2023年高考数学全真模拟热身测试卷03卷(新高考专用)原卷及解析
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2023届高考数学·备战热身卷3
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,有一项符合题目要求。
)
1.(2022·河北·模拟预测)已知集合A =
{}{}|4|342y y B x x x A B ≥-=≤-⋂=,,则( )
A .4|45x x ⎧
⎫-≤≤
⎨⎬⎩
⎭
B .4|45x x ⎧
⎫-<<
⎨⎬⎩⎭
C .{|4x x ≤-或4
5x ⎫
≥⎬⎭
D .R
2.(2022·河北·模拟预测)已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ),若20212i i a
b +=+,
则z =( )
A .12i -+
B .12i +
C .12i --
D .12i -
3.(2022·河北·模拟预测)一质点在单位圆上作匀速圆周运动,其位移满足的方程为sin2h t =,其中h 表示位移(单位:m ),t 表示时间(单位:s ),则质点在1t =时的瞬时速度为( )
A .sin2 m/s
B .cos2 m/s
C .2sin2 m/s
D .2cos2 m/s
4.(2022·全国·高三专题练习)在等差数列{}n a 中,m a n =,n a m =,则m n
a
+=
( )
A .0
B .m
C .n
D .m n +
5.(2022·河北·模拟预测)函数cos 1
()(3lg5lg 64)2x f x x =⋅+([],x ππ∈-)的图象大致是
A .
B .
C .
D .
6.(2022·河北·模拟预测)已知向量a 与b 的夹角为120°,且2a b ⋅=-,向量c 满足()()101c a b λλλ=+-<<,且a c b c ⋅=⋅,记向量c 在向量a 与b 方向上的投影分别为x 、y .22x y xy ++的最大值为( )
A .1
4
B .2
C .3
4
D .5
4
7.(重庆市西南大学附属中学校2021-2022学年高二下学期第三次月考数学试题)已知数列{}n a 满足11
2a =-,21220n n n a a a ++-=,则下列结论错误的是( )
A .{}n a 是单调递增数列
B .存在*n N ∈,使得0n a >
C .12
11111
2222n n a a a a +++⋅⋅⋅+=--+++
D .339
128
a =-
8.(2022·河北·模拟预测)已知0
x 是方程()e 2x
f x x =+-的零点(其
中e 2.71828=为自然对数的底数),下列说法错误的是( )
A .()00,1x ∈
B .()00ln 2x x -=
C .0
20e x
x -> D .0
0e 0x
x --<
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分。
)
9.(2022·河北·模拟预测)下列函数中,以π为最小正周期,且
在π
,π2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减的为( )
A .cos 2y x =
B .sin y x =
C .cos y x =
D .tan y x =
10.(江西省新余市2021-2022学年高一上学期期末数学试题)下列命题是真命题的为( )
A .∀()()0,11,a ∞∈⋃+,函数()1log 2x a f x a x -=++恒过定点(1,2)
B .若0c a b >>>,则a b
c a c b >--
C .已知一个样本为:1,3,4,a ,7,且它的平均数是4,则这个样本的方差是4
D .数据170,168,172,172,176,178,175的60%分位数是175
11.(2022·河北·模拟预测)下列结论正确的有( ) A .若log 31a <,则3a > B .若1
sin 3a =,
21log sin
3
b =-,1sin
32c -=,则b c a >> C .若0xy ≠,2189x y xy ==,则1x y -= D .若ln 2
2
a =
,1e b =,ln 33c =,则a c b <<
12.(广东省汕头市2022届高三上学期期末数学试题)在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,M 为底面ABCD 的中心,
1
11,(0,1)DQ D A λλ=∈,N 为线段AQ 的中点,则( ) A .CN 与QM 共面
B .三棱锥A DMN -的体积跟λ的取值无关
C .1
3λ=时,过A ,Q ,M 三点的平面截正方体所得截面的周长为
42213
3+ D .1
4AM QM
λ=⊥时,
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。
)
13.(2022·河北·模拟预测)已知向量()1,a m =,()3,2b =-,且()2a b b +⊥,
则m = __________.
14.(2022·河北·模拟预测)如果函数()y f x =同时满足下列两个条件:①函数图象关于直线2x =对称;②函数图象关于点()4,0对称,那么我们称它为“点轴对称型函数”.请写出一个这样的“点轴对称函数”
()f x =___________.
15.(2022·河北·模拟预测)已知过椭圆()22:151x y E m m m +=>-上的动
点P 作圆C (C 为圆心):2220x x y -+=的两条切线,切点分别为,A B ,若
ACB ∠的最小值为
23
π
,则椭圆E 的离心率为______.
16.(2022·浙江浙江·高三阶段练习)如图,点P 是半径为2的圆O 上一点,现将如图放置的边长为2的正方形ABCD (顶点A 与P 重合)沿圆周逆时针滚动.若从点A 离开圆周的这一刻开始,正方形滚动至使点A 再次回到圆周上为止,称为正方形滚动了一轮,则当点A 第一次回到点P 的位置时,正方形滚动了________轮,此时点A 走过的路径的长度为___________.
四、解答题(本题共6小题,共70分。
第17题10分,其余每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)
17.(2022·云南·昆明一中高一期末)如图,已知直线12l l //,A 是12
,l l 之间的一定点,并且点A 到12,l l ,的距离分别为
2和
2.B ,C 分别是直
线12,l l 上的动点,且3BAC π
∠=,设ABD x ∠=,()f x AB AC =⋅.
(1)写出关于x 的函数解析式()f x ; (2)求函数()f x 的最小值及相对应的x 的值.
18.(山东省烟台市2022届高三一模数学试题)己知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,4
9a
=,315S =.
(1)求{}n a 的通项公式;
(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变,在k a 与()11,2,k a k +=⋅⋅⋅之间插入2k 个1,使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ,记{}n b 的前n 项和为n
T ,求100T 的值.
19.(2022·北京一七一中高三阶段练习)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面
ABCD ,PD DC =,E
是PC 的中点,作EF PB ⊥交PB 于点F .
(1).证明:PA ∥平面EDB ; (2)证明:PB ⊥平面EFD ; (3)求二面角B DF C --的余弦值.
20.(2022·广东江门·模拟预测)浙江省东魁杨梅是现在世界上最大果形的杨梅,有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉.东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东岙村一棵树龄约120多年的野杨梅树,经过东岙村和白龙岙村村民不断改良,形成了今天东魁杨梅的品种.栽培东魁杨梅一举多得,对开发山区资源,绿化荒山,保持水土,增加山区经济收入具有积极意义.根据多年的经验,可以认为东魁杨梅果实的果径()2
X Nμσ(单位:mm),但因气候、施肥和技术的不同,每年的μ和~,
σ都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况,从摘下的杨梅果实中随机取出1000颗,并测量这1000颗果实的果径,得到如下频率分布直方图.
(1)用频率分布直方图估计样本的平均数x近似代替μ,标准差s 近似代替σ,已知0.3
s=.根据以往经验,把果径与μ的差的绝对值在2σ内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20颗果,请问这20颗果恰好有一颗不是“标准果”的概率;(结果精确到0.01)
(2)随着直播带货的发展,该农场也及时跟进.网络销售在大大提
升销量的同时,也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款“920A ”的主打产品,该产品按盒销售,每盒20颗,售价80元,客户在收到货时如果有坏果,每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据,知若采用A 款包装盒,成本(15)a a ≤≤元,且每盒出现坏果个数ξ满足
1,1,2,3,421(),016
0,5,6,,20t
i P i i i ξ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪===⎨⎪=⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎩,若采用B 款包装盒,成本87a
元,且每盒出现坏
果个数η满足1,1,2,3()20,0,4,5,6,,20t
m i P i i η⎧⎛⎫=⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎪=⋅⋅⋅⎩
,(m 为常数),请运用概率统计的相关知识分析,选择哪款包装盒可以获得更大利润?
参考数据:36.20.236.40.2536.60.736.80.837 1.137.20.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+
37.40.6537.60.437.80.05380.05185⨯+⨯+⨯+⨯=;()0.6826P X μσμσ-≤≤+=;
(22)0.9544P X μσμσ-≤≤+=;(33)0.9974P X μσμσ-≤≤+=;190.95440.412≈;
200.95440.393≈.
21.(2022·河北唐山·一模)已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
,离心率为1
2.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)如图,椭圆C 的左、右顶点为1A ,2
A ,不与坐标轴垂直且不过
原点的直线l 与C 交于M ,N 两点(异于1A ,2
A ),点M 关于原点O
的对称点为点P ,直线1A P 与直线2A N 交于点Q ,直线OQ 与直线l 交于点R .证明:点R 在定直线上.
22.(2022·全国·模拟预测)已知函数()()1
ln
2
2e ln x
f x x
a x a R =--∈,且
f x
是函数()f x 的导函数, (1)求函数()f x 的极值; (2)当1a <时,若方程0f x
有两个不等实根()1212,,x x x x >.
(ⅰ)证明:
12ln ln x x -<
(ⅰ)证明:()120f x x '<.
2023届高考数学·备战热身卷3
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,有一项符合题目要求。
)
1.(2022·河北·模拟预测)已知集合A ={}{}|4|342y y B x x x A B ≥-=≤-⋂=,,则( ) A .4|45x x ⎧
⎫-≤≤
⎨⎬⎩
⎭ B .4|45x x ⎧
⎫
-<<⎨⎬⎩
⎭
C .{|4x x ≤-或45x ⎫
≥⎬⎭
D .R 【答案】A
【分析】先求出集合B ,再根据集合的交集运算,即可求出结果. 【详解】因为集合{}{}4|4|342|5A y y B x x x x x ⎧
⎫=≥-=≤-=≤⎨⎬⎩
⎭,, 所以
4|45A B x x ⎧
⎫⋂=-≤≤⎨⎬⎩
⎭.
