°－ 60°)÷2 ＝ 60°， ∵△OBC 是 等 边 三 角 形 ， ∴∠OBC ＝ 60°， ∴∠BDA ＝ ∠OBC ， 即 AD∥BC，∴四边形 ABCE 是平行四边形 (3)设 OG 的长为 x，∵OC＝
∴OE＝12OA，OF＝12OC，∴OE＝OF，∴四边形 BEDF 为平行四边形， ∴BE＝DF
3．(2016·凉山州)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且 与BC，AD分别交于点E，F.试猜想线段AE，CF的关系，并说明理由．
AE綊CF.理由：易证△OAF≌△OCE(ASA)，∴AF＝CE，又 ∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE綊CF
∴AM∥CN ， ∴ 四 边 形 CMAN 是 平 行 四 边 形 (2) 易 证
△ MDE≌△NBF(AAS)，∴DE＝BF＝4，在 Rt△ BFN 中，∵∠BFN＝
90°，BF＝4，FN＝3，∴BN＝ BF2＋FN2＝ 32＋42＝5
7．(2017·兰州模拟)如图①，在△ABO中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°， OB＝8.以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点， 连结AD并延长交OC于点E. (1)求点B的坐标； (2)求证：四边形ABCE是平行四边形； (3)如图②，将图①中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为 FG，求OG的长．
OB＝8，∴CG＝8－x，由折叠可得：AG＝CG＝8－x，在 Rt△ AOG 中， AG2＝OG2＋OA2，即(8－x)2＝x2＋(4 3)2，解得 x＝1，即 OG＝1
2．(2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ16·桂林)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， E，F分别是OA，OC的中点，连结BE，DF. (1)根据题意，补全图形； (2)求证：BE＝DF.
(1)补图略 (2)连结 DE，BF.∵四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，
BD 交于点 O，∴OB＝OD，OA＝OC.又∵E，F 分别是 OA，OC 的中点，
根据勾股定理知 DE＝ （2 3）2＋12＝ 13
5．(2016·宿迁)如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边 AB，BC上，ED∥BC，EF∥AC.求证：BE＝CF.
∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE＝CF， ∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝ ∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴BE＝CF
＝4，∴CD＝AB＝4，∴在 Rt△ DCH 中，CH＝12CD＝2，DH＝2 3.
又∵在▱ CEDF 中，CE＝DF＝12AD＝3，∴EH＝1.∴在 Rt△ DHE 中，
4．如图，在▱ ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE＝12BC， 连结 DE，CF. (1)求证：四边形 CEDF 是平行四边形； (2)若 AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求 DE 的长．
(1)在▱ ABCD 中，AD 綊 BC.∵F 是 AD 的中点，∴DF＝12AD.又∵CE
6．(2016·鄂州)如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点 作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD， AB于M，N. (1)求证：四边形CMAN是平行四边形； (2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．
(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴CM∥AN，∵AM⊥BD，CN⊥BD，
第18章 平行四边形
专题课堂(三) 平行四边形的判定与性质的综合应用
1．(2016·益阳)如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F， 连结AF，CE.求证：AF＝CE.
易证△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE＝CF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF＝CE
(1)(4 3，4) (2)∵∠OAB＝90°，∴AB⊥x 轴，∵y 轴⊥x 轴，∴AB∥y 轴，即 AB∥CE，∵∠AOB＝30°，∴∠OBA＝60°，∵DB＝DO＝4，∠OAB ＝ 90°， ∴DB ＝ AB ＝ 4 ， ∴∠BDA ＝ ∠BAD ＝ (180°－ 60°)÷2 ＝ 60°， ∵△OBC 是 等 边 三 角 形 ， ∴∠OBC ＝ 60°， ∴∠BDA ＝ ∠OBC ， 即 AD∥BC，∴四边形 ABCE 是平行四边形 (3)设 OG 的长为 x，∵OC＝
∴OE＝12OA，OF＝12OC，∴OE＝OF，∴四边形 BEDF 为平行四边形， ∴BE＝DF
3．(2016·凉山州)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且 与BC，AD分别交于点E，F.试猜想线段AE，CF的关系，并说明理由．
AE綊CF.理由：易证△OAF≌△OCE(ASA)，∴AF＝CE，又 ∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE綊CF
∴AM∥CN ， ∴ 四 边 形 CMAN 是 平 行 四 边 形 (2) 易 证
△ MDE≌△NBF(AAS)，∴DE＝BF＝4，在 Rt△ BFN 中，∵∠BFN＝
90°，BF＝4，FN＝3，∴BN＝ BF2＋FN2＝ 32＋42＝5
7．(2017·兰州模拟)如图①，在△ABO中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°， OB＝8.以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点， 连结AD并延长交OC于点E. (1)求点B的坐标； (2)求证：四边形ABCE是平行四边形； (3)如图②，将图①中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为 FG，求OG的长．
OB＝8，∴CG＝8－x，由折叠可得：AG＝CG＝8－x，在 Rt△ AOG 中， AG2＝OG2＋OA2，即(8－x)2＝x2＋(4 3)2，解得 x＝1，即 OG＝1
2．(2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ16·桂林)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， E，F分别是OA，OC的中点，连结BE，DF. (1)根据题意，补全图形； (2)求证：BE＝DF.
(1)补图略 (2)连结 DE，BF.∵四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，
BD 交于点 O，∴OB＝OD，OA＝OC.又∵E，F 分别是 OA，OC 的中点，
根据勾股定理知 DE＝ （2 3）2＋12＝ 13
5．(2016·宿迁)如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边 AB，BC上，ED∥BC，EF∥AC.求证：BE＝CF.
∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE＝CF， ∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝ ∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴BE＝CF