2020-2021学年北京市西城区初三数学第一学期期末试卷及解析

2020-2021学年北京市西城区初三数学第一学期期末试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．（3分）在抛物线245y x x =--上的一个点的坐标为( ) A ．(0,4)-
B ．(2,0)
C ．(1,0)
D ．(1,0)-
2．（3分）在半径为6cm 的圆中，60︒的圆心角所对弧的弧长是( ) A ．cm π
B ．2cm π
C ．3cm π
D ．6cm π
3．（3分）将抛物线2y x =先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为( )
A ．2(3)5y x =++
B ．2(3)5y x =-+
C ．2(5)3y x =++
D ．2(5)3y x =-+
4．（3分）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2)，我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD 与四边形A B C D ''''是位似图形，点O 是位似中心，点A '是线段OA 的中点，那么以下结论正确的是( )
A ．四边形ABCD 与四边形A
B
C
D ''''的相似比为1:1 B ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的相似比为1:2 C ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的周长比为3:1 D ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的面积比为4:1
5．（3分）如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，若32CDB ∠=︒，则ABC ∠等于( )
A ．68︒
B ．64︒
C ．58︒
D ．32︒
6．（3分）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A ，(3,0)B 两点，则抛物线的对称轴为( ) A ．1x =
B ．2x =
C ．3x =
D ．4x =
7．（3分）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ，则可列出关于x 的方程为( ) A ．2.44(1) 6.72x += B ．2.44(12) 6.72x +=
C ．22.44(1) 6.72x +=
D ．22.44(1) 6.72x -=
8．（3分）现有函数24()2()x x a y x x x a +<⎧=⎨-⎩
如果对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x m =时，y n =，
那么实数a 的取值范围是( ) A ．54a -
B ．14a -
C ．41a -
D ．45a -
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）若正六边形的边长为2，则它的外接圆半径是 ．
10．（3分）若抛物线2(0)y ax a =≠经过(1,3)A ，则该抛物线的解析式为 ． 11．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，则sin B = ．
12．（3分）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的示意图如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“>”，“ =”或“<” )．
13．（3分）如图，AB 为O 的直径，10AB =，CD 是弦，AB CD ⊥于点E ，若6CD =，则EB = ．
14．（3分）如图，PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，若2
OA=，60
APB
∠=︒，则PB=．
15．（3分）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD DA CB
==，DC AB BE
==，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
若连接OA，OE，可证得以下结论：
①ODA
∆和OCE
∆为等腰三角形，则
1
(180)
2
DOA ODA
∠=︒-∠，
1
(180
2
COE
∠=︒-∠)；
②四边形ABCD为平行四边形（理由是)；
③DOA COE
∠=∠，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当
3
5
DC
CB
=时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，(4,3)
P，O经过点P．点A，点B在y轴上，PA PB
=，延长PA，PB分别交O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α．
（1）O的半径为；
（2）tan α= ．
三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分） 17．（5分）计算：22sin60tan 45cos 30︒-︒+︒． 18．（5分）已知关于x 的方程2240x x k ++-=． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围； （2）若1k =，求该方程的根． 19．（6分）借助网格画图并说理：
如图所示的网格是正方形网格，ABC ∆的三个顶点是网格线的交点，点A 在BC 边的上方，AD BC ⊥于点D ，4BD =，2CD =，3AD =．以BC 为直径作O ，射线DA 交O 于点E ，连接BE ，CE ． （1）补全图形；
（2）填空：BEC ∠= ︒，理由是 ； （3）判断点A 与O 的位置关系并说明理由；
（4）BAC ∠ BEC ∠（填“>”，“ =”或“<” )．
20．（5分）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(3,0)点，当1x =时，函数的最小值为4-． （1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；
（2）直线x m =与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠和直线3y x =-的交点分别为点C ，点D ，点C 位于点D 的上方，结合函数的图象直接写出m 的取值范围．
21．（5分）如图，AB 为O 的直径，AC 为弦，点D 在O 外，BCD A ∠=∠，OD 交O 于点E ． （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若4CD =， 2.7AC =，9
cos 20
BCD ∠=
，求DE 的长．
22．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 边上，1BE =，F 为BC 边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD ，点P 在线段EF 上运动（点P 可与点E ，点F 重合），作矩形PMDN ，其中M ，N 两点分别在CD ，AD 边上．
设CM x =，矩形PMDN 的面积为S ．
（1）DM = （用含x 的式子表示），x 的取值范围是 ； （2）求S 与x 的函数关系式；
（3）要使矩形PMDN 的面积最大，点P 应在何处？并求最大面积．
23．（7分）已知抛物线212
y x x =-+．
（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y 轴的交点坐标； （2）已知该抛物线经过1(34,)A n y +，2(21,)B n y -两点． ①若5n <-，判断1y 与2y 的大小关系并说明理由；
②若A ，B 两点在抛物线的对称轴两侧，且12y y >，直接写出n 的取值范围．
24．（7分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，3BC =ABC ∆绕点B 顺时针旋转
(0120)αα︒<︒得到△A BC ''，点A ，点C 旋转后的对应点分别为点A '，点C '．
（1）如图1，当点C '恰好为线段AA '的中点时，α= ︒，AA '= ； （2）当线段AA '与线段CC '有交点时，记交点为点D ．
①在图2中补全图形，猜想线段AD 与A D '的数量关系并加以证明； ②连接BD ，请直接写出BD 的长的取值范围．
25．（7分）对于平面内的图形1G 和图形2G ，记平面内一点P 到图形1G 上各点的最短距离为1d ，点P 到图形2G 上各点的最短距离为2d ，若12d d =，就称点P 是图形1G 和图形2G 的一个“等距点”． 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(6,0)A ，(0B ，23)．
（1）在(3,0)R ，(2,0)S ，3)T 三点中，点A 和点B 的等距点是 ； （2）已知直线2y =-．
①若点A 和直线2y =-的等距点在x 轴上，则该等距点的坐标为 ； ②若直线y a =上存在点A 和直线2y =-的等距点，求实数a 的取值范围； （3）记直线AB 为直线1l ，直线23
:l y =，以原点O 为圆心作半径为r 的O ．若O 上有m 个直线1l 和直线2l 的等距点，以及n 个直线1l 和y 轴的等距点(0,0)m n ≠≠，当m n ≠时，求r 的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．【解答】解：当0x =时，5y =-，因此(0,4)-不在抛物线245y x x =--， 当2x =时，4859y =--=-，因此(2,0)不在抛物线245y x x =--上， 当1x =时，1458y =--=-，因此(1,0)不在抛物线245y x x =--上， 当1x =-时，1450y =+-=，因此(1,0)-在抛物线245y x x =--上， 故选：D ．
2．【解答】解：弧长为：606
2()180
cm ππ⨯=． 故选：B ．
3．【解答】解：将抛物线2y x =先向右平移3个单位长度，得：2(3)y x =-； 再向上平移5个单位长度，得：2(3)5y x =-+， 故选：B ．
4．【解答】解：四边形ABCD 与四边形A B C D ''''是位似图形，点O 是位似中心，点A '是线段OA 的中点，
:1:2OA OA ∴'=， :1:2A B AB ∴''=，
∴四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的相似比为2:1，周长的比为2:1，面积比为4:1．
故选：D ． 5．【解答】解：AB 是O 的直径，
90ADB ∴∠=︒， 90ADC CDB ∴∠+∠=︒，
90903258ADC CDB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， ABC ADC ∠=∠， 58ABC ∴∠=︒，
故选：C ．
6．【解答】解：抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A 、(3,0)B 两点，
∴抛物线对称轴为直线13
22
x +=
=， 故选：B ．
7．【解答】解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ， 则可列出关于x 的方程为22.44(1) 6.72x +=， 故选：C ． 8．【解答】解：
222(1)1y x x x =-=--，
∴函数22y x x =-的最小值为1-，
把1y =-代入4y x =+得，14x -=+，解得5x =-，