2.(2022·河北·模拟预测)已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ),若2021
2i i
a b +=+,则z =( )
A .12i -+
B .12i +
C .12i --
D .12i -
【答案】A
【分析】利用复数相等的条件求出a 、b ,即可得到答案. 【详解】因为
2021
2i i
a b +=+,所以i 2i a b -+=+.所以1,2a b =-=.所以z =12i -+.
3.(2022·河北·模拟预测)一质点在单位圆上作匀速圆周运动,其位移满足的方程为sin2h t =,其中h 表示位移(单位:m ),t 表示时间(单位:s ),则质点在1t =时的瞬时速度为( ) A .sin2 m/s B .cos2 m/s
C .2sin2 m/s
D .2cos2 m/s
【答案】D
【分析】求出h '可求质点在1t =时的瞬时速度,从而可得正确的选项.
【详解】因为sin22sin cos h t t t ==⋅,所以()2cos cos 2sin sin 2cos2h t t t t t '=⋅+-=, 所以质点在1t =时的瞬时速度为2cos2 m/s .
4.(2022·全国·高三专题练习)在等差数列{}n a 中,m a n =,n a m =,则m n a +=( ) A .0 B .m
C .n
D .m n +
【答案】A
【分析】选择题可以用特殊值法,简便又快捷.
【详解】构造等差数列{}n a 使得12a =,21a =,这里1m =,2n =,于是30m n a a +==,排
除B 、C 、D.
5.(2022·河北·模拟预测)函数cos 1()(3lg5lg 64)2
x
f x x =⋅+([],x ππ∈-)的图象大致是
A .
B .
C .
D .
【答案】B
【详解】 由题意可知()cos()
1()(3lg5lg 64)
2
x f x x f x --=-⋅+=-, 所以函数()f x 是奇函数,依据图象排除A 和C 选项,
由于()1(),3223f f πππππ-==⋅=,即()()2
f f π
π>,排除D 选项,故选B.
6.(2022·河北·模拟预测)已知向量a 与b 的夹角为120°,且2a b ⋅=-,向量c 满足
()()101c a b λλλ=+-<<,且a c b c ⋅=⋅,记向量c 在向量a 与b 方向上的投影分别为x 、
y .22x y xy ++的最大值为( )
A .1
4
B .2
C .34
D .54
【答案】C
【分析】由数量积的定义得4a b =,由向量共线定理得C 在线段AB 上,由a c b c ⋅=⋅,得
AB OC ⊥,利用投影公式计算出2
2234
x y xy c ++=
,计算OBA
S 是常数,因此只要AB 最小
即可得c 最大,利用余弦定理和基本不等式可得结论. 【详解】由cos1202a b a b ⋅=︒=-得4a b =,
设OA a =,OB b =,OC c =,因为()()101c a b λλλ=+-<<,由向量共线定理知C 在线段AB 上,如图,
设,a c α<>=,则,120b c α<>=︒-,
因为a c b c ⋅=⋅,所以cos cos(120)a c b c αα=︒-,即cos cos(120)a b αα=︒-, 故a 在c 方向上的投影与b 在c 方向上的投影相等,因此OC AB ⊥, 又cos x c α=,cos(120)y c α=︒-,所以
2
2
2
22
2
2
cos cos (120)cos cos(120)x y xy c c c αααα++=+︒-+
︒
-, 又22cos cos (120)cos cos(120)
αααα+︒-+︒-221
1cos (cos )cos
(cos )22αααααα=+-+-+
2222131cos cos cos sin cos cos 442αααααααα=++-
34=,
所以222
34
x y xy c ++=,
1sin12042AOB
S
a b =
︒==c 最大,只要AB 最小, 由余弦定理2
2
2
2
2
2cos120212AB a b a b a b a b a b a b =+-︒=++≥+
=,当且仅当
a b =时等号成立,
所以AB 的最小值为c 的最大值为
21OBA
S AB
=, 故222
34x y xy c ++=
的最大值为34
.
7.(重庆市西南大学附属中学校2021-2022学年高二下学期第三次月考数学试题)已知数列
{}n a 满足112
a =-
,2
1220n n n a a a ++-=,则下列结论错误的是( ) A .{}n a 是单调递增数列 B .存在*n N ∈,使得0n a > C .
12111112222n n a a a a +++⋅⋅⋅+=--+++ D .339128
a =- 【答案】B
【分析】根据()()2
111
121222
n n n n a a a a +=+=+-可推导得到当()2,0n a ∈-时,10n a +<,结合1
a
可求得1,02n a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
,由此可得21102n n n a a a +-=>,知AB 正误;由()1212112n n n n n a a a a a ++==-+,采用裂项相消法可知C 正确;根据递推关系式计算出3a 即可知D 正确.
