概率论 第九讲 二维连续随机变量

注意 若两随机变量相互独立,且又有相同 的分布, 不能说这两个随机变量相等. 如
X P -1 0.5 1 0.5 Y P -1 0.5 1 0.5
X ,Y 相互独立，则 -1 1 pij X
Y
由左表易得 ：
-1 1
0.25 0.25 0.25 0.25
P( X = Y) = P( X = −1,Y = −1) + P( X =1,Y =1) = 0.5
1
x
y=x G x
=1/ 3.
0
x
(3) P(| X |< 0.3) = P(−0.3 < X < 0.3)
1 2 = 2⋅ ⋅ (0.3) = 0.09 2
y y=x 1
0
0.3
1
x
连续型随机变量的独立性 X与Y是连续性随机变量 是连续性随机变量 X与Y 独立 对任何 x ,y 有
f (x, y) = f X (x) fY ( y)
讨论X ,Y 是否独立？
解 (1) 由图知边缘 d.f. 为
1
2x, 0 < x <1, f X (x) = 其 他 0,
显然，
1
2y, 0 < y <1, fY ( y) = 其 他 0,
f1(x, y) = f X (x) fY ( y)
故 X ,Y 相互独立
(2) 由图知边缘 d.f. 为
x y
当0≤ x<1, x≤ y<1时，
F(x, y) = ∫0 du∫u 8uvdv = 2x y − x
2 2
x
y
4
当0 ≤ x <1, y ≥ 1时，
v 1 0 1 u v=u
F(x, y) = ∫ du∫ 8uvdv
0 u
x
1
= 2x − x
2
4
当x ≥ 1, 0 ≤ y < 1时， v
e , x > 0 fX (x) = 0, 其他
−x
e− y , y > 0 fY ( y) = 0, 其他
其边缘分布函数为
1− e− y , y > 0 1− e , x > 0 F ( y) = Y FX (x) = 其他 0, 其他 0,
−x
P( X +Y ≤1)
若
−1< x < 2, y > 0 e f (x, y) = 其他 0 则X ,Y 是相互独立的, 且其边缘分布为 1, −1< x < 2 f X (x) = 3 0, 其 他
−3 y
3e , y > 0 fY ( y) = 其 他 0,
−3 y
判独立的一个重要命题 个重要命题
F(x, y) = ∫−∞ ∫−∞ f (u, v)dvdu
x
y
联合密度与联合分布函数的性质
1 2
f (x, y) ≥ 0
除 d.f. 的一般性质外还有下述性质 3 对每个变元连续 在 f (x, y) 的连续点处 对每个变元连续,
∫−∞ ∫−∞ f (x, y)dydx =1
∂F = f (x, y) ∂x∂y
4x(1− x ), 0 < x <1, f X (x) = 其他 0,
2
1
显然，
4y , 0 < y <1, fY ( y) = 其他 0,
3
1
f2 (x, y) ≠ f X (x) fY ( y)
故 X ,Y 不独立
服从矩形域{(x,y)| a<x<b, c<y<d}上 均匀分布的二维 r.v.( X ,Y ), 1 a < x < b, c < y < d f (x, y) = (b − a)(d − c) 0 其他 X ,Y 是独立, 且其边缘分布也是均匀分布 1 , c< y <d 1 , a < x <b fY ( y) = d − c f X (x) = b − a 0, 0, 其他 其他
设 X ,Y 为相互独立的 r.v. u(x),v(y) 为连续函数, 则 U=u ( X ) , V=v (Y ) 也 相互独立. 即
独立 r.v.的连续函数仍独立.
下面予以证明.
事实上, 事实上 设 X 与Y 的 d.f. 分别为 f X(x), f Y (y), 则
f (x, y) = f X (x) fY ( y)
(1)
∫ ∫
+∞ +∞
−∞ −∞
f (x, y)dydx = ∫
+∞ +∞
0
∫
0
e
−( x+ y)
dxdy
= c =1
(2) F(x, y) =
∫ ∫
x
y
−∞ −∞
f (x, y)dydx
(1− e−x )(1− e− y ) , x > 0, y > 0 =1− 0, 其他
(3) 其边缘密度函数为
F(x, y) 的分段区域
y
x <0
1
y ≥1
x ≤D<1 y 0≤ y < x
y ≥1 y=x
0 ≤ y <1
y <0
0
0 ≤ x <1
x ≥1
x
(3)
F(x, y) = P( X ≤ x,Y ≤ y) = ∫−∞ ∫−∞ f (u, v)dvdu v 当x<0 或 y<0 时, F(x,y) = 0 v=u 1 当0≤ x< 1, 0≤ y< x 时， y v 0 4 F(x, y) = ∫ dv∫ 8uvdu = y u 1 0 0
若G 是平面上的区域，则 是平面上的区域，
P(( X ,Y) ∈G) = ∫∫ f (x, y)dxdy
G
边缘分布函数与边缘 d.f.
FX (x) = ∫−∞ ∫−∞ f (u, v)dvdu
x
+∞
f X (x) = ∫−∞ f (x, v)dv
F ( y) = ∫−∞ ∫−∞ f (u, v)dudv Y
y +∞
+∞
fY ( y) = ∫−∞ f (u, y)du
与离散型相同,已知联合分布可以求 得边缘分布；反之则不能唯一确定.
+∞
例1 设(X ,Y )联合密度函数为
ce−x−y f (x, y) = 0 x > 0, y > 0 其他
其中c 为常数. 求 (1)常数 c ; (2)联合分布函数 F (x,y); (3) 边缘 d.f. 与边缘分布函数 (4) P ( X + Y≤ 1) , P (Y≤2);
1 0 1
v=u
4x − 4x , 0 ≤ x <1 = 其他 0,
3
u
常用连续型二维随机变量分布
区域G 上的均匀分布，记作U ( G ) G 是平面上的有界区域, 面积为 A 若r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为
1/ A, (x, y) ∈G f (x, y) = 其他 0, 则称( X ,Y )服从区域G上的均匀分布
F(x, y) = ∫ dv∫ 8uvdu
y
v
=y
0
0
1 0 1
v=u
4
当 x ≥ 1, y ≥ 1 时，
u
F(x, y) =1
0, y4 , F (x,y) =
x<0或y<0 0 ≤ x <1, 0 ≤ y < x ， 0 ≤ x <1, y ≥ 1， x ≥ 1, 0 ≤ y < 1， x ≥ 1, y ≥ 1，
相互独立, 二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布
例1 已知 ( X, Y ) 的联合 d.f.为 (1) (2)
4xy, 0 < x <1,0 < y <1 f1(x, y) = 其他 0,
8xy, 0 < x < y,0 < y <1 f2 (x, y) = 其他 0,
若( X ,Y )服从区域G上的均匀分布, 则 ∀ G1 ⊆ G, 设G1的面积为A1,
A 1 P(( X,Y) ∈G1 ) = A
边平行于坐标轴的矩形域上的均匀 分布的边缘分布仍为均匀分布
例6 设(X ,Y ) ~ G 上的均匀分布,
} G = {(x, y) 0 ≤ y ≤ x,0 ≤ x ≤1
例(X ,Y )联合密度函数为 1 − ( x +y ) 1 2
f (x, y) = 2π e
−∞ < x < +∞,−∞ < y < +∞
二维正态分布图
6
P( X = a ,Y = b ) = 0 P( X = a ,- ∞ < Y < + ∞ ) = 0 P(- ∞ < X < + ∞, Y= a ) = 0
第九讲 二维连续随机变量的 概率分布
教学目的： 教学目的 1.讲解二维连续随机变量的概率密度 ； 2. 讨论连续随机变量的独立性 教学内容 §
定义 设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为 的分布函数为 F(x ,y ),若存在非负可积函数 f (x,y) , 若存在非负可积函数 使得对于任意实数 x , y 有 则称( 则称 X ,Y ) 为二维连续型 r.v. f (x,y) 为( X ,Y ) 的联合概率密度函数 简称概率密度函数简记 简称概率密度函数简记 p.d.f. 概率密度函数
其中k 为常数. 求 (1)常数 k ; (2) P ( X + Y ≥ 1) , P ( X < 0.5); (3) 联合分布函数 F (x,y); (4) 边缘 d.f. 与边缘分布函数
解 令 (1)
D = {(x, y) 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤1}
∫−∞ ∫−∞ f (x, y)dxdy =1 f (x, y)dxdy =1 y ∫∫
2x2y2–y4, 0 ≤ x <1, x ≤ y <1， 2x2–x4 , y4 , 1,
(4) FX (x) = F(x,+∞) 0, = 2x2–x4 , 1,
x < 0， 0 ≤ x < 1, x≥1 y<0 0 ≤ y < 1, y≥1
FY ( y) = F(+∞, y)
0, = y4 , 1,
4x − 4x , 0 ≤ x <1 f X (x) = 其他 0,
3
4y , 0 ≤ y <1 fY ( y) = (y 其他 0,
3
也可直接由联合d. f. 求边缘d. f. 再积分求边缘分布函数. 例如 +∞ v
f X (x) = ∫−∞ f (x, v)dv
1
8xvdv, 0 ≤ x <1 = ∫x 其他 0,
求 (1) f ( x, y ); (2) P ( Y > X 2 ); (3) ( X ,Y ) 在平面上的落点到 y 轴距离小于0.3的概率.
解 (1)
2, 0 ≤ y ≤ x,0 ≤ x ≤1 f (x, y) = 其他 0,
y 1 0 1
y = x2
(2) P(Y > X 2 )
= ∫ dx∫ 2 2dy
2
+∞ +∞
从而有 概率微分
P(x < X ≤ x + ∆x, y < Y ≤ y + ∆y)
≈ f (x, y)∆x∆y
4 对每个变元连续 在 f (x, y) 的连续点处 对每个变元连续,
F(x, y) = ∫
5
x
−∞ −∞
∫
y
f (x, y)dydx
曲面 f (x, y) 称为分布曲面
2 2
故不能说 X = Y .
作业 p.85习题二 39、40、 41、42
= ∫ dx ∫
0 1 1− x 0
e − ( x + y ) dy
=1− 2e = 0.2642
P(Y ≤ 2)
=∫
+∞ −x
−1
=1− e
0
e dx ∫ e d y
−2
0
2
−y
例1 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为
kxy, 0 ≤ x ≤ y,0 ≤ y ≤1, f (x, y) = 其他 0,
D
+∞ +∞
∫0 dy∫0 kxydx
y k = k∫0 y dy = 2 8
1 2
1
y
D 1 0
y=x
k =8
x
(2)
P( X +Y ≥1)
1 y
yy 11 0.5 00 xx yy=x =x
= ∫0.5 dy∫1−y 8xydx
= 5/ 6.
y 1 0
y=x
0.5
x
P( X < 0.5) 0.5 1 = ∫0 dx∫x 8xydy = 7 /16.
因此，
F (u,v) = P(U ≤ u,V ≤ v) UV = P(u( X ) ≤ u, v(Y) ≤ v)
u( x)≤u v( y)≤v
u( x)≤u v( y)≤v
= ∫∫ f X (x) fY ( y)dxdy =∫ f X (x)dx ∫ fY ( y)dy
= P(u( X ) ≤ u)P(v(Y) ≤ v) = F (u)F (v) U V