由图象可知，当54a -时，对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x m =时，函数y n =， 故选：A ．
二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9．【解答】解：如图所示，连接OB 、OC ； 此六边形是正六边形， 360606
BOC ︒
∴∠=
=︒， OB OC =，
BOC ∴∆是等边三角形， 2OB OC BC ∴===．
故答案为：2．
10．【解答】解：把(1,3)A 代入2(0)y ax a =≠中， 得231a =⨯， 解得3a =，
所以该抛物线的解析式为23y x =． 故答案为：23y x =．
11．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =， 则62
sin 93AC B AB =
==， 故答案为：
23
． 12．【解答】解：抛物线开口方向向上， 0a ∴>，
对称轴在y 轴的右侧， 0b ∴<，
抛物线与y 轴交于负半轴， 0c ∴<．
故答案为>，<，<．
13．【解答】解：连接OC ，如图所示： 弦CD AB ⊥于点E ，6CD =， 1
32
CE ED CD ∴===，
在Rt OEC ∆中，90OEC ∠=︒，3CE =，1
52
OC AB =
=， 22534OE ∴=-=， 1
5412
BE OB OE AB OE ∴=-=
-=-=， 故答案为：1．
14．【解答】解：PA 、PB 是O 的两条切线，60APB ∠=︒，2OA OB ==， 1
302BPO APB ∴∠=∠=︒，BO PB ⊥．
24PO AO ∴==，
22224223PB PO OB ∴=-=-=． 故答案是：23．
15．【解答】解：①ODA ∆和OCE ∆为等腰三角形， 1(180)2DOA ODA ∴∠=︒-∠，1
(180)2
COE OCE ∠=︒-∠；
②AD BC =，DC AB =，
∴四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；
③连接OA ，AE ，
DOA COE ∠=∠，
O ∴，A ，E 三点在一条直线上；
④
3
5
DC BC =，
∴设3CD AB BE x ===，5OD AD BC x ===，
四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴， AOD EOC ∴∆∆∽，
∴
358
55
OC x x OD x +==， ∴图形N 是以点O 为位似中心，把图形M 放大为原来的8
5
，
故答案为：OCE ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；8
5
．
16．【解答】解：（1）连接OP ． (4,3)P ，
5OP ∴==， 故答案为：5．
（2）设CD 交x 轴于J ，过点P 作PT AB ⊥交O 于T ，交AB 于E ，连接CT ，DT ，OT ． (4,3)P ，
4PE ∴=，3OE =，
在Rt OPE ∆中，4
tan 3
PE POE OE ∠==， OE PT ⊥，OP OT =， POE TOE ∴∠=∠，
1
2
PDT POT POE ∴∠=∠=∠，
PA PB =．PE AB ⊥， APT DPT ∴∠=∠，
∴TC DT =，
TDC TCD ∴∠=∠， //PT x 轴， CJO CKP ∴∠=∠，
CKP TCK CTK ∠=∠+∠，CTP CDP ∠=∠，PDT TDC CDP ∠=∠+∠， TDP CJO ∴∠=∠， CJO POE ∴∠=∠，
4tan tan 3
CJO POE ∴∠=∠=
． 补充方法：证明CJO EOP ∠=∠时，可以这样证明：90CJO TOJ ∠+∠=︒，90TOJ EOT ∠+∠=︒， CJO EOT ∴∠=∠， EOT EOB ∠=∠，
CJO EOP ∴∠=∠，可得结论．
故答案为：
43
．
三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分） 17．【解答】解：原式23321(=-+ 3
314
+ 1
34
=． 18．【解答】解：（1）△2241(4)204k k =-⨯⨯-=-． 方程有两个不相等的实数根，
∴△0>．
2040k ∴->，
解得5k <；
k ∴的取值范围为5k <．
（2）当1k =时，原方程化为2230x x +-=， (1)(3)0x x -+=， 10x -=或30x +=，
解得11x =，23x =-．
19．【解答】解：（1）补全图形见图1．
（2）BC 是直径，
90BEC ∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角）． 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角． （3）点A 在O 外． 理由如下：连接OA ．
4BD =，2CD =，
6BC BD CD ∴=+=，32
BC
r ==． AD BC ⊥， 90ODA ∴∠=︒，
在Rt AOD ∆中，3AD =，1OD BD OB =-=，
∴22221310OA OD AD =++
103>，
OA r ∴>，
∴点A 在
O 外．
（4）观察图象可知：BAC BEC ∠<∠． 故答案为：<．
20．【解答】解：（1）当1x =时，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最小值为4-，
∴二次函数的图象的顶点为(1,4)-，
∴二次函数的解析式可设为2(1)4(0)y a x a =--≠，
二次函数的图象经过(3,0)点，
2(31)40a ∴--=． 解得1a =．
∴该二次函数的解析式为2(1)4y x =--；
如图，
（2）由图象可得0m <或3m >． 21．【解答】（1）证明：如图，连接OC ．
AB 为O 的直径，AC 为弦，
