人教版八年级上册数学全册导学教案

11．1.1三角形的边
一、教学目标
1．理解三角形的表示法、分类法以及三边之间的关系，发展学生的空间观念．
2．经历探索三角形中三边关系的过程，认识三角形这个最简单、最基本的几何图形．二、教学重难点
重点：掌握三角形三边的关系．
难点：三角形三边关系的应用．
教学过程
一、情境引入
【引入】在本章引言中，我们提到许多三角形的实际例子．你能找出它们的共同特征吗？怎样表示所找到的三角形呢？
学生活动：小组交流、讨论．
教师总结：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
教材图11.1－1
在教材图11.1－1中，线段AB，BC，CA是三角形的边．点A，B，C是三角形的顶点．∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”．
△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示．如教材图11.1－1，顶点A所对的边BC用a 表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示．
二、互动新授
【问题】现实生活中，同学们看到了哪些不同的三角形？它们是如何分类的呢？
学生活动：学生独自思考后，小组交流、讨论．
教师总结：我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
【思考】如何按照边的关系对三角形进行分类呢？说说你的想法，并与同学交流．学生活动：画出自己所看到的三角形，并测量三边的长度．
教师用多媒体演示三角形的类型．我们知道：三边都相等的三角形叫做等边三角形(教材图11.1－2(1))；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(教材图11.1－2(2))．教材图11.1－2(3)中的三角形是三边都不相等的三角形．
教师总结：以“是否有边相等”，可以将三角形分两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．
我们还知道：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形．
综上，三角形按边的相等关系分类如下：
三角形
教师多媒体演示：
【探究】任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线段的长有什么关系？能证明你的结论吗？
学生活动：小组交流、讨论．
教师总结：对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点(例如B，C)看成定点，由“两点之间，线段最短”可得AB＋AC＞BC①.同理有AC＋BC＞AB②，AB＋BC＞AC③.
一般地，我们有三角形两边的和大于第三边．
由不等式②③移项可得BC＞AB－AC，BC＞AC－AB.这就是说，三角形两边的差小于第三边．
【例】用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
【解】 (1)设底边长为xcm，则腰长为2x cm.
x＋2x＋2x＝18.
解得x＝3.6.
所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm.
(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论．
如果4cm长的边为底边，设腰长为x cm，则4＋2x＝18.
解得x＝7.
如果4cm长的边为腰，设底边长为x cm，则2×4＋x＝18.
解得x＝10.
因为4＋4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰是4cm的等腰三角形．
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形．
三、课堂小结
四、板书设计
五、教学反思
本节课主要学习三角形的概念及三边的大小关系．教学中，教师引导学生在数三角形个数时，要按照一定的次序去数，从而做到不重复，不遗漏．通过探究与应用，使学生明确三角形的三边关系不仅给出了三边之间的大小关系，更重要的它是判断三条线段能否构成三角形的依据．判断三条线段的长度能否构成三角形，不需要都检验，只要检验较小两边的长度和大于最长边的长，那么它们就能组成三角形．本节课教学中发现的问题有：解决有关等腰三角形边的问题时，学生往往忘记分情况予以讨论．教师要反复提醒学生要看某边是腰还是底，并且在求出三边后，还应验证是否满足两腰之和大于底边．
导学方案
一、学法点津
判断三条线段能否组成三角形，关键看三条线段是否满足任意两边之和大于第三边．学生学习时应掌握其简便方法：将较短的两边之和与较长的边进行比较，若较短的两边之和大于较长的边，则三条线段可以组成三角形，反之则不能组成三角形．
二、学点归纳总结
（一）知识要点总结
1．三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
2．三角形的分类：(1)按照三个内角的大小，分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；(2)按照边的关系，分为：三边都不相等的三角形和等腰三角形．
3．三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．
（二）规律方法总结
1．数三角形个数时，要按照一定的次序去数，做到不重复、不遗漏．如可以按三角形的大小顺序去数．
2．判断三条线段能否组成三角形，关键是看三条线段是否满足任意两边之和大于第三边，但需一一验证．其简便方法是将较短的两边之和与较长的边进行比较，若较短的两边之和大于较长的边，则三条线段可以组成三角形，反之则不能组成三角形．
课时作业设计
一、选择题
1．如右图所示，其中三角形的个数是( )．
A．5 B．6 C．7
D．8 2．等腰三角形两边分别是9cm和15cm，则此等腰三角形的周长为( )．
A．24cm B．33cm
C．39cm D．33cm或39cm
3.下列各组给出的三条线段中，不一定能组成三角形的是( )．
A．3，4，5 B．3a，4a，5a
C．3＋a，4＋a，5＋a D．三条线段之比为3∶4∶5
二、填空题
4．现有2cm、4cm、6cm、8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为________个．
5．等腰三角形的两边长分别是4和9，则第三边长为________．
6．一个三角形两边长为2，9，第三边为偶数，则三角形的周长为________．
三、解答题
7．一个等腰三角形的周长是22cm，其中一条边长为4cm，那么另外两边长各为多少？
8．如右图，点P为△ABC内任意一点，BP延长线交AC于D，试说明：AB＋AC＞PB＋PC.