【详解】对于A ,由2
1220n n n a a a ++-=得:()()2211111212222
n n n n n n a a a a a a +=+=+=+-,
()2,0n a ∴∈-时,10n a +<;
()112,02a =-∈-,()21,02,02a ≠⎛⎫∴∈-⊂- ⎪⎝⎭,()31,02,02a ≠
⎛⎫
∴∈-⊂- ⎪⎝⎭,依次类推可得:
1,02n a ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
,
2
1102
n n n a a a +∴-=>,{}n a ∴是单调递增数列,A 正确;
对于B ,由A 中推导可知:1,02n a ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭,∴不存在*n N ∈,使得0n a >,B 错误;
对于C ,由22
12122n n n n n a a a a a ++=+=得:()2121221122n n n n n n n a a a a a a a ++===-++, 2
1
111
n n n a a a ++∴=
-, 1212231111
111111111111
2222n n n n n a a a a a a a a a a a a +++∴
++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=--+++,C 正确; 对于D ,由2112n n n a a a +=+,112a =-得:2113828a =-=-,2
313339288128
a ⎛⎫∴=⨯--=- ⎪⎝⎭,D
正确.
8.(2022·河北·模拟预测)已知0x 是方程()e 2x
f x x =+-的零点(其中e 2.71828
=为自然
对数的底数),下列说法错误的是( ) A .()00,1x ∈ B .()00ln 2x x -=
C .0
20
e x x -> D .0
0e
0x x --<
【答案】C
【分析】根据给定条件确定0x 所在区间,再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】函数()e 2x f x x =+-在R 上单调递增,而()0
0e 210f =-=-
<,
1
2113
()e 20222
f =+-=>, 而0x 是方程()e 2x
f x x =+-的零点,则01(0,)2
x ∈,即()00,1x ∈,A 正确;
由()00f x =得:002e x
x -=,整理得:00)n(2l x x -=,B 正确;
因0102
x <<
,021x ->,则0201x
x -<,C 不正确; 因0102
x <<,则有0
00001e 12e 0e e x x x x x x ---=<<,D 正确.
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求。
全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分。
)
9.(2022·河北·模拟预测)下列函数中,以π为最小正周期,且在π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减的为
( ) A .cos 2y x = B .sin y x =
C .cos y x =
D .tan y x =
【答案】BD
【分析】根据图象的周期变换和翻折变换作出函数图象,然后可得. 【详解】作出函数cos 2y x =的图象,如图1,显然A 错误; 作函数sin y x =图象,如图2,故B 正确;
作函数cos y x =图象,如图3,故C 错误;
作函数tan y x =图象,如图4,故D 正确.
10.(江西省新余市2021-2022学年高一上学期期末数学试题)下列命题是真命题的为( )
A .∀()()0,11,a ∞∈⋃+,函数()1
log 2x a f x a x -=++恒过定点(1,2)
B .若0c a b >>>,则
a b
c a c b
>-- C .已知一个样本为:1,3,4,a ,7,且它的平均数是4,则这个样本的方差是4
D .数据170,168,172,172,176,178,175的60%分位数是175 【答案】BCD
【分析】求出函数()f x 的图象所过定点即可判断A;利用作差法比较,可判断B;根据平均数求出a ,即可求得方差,可判断C;将数据170,168,172,172,176,178,175从小到大排列,求得其60%分位数,即可判断D.