90ACB ∴∠=︒，90OCB ACO ∠+∠=︒． OA OC =， ACO A ∴∠=∠． BCD A ∠=∠， ACO BCD ∴∠=∠． 90OCB BCD ∴∠+∠=︒． 90OCD ∴∠=︒． CD OC ∴⊥． OC 为O 的半径， CD ∴是O 的切线；
（2）解：BCD A ∠=∠，9cos 20
BCD ∠=， 9
cos cos 20
A BCD ∴=∠=
．
在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒， 2.7AC =，9cos 20
A =． 2.7
69cos 20
AC AB A
∴=
==． 32
AB
OC OE ∴==
=． 在Rt OCD ∆中，90OCD ∠=︒，3OC =，4CD =，
∴5OD =．
532DE OD OE ∴=-=-=．
22．【解答】解：（1）正方形ABCD 的边长为4，CM x =，1BE =， 4DM DC CM x ∴=-=-，其中01x ．
故答案是：4x -，01x ； （2）如图，延长MP 交AB 于G ，
正方形ABCD 的边长为4，F 为BC 边的中点，四边形PMDN 是矩形，CM x =，1BE =， //PM BC ∴，1
22
BF FC BC ==
=，BG MC x ==，4GM BC ==， EGP EBF ∴∆∆∽，1EG x =-，
∴
EG PG EB BF =，即112
x PG
-=
． 22PG x ∴=-，
4(22)22DN PM GM PG x x ∴==-=--=+，
2(4)(22)268S DM DN x x x x ∴=⋅=-+=-++，其中01x ． （3）由（2）知，2268S x x =-++， 20a =-<，
∴此抛物线开口向下，对称轴为3
22
b x a =-=，即32x =，
∴当3
2
x <
时，y 随x 的增大而增大． x 的取值范围为01x ，
∴当1x =时，矩形PMDN 的面积最大，此时点P 与点E 重合，此时最大面积为12．
23．【解答】解：（1）
21
2
y x x =-+，
∴对称轴为直线1112()
2
x =-
=⨯-，
令0x =，则0y =，
∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,0)，
（2）(34)(21)5A B x x n n n -=+--=+，1(34)1333(1)A x n n n -=+-=+=+，1(21)1222(1)B x n n n -=--=-=-．
①当5n <-时，10A x -<，10B x -<，0A B x x -<．
A ∴，
B 两点都在抛物线的对称轴1x =的左侧，且A B x x <，
抛物线21
2
y x x =-+开口向下，
∴在抛物线的对称轴1x =的左侧，y 随x 的增大而增大．
12y y ∴<；
②若点A 在对称轴直线1x =的左侧，点B 在对称轴直线1x =的右侧时， 由题意可得3412111(34)(21)1n n n n +<⎧⎪
->⎨⎪-+<--⎩
，
∴不等式组无解，
若点B 在对称轴直线1x =的左侧，点A 在对称轴直线1x =的右侧时， 由题意可得：3412111(21)341n n n n +>⎧⎪
-<⎨⎪-->+-⎩
，
1
15
n ∴-<<-，
综上所述：1
15
n -<<-．
24．【解答】解：（1）90C ∠=︒，3BC =，30ABC ∠=︒， tan301AC BC ∴=⋅︒=， 22AB AC ∴==， BA BA ='，AC AC '=''， 30ABC A BC ∴∠'=∠''=︒，
ABA ∴∆'是等边三角形，
60α∴=︒，2AA AB '==．
故答案为：60，2．
（2）①补全图形如图所示：结论：AD A D '=．
理由：如图2，过点A 作A C ''的平行线，交CC '于点E ，记1β∠=． 将Rt ABC ∆绕点B 顺时针旋转α得到Rt △A BC ''， 90A C B ACB ''∴∠=∠=︒，A C AC ''=，BC BC '=．
21β∴∠=∠=．
3190ACB β∴∠=∠-∠=︒-，290A C D A C B β''''∠=∠+∠=︒+． //AE A C ''
90AED A C D β''∴∠=∠=︒+．
4180180(90)90AED ββ∴∠=︒-∠=︒-︒+=︒-． 34∴∠=∠． AE AC ∴=． AE A C ''∴=．
在ADE ∆和△A DC ''中， ADE A DC AED A C D AE A C ∠=∠''⎧⎪
∠=∠''⎨⎪=''⎩
， ADE ∴∆≅△()A DC AAS ''，
AD A D '∴=．
②如图1中，当60α=︒时，BD 的值最大，最大值为3． 当120α=︒时，BD 的值最小，最小值1
sin30212
BD AB =⋅︒=⨯
=， 13BD ∴．
25．【解答】解：（1）点(6,0)A ，(0B ，23)，(3,0)R ，(2,0)S ，(1,3)T ， 3AR ∴=，21BR =，4AS =，4BS =，27AT =，2BT =， AS BS ∴=，
∴点A 和点B 的等距点是(2,0)S ，
故答案为：(2,0)S ；
（2）①设等距点的坐标为(,0)x ， 2|6|x ∴=-， 4x ∴=或8，
∴等距点的坐标为(4,0)或(8,0)，
故答案为：(4,0)或(8,0)；
②如图1，设直线y a =上的点Q 为点A 相直线2y =-的等距点，连接QA ，过点Q 作直线2y =-的垂线，垂足为点C ，
点Q 为点A 和直线2y =-的等距点， QA QC ∴=，
22QA QC ∴=
点Q 在直线y a =上，
∴可设点Q 的坐标为(,)Q x a
222(6)[(2)]x a a ∴-+=--． 整理得2123240x x a -+-=，
由题意得关于x 的方程2123240x x a -+-=有实数根．
∴△2(12)41(324)16(1)0a a =--⨯⨯-=+．
解得1a -； （3）如图2，
直线1l 和直线2l 的等距点在直线33
:3l y = 直线1l 和y 轴的等距点在直线4:323l y x =-+或53
:23l y =+ 由题意得3r 或3r ．。