【参考答案】
1．A2．D3．C
4．15．96．19或21
7．解：当4cm为腰时，底边长为22－4－4＝14(cm)，但4＋4＜14，所以不能构成三角形；当4cm为底边长时，腰长为×(22－4)＝9(cm)，所以，另两边长为9cm、9cm.
8．解：在△ABD中，AB＋AD＞BP＋PD①.在△PDC中，PD＋DC＞PC②.由①＋②，得AB＋AD＋PD＋DC＞BP＋PD＋PC.所以AB＋AC＞BP＋PC.
11．1.2 三角形的高、中线与角平分线
11．1.3 三角形的稳定性
一、教学目标
1．了解三角形的高、中线与角平分线、高的概念以及三角形稳定性的知识．
2．经历探索与三角形有关的线段的过程，感受三角形稳定性的内涵，发展学生的空间观念．
二、教学重难点
重点：理解三角形的高、中线与角平分线的概念，学会画“三线”．
难点：画钝角三角形的高．
教学过程
一、情境引入
与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已经学过的三角形的高．如教材图11.1－3，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC 的边BC上的高．
用同样的方法，能画出△ABC的另外两条边上的高吗？
【操作1】你能画出任意一个三角形的高吗？试一试．
学生活动：动手画一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形，再分别画出它们的高．
教师多媒体演示：
锐角三角形直角三角形钝角三角形【引导1】观察锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，它们的三条高能否交于同一点？这个交点的位置有何不同？
从图中可以看出：三角形的三条高线一定会相交于一点，但锐角三角形的三条高线的交点在锐角三角形内部，直角三角形的三条高线的交点在直角顶点处，钝角三角形的三条高线的交点在钝角三角形的外部．
我们再来看两种与三角形有关的线段．
二、互动新授
【操作2】画一个锐角三角形，取它们各边的中点，连接每一个顶点与它对边的中点，观察这三条线段是否交于同一点？
学生活动：动手画图、观察、讨论、寻求结论．
教师总结：如教材图11.1－4(1)：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线．
如教材图11.1－4(2)，三角形的三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
说明：取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心．
如教材图11.1－5，画∠A的平分线AD，交∠A所对边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC 的角平分线．画出△ABC的另两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现？
【操作3】在一张薄纸上任意画一个三角形，通过折纸的方法试一试，你能设法画出一个三角形的内角平分线吗？
学生活动：画任意三角形，对折一个内角，折痕就是所要求作的一个内角的平分线．教师提问：一个三角形角平分线有几条？这几条角平分线是否能交在同
一个点上？请你动手画一画．
学生活动：折叠三个内角，可以很容易发现，三角形的三条角平分线相
交于一点．(如右图所示)
【引导2】工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架(教材图11.1－6(1))，其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条(教材图11.1－6(2))．为什么要这样做呢？
【探究】如教材图11.1－7(1)，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如教材图11.1－7(2)，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如教材图11.1－7(3)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
教师拿出教具，动手操作，学生观察．
教师总结：从以上的探究和操作中可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变．这就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性．还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．这是因为斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的窗框在未安装好之前也不会变形．
因此屋顶钢架通常采用三角形结构，木工师傅为防止窗框变形，常常先在窗框上斜钉一根木条．三角形稳定性和四边形不稳定性都有广泛的应用．请同学们观察教材P7的例子．
三、课堂小结
四、板书设计
11．1与三角形有关的线段
11．1.2三角形的高、中线与角平分线
11．1.3三角形的稳定性
1．三角形的高
2．三角形的中线
3．三角形的角平分线
4．三角形的稳定性
五、教学反思
本节课主要通过实践操作活动来学习三角形的“三线”．在学生画三角形的高线时，要让学生明确：三角形的高有三条，三条高是交于同一点，三角形的高不一定在三角形的内部．钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，而直角三角形三条高的交点在三角形直角的顶点．三角形三条中线的交点和三角形三条角平分线的交点都在三角形的内部，这是学生