【详解】因为01,log 10a a == ,故0
(1)log 123a f a =++= ,
故(0,1)(1,)∀∈+∞,函数()1
log 2x a f x a x -=++恒过定点(1,3),故A 错误;
()()()a b a b c c a c b c a c b --=----,由于0c a b >>>,故()0()()a b a b c
c a c b c a c b --=>----, 即
a b
c a c b
>--,故B 正确; 样本为:1,3,4,a ,7,且它的平均数是4,即134720a ++++= ,5a = , 其方差为22222
1[(14)(34)(44)(54)(74)]45
-+-+-+-+-= ,故C 正确;
数据170,168,172,172,176,178,175从小到大排列为:168,170,172,172,175,176,178, 而760%=4.2⨯ ,故这组数据的60%分位数时175,故D 正确, 11.(2022·河北·模拟预测)下列结论正确的有( ) A .若log 31a <,则3a >
B .若1sin 3
a =,21
log sin 3b =-,1sin 32c -=,则b c a >>
C .若0xy ≠,2189x y xy ==,则1x y -=
D .若ln 2
2a =
,1e b =,ln 33
c =,则a c b << 【答案】BCD
【分析】对于A ,分1a >和01a <<两种情况分析判断即可,对于B ,利用指数函数、对数函数和三角函数的单调性判断,对于C ,令21890x y xy t ===>,则
2189log ,log ,log x t y t xy t ===,则2189log log log t t t ⋅=,化简,再求x y -可得答案,对于D ,
构造函数ln ()(0)x
f x x x
=
>,由导数判断函数的单调性,然后利用单调性比较大小 【详解】对于A ,当1a >时,由log 31a <,得log 3log a a a <,则3a >,当01a <<时,由log 31a <,得log 3log a a a <,则3a <,因为01a <<,所以01a <<,综上,3a >或01a <<,所以A 错
误,
对于B ,因为1036π<
<,所以110sin sin 362π<<=,所以2211
log sin log 132
<=-,所以
21log sin 13->,因为11sin 023-<-<,所以11sin 03
22221--<<=1
sin 321-<<,所以
1
sin 32111
sin 21log sin 323
-<<<<<-,所以b c a >>,所以B 正确, 对于C ,令21890x y xy t ===>,则2189log ,log ,log x t y t xy t ===,所以2189log log log t t t ⋅=,所以
lg lg lg lg 2lg18lg 9
t t t ⋅=,所以lg 2lg18
lg lg9t =,
所以218lg lg lg (lg18lg 2)log log lg 2lg18lg 2lg18
t t t x y t t --=-=
-=lg 2lg18lg18lg 2lg18lg 2lg9
1lg9lg 2lg18lg9lg9
--=
⋅===,所以C 正确, 对于D ,令ln ()(0)x f x x x =
>,则2
1ln ()(0)x
f x x x -'=>, 当0e x <<时,()0f x '>,当e x >时,()0f x '<,所以()f x 在(0,e)上递增,在(e,)+∞上递减,因为e 34<<,所以(e)(3)(4)f f f >>,所以ln e ln 3ln 4
e 34
>>, 因为
ln 42ln 2ln 2442==,所以1ln 3ln 2
e 32
>>,所以a c b <<,所以D 正确. 12.(广东省汕头市2022届高三上学期期末数学试题)在棱长为1的正方体1111
ABCD A B C D -中,M 为底面ABCD 的中心,1
11,(0,1)DQ D A λλ=∈,N 为线段AQ 的中点,则( )
A .CN 与QM 共面
B .三棱锥A DMN -的体积跟λ的取值无关
C .13λ=时,过A ,Q ,M
D .1
4
AM QM λ=⊥时,
【答案】ABC
【分析】由,M N 为,AC AQ 的中点,得到//MN CQ ,可判定A 正确;由N 到平面ABCD 的
距离为定值1
2,且ADM ∆的面积为定值14
,根据A DMN N ADM V V --=,可得判定B 正确,由13λ=
时,得到,,A Q M 三点的正方体的截面ACEQ 是等腰梯形,可判定C 正确;当1
4
λ=时,根据222AM AQ QM +>,可判定D 不正确.
【详解】在ACQ 中,因为,M N 为,AC AQ 的中点,所以//MN CQ , 所以CN 与QM 共面,所以A 正确;
由A DMN N ADM V V --=,因为N 到平面ABCD 的距离为定值1
2,且ADM ∆的面积为定值14
,
所以三棱锥A DMN -的体积跟λ的取值无关,所以B 正确; 当1
3
λ=时,过,,A Q M 三点的正方体的截面ACEQ 是等腰梯形,
所以平面截正方体所得截面的周长为2442213221393
l +=++⨯+=, 所以C 正确; 当14λ=
时,可得222
2219251121,1,()()216162416
AM AQ QM ==+==+=, 则222AM AQ QM +>,所以AM QM ⊥不成,所以D 不正确.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。
)
13.(2022·河北·模拟预测)已知向量()1,a m =,()3,2b =-,且()
2a b b +⊥,则m = __________. 【答案】
19
4
;4.75 【详解】因为()1,a m =,()3,2b =-,所以()()()221,3,25,22a b m m +=+-=-,因为()2a b b +⊥,所以()()()2532220a b b m +⋅=⨯+-⨯-=,解得194
m =. 14.(2022·河北·模拟预测)如果函数()y f x =同时满足下列两个条件:①函数图象关于直线2x =对称;②函数图象关于点()4,0对称,那么我们称它为“点轴对称型函数”.请写出一个这样的“点轴对称函数”()f x =___________. 【答案】sin
(0)4A x A π
≠或cos()(0)42
A x A ππ
+≠
【详解】根据题意,设()()()sin 0f x A x A ωϕ=+≠,
由于()f x 的图象关于直线2x =对称,且关于点()4,0对称,则()()sin 21
sin 40ωϕωϕ⎧+=±⎪⎨+=⎪⎩
,即
2,24,k k Z
k k Z
πωϕπωϕπ⎧
+=+∈⎪⎨
⎪+=∈⎩, 当1k =时,解得:,04πωϕ==,所以()sin (0)4f x A x A π=≠或()cos()(0)42
f x A x A ππ
=+≠.
15.(2022·河北·模拟预测)已知过椭圆()22
:151
x y E m m m +
=>-上的动点P 作圆C (C 为圆心):2220x x y -+=的两条切线,切点分别为,A B ,若ACB ∠的最小值为23
π
,则椭圆E 的离心率为______. 【答案】13
【详解】由椭圆E 方程知其右焦点为()1,0;由圆C 的方程知:圆心为()1,0C ,半径为1; 当ACB ∠最小时,则ACP ∠最小,即3
ACP π
∠=
,此时PC 最小;
此时11
cos 2
AC ACP PC PC ∠=
==,min 2PC ∴=; P 为椭圆右顶点时,min 12PC m =-=,解得:9m =,
∴椭圆E 的离心率11
3
e m =
=. 16.(2022·浙江浙江·高三阶段练习)如图,点P 是半径为2的圆O 上一点,现将如图放置的边长为2的正方形ABCD (顶点A 与P 重合)沿圆周逆时针滚动.若从点A 离开圆周的这一刻开始,正方形滚动至使点A 再次回到圆周上为止,称为正方形滚动了一轮,则当点A 第一次回到点P 的位置时,正方形滚动了________轮,此时点A 走过的路径的长度为___________. 【答案】 3;(22)π+
【详解】正方形滚动一轮,圆周上依次出现的正方形顶点为B C D A →→→, 顶点两次回到点P 时,正方形顶点将圆周正好分成六等分,
由4和6的最小公倍数:342612⨯=⨯=,所以到点A 首次与P 重合时,正方形滚动了3轮. 这一轮中,点A 路径A A A A ''→'→→是圆心角为6
π
,半径分别为2,22,2的三段弧,
故路径长(22)
6
l
π
=⋅+=
ⅰ点A与P
重合时总路径长为2)π.
四、解答题(本题共6小题,共70分。
第17题10分,其余每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)
17.(2022·云南·昆明一中高一期末)如图,已知直线12
l l//,A是
12
,l l之间的一定点,并且点
A到12,l l,
2.B,C分别是直线
12
,l l上的动点,且
3
BAC
π
∠=,设ABD x
∠=,()
f x AB AC
=⋅.
(1)写出关于x的函数解析式()
f x;
(2)求函数()
f x的最小值及相对应的x的值.
【答案】
(1)
()
sin cos()
6
f x
x x
=
+
π
(0,)
3
x∈;(2)
6
x
π
=
时,
min
()
f x=
【解析】(1)依题意,2
DE l
⊥,而
12
l l//,ABD x
∠=,
3
BAC
π
∠=,则
πππ
π()
326
CAE x x
∠=---=+,
由
3
BAC
π
∠=知,点B,C在直线DE同侧,,
ABD CAE
∠∠均为锐角,则有0
3
x
π
<<,
在Rt△ABD中,
2
sin
AB
x
=,在Rt ACE
中,
cos()
6
AC
x
=
+
2
()
sin cos()
6
f x AB AC
x x
=⋅=
+
,
所以
()
sin cos()
6
f x AB AC
x x
=⋅=
+
,
π
(0,)
3
x∈.
(2)由(1)
得:
()
2sin(2)1
6
f x
x
==
+-
因
π
(0,)
3
x∈,即5
2(,)
666
x
πππ
+∈,当2
62
x
ππ
+=,即
6
x
π
=时,sin(2)
6
x
π
+取最大值1
,所以min
()
f x=
18.(山东省烟台市2022届高三一模数学试题)己知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,
49a =,315S =.
(1)求{}n a 的通项公式;
(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变,在k a 与()11,2,k a k +=⋅⋅⋅之间插入2k 个1,使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ,记{}n b 的前n 项和为n T ,求100T 的值. 【答案】(1)21n a n =+;(2)142.
【解析】(1)设{}n a 的公差为d ,由已知139a d +=,13315a d +=. 解得13a =,d =2.所以21n a n =+; (2)因为k a 与()11,2,k a k +=⋅⋅⋅之间插入2k 个1, 所以k a 在{}n b 中对应的项数为1
2
3
1
222222
2212
k
k k n k k k --=++++⋅⋅⋅+=+=+--,
当k =6时,2268k k +-=,当k =7时,22133k k +-=, 所以668a b =,7133a b =,且69701001b b b ==⋅⋅⋅==. 因此(
)
235
100
621212121321T S =+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯()6
62231332142212
-=⨯+++=-.
19.(2022·北京一七一中高三阶段练习)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,E 是PC 的中点,作EF PB ⊥交PB 于点F . (1).证明:PA ∥平面EDB ; (2)证明:PB ⊥平面EFD ; (3)求二面角B DF C --的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)10cos
5
【解析】(1)如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设DC a =. (1)证明:连接AC ,AC 交BD 于G ,连接EG . 依题意得()()0000022,
,,,,,,,a a A a P a E ⎛⎫
⎪⎝⎭
. ∵底面ABCD 是正方形,
∴G 是此正方形的中心,故点G 的坐标为022a a ,,
⎛⎫
⎪⎝⎭且()002
2a a PA a a EG ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,,,,,. ⅰ2PA EG =,故PA ⅰEG .