易混淆的地方，教师在教学中，应加以说明．另外，学生还可能认为三角形的稳定性都是有益的，而四边形的不稳定性都是不利的，在这一点上，教师都要举例加以说明，让学生正确看待三角形的稳定性和四边形的不稳定性．
导学方案
一、学法点津
学生通过动手画图、折纸、观察等活动，掌握三角形“三线”的概念及画法，明确三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都会分别相交于一点，所不同的是三角形三条高线的交点不一定在三角形的内部，而三角形三条中线的交点和三角形三条角平分线的交点一定在三角形内部．学生还可以通过实际生活的例子，了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性．
二、学点归纳总结
（一）知识要点总结
1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，所得线段叫做三角形的高．
2．三角形的中线：三角形的中线是三角形的顶点与对边中点的连线．
3．三角形的角平分线：平分三角形的一个内角且与它的对边相交的线段就是三角形的一条角平分线．
（二）规律方法总结
1．三角形的三条高交于一点，锐角三角形三条高的交点在三角形的内部，钝角三角形三条高的交点在三角形的外部，直角三角形三条高的交点就是直角的顶点．
2．三角形的三条中线相交于一点，这个交点在三角形的内部．三角形的一条中线可以将一个三角形分成两个等底同高的三角形，故这两个三角形的面积相等．
3．三角形的三条角平分线相交于一点，这个交点在三角形内部．三角形的角平分线与角的平分线不同，三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．
课时作业设计
一、选择题
1．如右图所示，在建筑工地上我们常可看见用木条EF 固定矩形门框ABCD 的情
形．这种做法根据( )．
A ．两点之间线段最短
B ．两点确定一条直线
C ．三角形稳定性
D ．矩形的四个角都是直角
2．下列各图中，正确画出AC 边上高的是( )．
A B C D
3．如图，CD ，CE ，CF 分别是△ABC 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( )．
A ．BA ＝2BF
B ．∠ACE ＝12
∠ACB C ．AE ＝BE D ．CD ⊥BE 二、填空题
4．如图，当________＝________时，AD 是△ABC 的中线，当∠________＝∠________时，AD 是△ABC 的角平分线．
5．如图，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，CD 是中线，CE 平分∠ACB ，则DB ＝________cm ，∠ACE ＝________度．
6．如图，AD 是△ABC 的中线，则△ABD 与△ACD 的面积的大小关系是________．
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
三、解答题
7．如右图，△ABC 中，AB ＝AC ，AC 边上的高BD ＝10，求AB 边上的高CE 的长．
8．如右图，AD 是△ABC 的中线，AE ＝13
AD ，S △ACE ＝4cm 2，求S △ABC .
【参考答案】
1．C 2．C 3．C
4．BD CD BAD CAD 5．2.5 45 6．相等
7．解：S △ABC ＝12AB ·CE ＝12
AC ·BD.因为AB ＝AC ，所以CE ＝BD ＝10. 8．解：因为在△ACE 与△ACD 中，AE 边上的高与AD 边上的高相等，又因为AE ＝13
AD ， S △ACE ＝4cm 2，所以S △ACD ＝3S △ACE ＝12cm 2，又因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ACD ＝12cm 2
，所以S △ABC
＝S △ABD ＋S △ACD ＝12＋12＝24(cm 2)．
11．2.1三角形的内角
一、教学目标
结合具体实例，进一步认识三角形的概念，掌握三个角之间的关系．
二、教学重难点
重点：理解并会应用三角形内角和的定理．
难点：三角形内角和定理的证明．
教学过程
一、情境引入
我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.
你能用剪拼的方法，将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，来验证三角形的内角和等于180°吗？试一试．
学生活动：动手操作后，进行小组交流、测量、讨论．
教师总结：多媒体演示操作过程，展示不同的拼合方法．
方法一：方法二：
图(1) 图(2)
教师指出：通过度量或剪拼的方法，可以验证三角形的内角和等于180°.但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于180°.
二、互动新授
【探究】学生活动：尝试添加辅助线，证明三角形的内角和等于180°.
师生合作探究：在上图(1)中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上．想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？由这个图你能在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
教师总结：由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC(教材图11.2－2)，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论．
已知△ABC(教材图11.2－2)．
求证∠A＋∠B＋∠C＝180°.