而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ,ⅰ PA ∥平面EDB . (2)依题意得B (a ,a ,0),()PB a a a =-,,. 又022a a DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,,故22
0022
a a PB DE ⋅=+-=.
ⅰ PB ⅰDE .
由已知EF ⅰPB ,且EF ∩DE =E ,所以PB ⊥平面EFD . (3)设点F 的坐标为(x 0,y 0,z 0),PF PB λ=, 则(x 0,y 0,z 0﹣a )=λ(a ,a ,﹣a ). 从而x 0=λa ,y 0=λa ,z 0=(1﹣λ)a .所以
000112222a a FE x y z a a a λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=---=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,,,.
由条件EF ⅰPB 知,0FE PB ⋅=,
即2
2211022a a a λλλ⎛⎫⎛⎫-+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,解得13λ=
∴点F 的坐标为2333a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,,且2333,,a a a DF ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
易知,AG BD AG PD ⊥⊥,又BD PD D =,
所以AG ⊥平面PDB , 故11
(,,0)22
AG a →
=-是平面BDF 的法向量,
设平面CDF 的法向量n (x,y,z)→
=,又()0,,0DC a =,
所以 0
20333n DC ay a a a n DF x y z ⎧⋅==⎪
⎨⋅=++=⎪
⎩
,令1z =,则0,2,1y x z ==-=,所以(2,0,1)n →=-,
所以110cos ,52
||||
52
n AG
n AG n AG →
→
→
→
→
→
⋅<>=
=
=
⨯
故二面角B DF C --的大小为10cos
5
. 20.(2022·广东江门·模拟预测)浙江省东魁杨梅是现在世界上最大果形的杨梅,有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉.东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东岙村一棵树龄约120多年的野杨梅树,经过东岙村和白龙岙村村民不断改良,形成了今天东魁杨梅的品种.栽培东魁杨梅
一举多得,对开发山区资源,绿化荒山,保持水土,增加山区经济收入具有积极意义.根据
多年的经验,可以认为东魁杨梅果实的果径()
2
~,X N μσ(单位:mm ),但因气候、施肥
和技术的不同,每年的μ和σ都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况,从摘下的杨梅果实中随机取出1000颗,并测量这1000颗果实的果径,得到如下频率分布直方图.
(1)用频率分布直方图估计样本的平均数x 近似代替μ,标准差s 近似代替σ,已知0.3s =.根据以往经验,把果径与μ的差的绝对值在2σ内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20颗果,请问这20颗果恰好有一颗不是“标准果”的概率;(结果精确到0.01)
(2)随着直播带货的发展,该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时,也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款“920A ”的主打产品,该产品按盒销售,每盒20颗,售价80元,客户在收到货时如果有坏果,每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据,知若
采用A 款包装盒,成本(15)a a ≤≤元,且每盒出现坏果个数ξ满足1,1,2,3,421
(),0160,5,6,,20t
i P i i i ξ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪===⎨⎪
=⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎩,
若采用B 款包装盒,成本87a
元,且每盒出现坏果个数η满足1,1,2,3()20,0,4,5,6,,20
t
m i P i i η⎧⎛⎫=⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎪=⋅⋅⋅⎩,
(m 为常数),请运用概率统计的相关知识分析,选择哪款包装盒可以获得更大利润 参考数据:36.20.236.40.2536.60.736.80.837 1.137.20.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+
37.40.6537.60.437.80.05380.05185⨯+⨯+⨯+⨯=;()0.6826P X μσμσ-≤≤+=;
(22)0.9544P X μσμσ-≤≤+=;(33)0.9974P X μσμσ-≤≤+=;190.95440.412≈;
200.95440.393≈.
【答案】
(1)0.38;(2)当32a =时,采用两种包装利润一样,当31,2a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时,采用B 款包装盒,当3,52a ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时,采用A 款包装盒.
【解析】(1)由题意得:1850.237x =⨯=,
所以37μ=,0.3s σ==,则2370.636.4μσ-=-=,2370.637.6μσ+=+=,所以(36.4)0.9544P X ≤≤37.6=,设从农场中摘取20颗果,这20
颗果恰好有一颗不是“标准果”为事件A ,则
()()1
192010.95440.9544200.04560.4120.38P A C =⨯-⨯=⨯⨯≈
(2)由1111248m m m ++=,解得:87m =,所以81(),1,2,372t
P i i η⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
,采用A 款包装盒获
得利润的数学期望
()234
11111147804804123422222E E a a a ξ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-⨯⨯+⨯+⨯+⨯-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
,
采用B 款包装盒获得利润的数学期望
()284
21851688048041237777777E E a a a η⎡⎤=--=-⨯⨯+⨯+⨯-=-⎢⎥⎣⎦
,
令
1475168277a a -=-,解得:a =3
2
, 由于15a ≤≤,令1475168277a a ->-,解得:3,52a ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
, 令
1475168277a a -<-,解得:31,2a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
, 故当32a =
时,采用两种包装利润一样,当31,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,采用B 款包装盒,当3,52a ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时,采用A 款包装盒.