【证明】如教材图11.2－2，过点A作直线l，使l∥BC.
∵l∥BC，∴∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等)．
同理∠3＝∠5.
∵∠1，∠4，∠5组成平角，
∴∠1＋∠4＋∠5＝180°(平角定义)．
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°(等量代换)．
教师指出：以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理：
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°.
由上图(2)，你能想出这个定理的其他证法吗？试一试．
学生活动：小组交流、讨论．
教师总结：由右图可知：过点C 作CE∥AB，也可以证明“三角形三个内角和等于180°”． 证明：过点C 作CE ∥AB .
∵CE ∥AB ，∴∠A ＝∠1，∠B ＝∠2.
∵∠ACB ＋∠1＋∠2＝180°(平角定义)，
∴∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°(等量代换)．
【例1】 如教材图11.2－3，在△ABC 中，∠BAC ＝40°，∠B ＝75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．
【解】 由∠BAC＝40°，AD 是△ABC 的角平分线，得
∠BAD ＝12
∠BAC ＝20°， 在△ABD 中，∠ADB ＝180°－∠B －∠BAD ＝180°－75°－20°＝85°.
【例2】 教材图11.2－4是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向．从B 岛看A ，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 呢？
【分析】 A ，B ，C 三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB 是△ABC 的一个内角．如果能求出∠CAB，∠ABC ，就能求出∠ACB.
【解】 ∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°.
由AD ∥BE ，得∠BAD ＋∠ABE ＝180°.
所以∠ABE ＝180°－∠BAD ＝180°－80°＝100°，
∠ABC ＝∠ABE －∠EBC ＝100°－40°＝60°.
在△ABC 中，∠ACB ＝180°－∠ABC －∠CAB ＝180°－60°－30°＝90°.
答：从B 岛看A ，C 两岛的视角∠ABC 是60°，从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 是90°. 你能说出直角三角形中两个锐角的和等于多少度吗？为什么？
学生活动：学生独自猜想、计算后，小组交流、讨论．
教师总结：如教材图11.2－5，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，由三角形内角和定理，得∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，即∠A ＋∠B ＋90°＝180°，所以∠A ＋∠B ＝90°.
也就是说，直角三角形的两个锐角互余．
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC .
【例3】 如教材图11.2－6，∠C ＝∠D＝90°，AD ，BC 相交于点E ，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
【解】 在Rt△ACE 中，∠CAE ＝90°－∠AEC .
在Rt△BDE 中，∠DBE ＝90°－∠BED .
∵∠AEC ＝∠BED ，∴∠CAE ＝∠DBE .
【思考】 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由．
学生活动：小组合作、交流、讨论．
教师总结：由三角形的内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形．
三、课堂小结
四、板书设计
11．2与三角形有关的角
11．2.1三角形的内角
1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
2．直角三角形的两个锐角互余．
3．有两个角互余的三角形是直角三角形．
五、教学反思
本节课教学中，在创设实际情境时，从剪纸拼角中，引导学生观察、交流、讨论，寻求辅助线的不同添法来证明三角形的内角和定理，存在着一定的困难，教师要加以引导，注意定理的证明是运用转化思想，通过作辅助线完成的．三角形内角和等于180°是三角形本身固有的性质，它作为一个隐含条件，在有关角的计算中经常用到．教师要引导学生在利用三角形的内角和定理时，设法弄清已知和未知的关系，做到多讲多练，以提高学生的应用能力．
导学方案
一、学法点津
学生在探索三角形内角和定理时，采用了转化思想，得到三角形的内角和是180°.用三角形的内角和定理可以解决：(1)在三角形中已知任意两个角求第三个角；(2)已知三角形三个内角的关系，可以求出各个内角的度数等．
二、学点归纳总结
（一）知识要点总结
1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
2．直角三角形的两个锐角互余．
3．有两个角互余的三角形是直角三角形．
（二）规律方法总结
1．在探索三角形内角和定理时，采用转化的数学思想．
2．考查对三角形内角和定理的理解和应用，体现了运用方程解决问题的数学思想．3．三角形的内角和定理描绘了三角形三个内角的关系，若知道三个内角的关系，根据三角形内角和定理可求得各个内角．
课时作业设计
一、选择题
1．在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为( )．
A．30° B．40°
C．50° D．60°
2．如右图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为( )．
A．50° B．55°
C．60° D．65°
二、填空题
3．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为________．
第3题图第4题图
三、解答题
5．如右图，A处在B处北偏西45°方向，C处在B处北偏东15°方向，C处在A处南偏东80°方向，求∠C的度数．
6．一块大型模板如右图所示，ABCD设计要求是：BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°角，请你设计一种具有一定操作性的方案，来说明模板ABCD满足什么条件时，符合设计要求，并简要说明理由．
【参考答案】
1．D 2．C 3．360°4．110°
5．解：由题意，得∠ABC＝45°＋15°＝60°，因为AM∥BN，所以∠MAB＝∠ABN＝45°，又因为∠CAM＝80°，所以∠BAC＝∠CAM－∠BAM＝80°－45°＝35°，在△ABC中，因为∠BAC＋∠ABC＋∠C＝180°，所以∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－35°－60°＝85°.