21.(2022·河北唐山·一模)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,离心率为1
2.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)如图,椭圆C 的左、右顶点为1A ,2A ,不与坐标轴垂直且不过原点的直线l 与C 交于M ,
N 两点(异于1A ,2A ),点M 关于原点O 的对称点为点P ,直线1A P 与直线2A N 交于点Q ,直线OQ 与直线l 交于点R .证明:点R 在定直线上.
【答案】(1)22143
x y +=;(2)证明见解析.
【解析】(1)由题意知,222
2
1
914114a b b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得2243a b ⎧=⎨=⎩,故椭圆C 的方程为22
143x y +=. (2)设()11,M x y ,()22,N x y ,则()11,P x y --. 直线l 的方程为x my n =+,其中0m n ⋅≠且2n ≠±,
将x my n =+代入椭圆22
:14
3
x y C +=,整理得()
222
3463120m y mny n +++-=,
由0∆>与韦达定理得:2
2
340m n -+>,122634mn y y m -+=+,2122
312
34
n y y m -=+. 由(1)知:1(2,0)A -,2(2,0)A ,
设()00,Q x y ,由1A 、P 、Q 三点共线得:010122y y x x -=+-+,由2A 、N 、Q 三点共线得:02
0222y y x x =--, 则
000120001222222x x x x x y y y y y +---=+=+121222my n my n y y +-+-=+1212
2(2)y y m n y y +=+-⋅2
62(2)312mn m n n -=+-⋅
-42
m
n =+, 于是直线OQ 的斜率为0022y n k x m +==,直线OQ 的方程为22n y x m +=, 联立22n y x m x my n
+⎧
=
⎪⎨⎪=+⎩,解得:2x =-,即点R 在定直线2x =-上. 22.(2022·全国·模拟预测)已知函数()()1
ln
22e ln x f x x a x a R =--∈,且f
x 是函数()f x 的
导函数,
(1)求函数()f x 的极值; (2)当1a <时,若方程0f x 有两个不等实根()1212,,x x x x >.
(ⅰ
)证明:12ln ln x x -<
(ⅰ)证明:()120f x x '<.
【答案】(1)极小值为1a -,没有极大值.(2)(ⅰ)证明见解析,(ⅰ)证明见解析
【解析】(1)由题意可知函数()f x 的定义域为()0,+∞.
由()1
ln 2
2
2ln 2e ln x
x f x x a x x a x =--=--,所以()()32221ln 22ln 2x x x f x x x x
-+='-=-. 令0f x ,解得1x =.
当01x <<时,0f
x
;当1x >时,0f
x
,
所以()f x 在0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增,
所以当1x =时,函数()f x 有极小值为1a -,函数()f x 没有极大值. (2)(ⅰ)由题意,()1212,,x x x x >,
因为1122ln ln ln x
x x x -<
⇔<
设t =
1t >,1
2ln t t t <-,
构造函数()()12ln 1t t t t t ϕ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭,则()2
221111t t t t ϕ⎛⎫
=--=-- ⎪⎝⎭
'.
当1t >时,()0t ϕ'<,所以函数()t ϕ在()1,+∞上单调递减, 故()()10t ϕϕ<=
,所以12ln ln x x - (ⅰ)因为当1a <时,方程0f x
有两个不等实根()1212,,x x x x >,
所以211
11
2222
22ln 0,2ln 0,x ax x x x ax x x +⎧-=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩
即31113
2222ln 0,2ln 0,x x ax x x ax ⎧--=⎨--=⎩ 两式相减得()()
()()22
12112212122ln ln x x x x x x x x a x x -++--=-,所以
()1222
112212
2ln ln 1x x x x x x a x x -++-
=<-.
由(ⅰ)得
(
)1212
2ln ln x x x x -<
-.
由重要不等式得22
12122x x x x +>
,所以()1222
121122122ln ln 31x x x x x x x x x x -<++-<-,
即1231x x <
,所以
3
320<
,所以
)
3
3110⎡
⎤--<⎢
⎥⎣
⎦
,
所以
)
2
13
310⎡⎤+-<⎢⎥⎣
⎦
,即
)
2
13
20⎡⎤+<⎢⎥⎣
⎦
.
因为
2
3
20+>
10<,所以1201x x <<.
故由(ⅰ)得()120f x x '<.。