6．解：设BA与CD的延长线相交于点M，根据三角形的内角和定理，只要满足∠B＋∠C ＝150°，就可以判定BA，CD相交成30°的角；同理只要满足∠C＋∠D＝160°，就可以判定DA，CB相交成20°的角．
11．2.2三角形的外角
一、教学目标
1．理解三角形外角的概念，会进行简单的说理．
2．经历探索三角形外角的有关知识的过程，感受三角形一个外角和它不相邻的两个内角间的关系．
二、教学重难点
重点：探究三角形外角与它不相邻的内角的关系．
难点：运用三角形外角的性质进行计算和说理．
教学过程
一、情境引入
前一节课，我们已经学习了三角形的内角，知道三角形三个内角的和等于180°.如教材图11.2－8，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
【思考】如教材图11.2－8，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°.∠ACD是△ABC的一个外角．能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
任意一个三角形的外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
学生活动：小组交流、讨论．
教师总结：因为∠A＝70°，∠B＝60°，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(三角形内角和定理)，所以∠ACB＝180°－70°－60°＝50°，则∠ACD＝180°－∠ACB＝130°(平角定义)，所以，∠ACD＝∠A＋∠B.
一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
二、互动新授
【例4】如教材图11.2－9，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
学生活动：小组交流、讨论．
【解】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋∠2.
所以，∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)．
由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得
∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°.
例4还有其他解法吗？请试一试．
学生独自思考后，小组为单位进行交流、讨论，并派一个代表解答．
教师总结：给出另一种解法：
因为∠1＋∠BAE＝180°，∠2＋∠CBF＝180°，∠3＋∠ACD＝180°，
所以，∠1＋∠BAE＋∠2＋∠CBF＋∠3＋∠ACD＝180°＋180°＋180°.
即(∠1＋∠2＋∠3)＋(∠BAE＋∠CBF＋∠ACD)＝720°.
又因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.
【拓展】如右图，已知在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B＝∠C，试
说明：AD∥BC.
学生活动：小组交流、讨论．
师生合作探究：要得到AD∥BC，只需推出与这两条线段有关的同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补即可．
教师总结：(多媒体给出解答过程)
【解】 ∵∠EAC＝∠B＋∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)，∠B ＝∠C，
∴∠C ＝12
∠EAC. ∵AD 平分∠EAC，∴∠DAC ＝12
∠EAC ，∴∠DAC ＝∠C， ∴AD ∥BC(内错角相等，两直线平行)．
提示：本题还可以通过证明“同位角相等”或“同旁内角互补”来解决．
三角形的一个外角与它不相邻的任何一个内角有什么关系？
学生活动：小组交流、讨论．
教师总结：由“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”可以推出：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
三、课堂小结
四、板书设计
五、教学反思
本节课主要是在学习了三角形内角和定理的基础上，推导出三角形外角与内角的关系．学生在理解三角形外角的概念时，往往误认为顶点在三角形的顶点上，且在三角形外部的角或者由延长线组成的角就是三角形的外角．而没有理解三角形外角的特点：(1)顶点在三角形的一个顶点上；(2)一条边是三角形的一边；(3)另一条边是相邻边的延长线．对三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，有的学生容易错误地理解成三角形的一个外角等于两个内角和，三角形一个外角大于和它相邻的内角等．这些易错点，教师在教学中，应反复强调说明，最好能多举一些例子，加以巩固．另外，教学中教师要多培养学生思维的发散性，做到一题多解，培养学生的创新能力．
导学方案
一、学法点津
学生利用三角形内角和定理可推导出其推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据．
二、学点归纳总结
（一）知识要点总结
1．三角形外角的概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．
2．三角形外角的性质：
(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．。