专题14圆(解答题)--浙江省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编(解析版)

三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（浙江专用）
专题14圆（解答题）
一．解答题（共20小题）
1．（2021•丽水）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线，交AC于点E．
（1）求证：∠ACB＝2∠ADE；
̂的长．
（2）若DE＝3，AE=√3，求CD
【分析】（1）连接OD，CD，根据切线的性质得到∠ODE＝90°，根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，求得∠ADE＝∠ODC，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AD=√32+(√3)2=2√3，tan A=√3，求得∠A＝60°，推出△ABC是等边三角形，得到∠B＝60°，BC＝AB＝2AD＝4√3，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OD，CD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ODC+∠EDC＝90°，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠ODC，
∵AC＝BC，
∴∠ACB＝2∠DCE＝2∠OCD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC ＝∠OCD ，
∴∠ACB ＝2∠ADE ；
（2）解：由（1）知，∠ADE +∠EDC ＝90°，∠ADE ＝∠DCE ，
∴∠AED ＝90°，
∵DE ＝3，AE =√3，
∴AD =√32+(√3)2=2√3，tan A =√3，
∴∠A ＝60°，
∵AC ＝BC ，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠B ＝60°，BC ＝AB ＝2AD ＝4√3，
∴∠COD =2∠B =120°，OC =2√3，
∴CD ̂ 的长为nπr 180=120⋅π×2√3180=4√3π3
．
2．（2021•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠ACD 是AD
̂所对的圆周角，∠ACD ＝30°． （1）求∠DAB 的度数；
（2）过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 的延长线交⊙O 于点F ．若AB ＝4，求DF 的长．
【分析】（1）连接BD ，根据AB 是⊙O 的直径，可得∠ADB ＝90°，进而可以求∠DAB 的度数；
（2）根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半可得AD 的长，再根据垂径定理和特殊角三角函数值可得EF ＝DE 的值，进而可得DF 的长．
【详解】解：（1）如图，连接BD ，
∵∠ACD＝30°，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；
（2）∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AD=1
2AB＝2，
∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，
∴EF＝DE＝AD sin60°=√3，
∴DF＝2DE＝2√3．
3．（2021•金华）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与AB
̂所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，BO′与AB
̂相交于点D，若点D为AB̂的中点，且PD∥OB，求AB̂的长．
【分析】（1）①利用三角形内角和定理求解即可。

②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．想办法求出OH,PH,可得
结论。

（2）如图2中，连接AD,OD．证明∠AOB＝72°可得结论。

【详解】解：（1）①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，
∴∠OBO′＝90°,
由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°,∠OPB＝∠BPO′,
∵∠AOB＝75°,
∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°,
∴∠OPO′＝120°,
∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．
②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．∵∠BHO＝90°,
∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°,
∵FO＝FB,
∴∠FOB＝∠FBO＝15°,
∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°,
设OH＝m,则HF=√3m,OF＝FB＝2m,
∵OB2＝OH2+BH2,
∴62＝m2+(√3m+2m)2,
∴m=3√6−3√2
2或−
3√6−3√2
2（舍弃），
∴OH=3√6−3√2
2,BH=
3√2+3√6
2,
在Rt△PBH中，PH=
BH
tan60°
=√6+3√2
2,
∴P A＝OA﹣OH﹣PH＝6−3√6−3√2
2
−√6+3√2
2
=6﹣2√6．
(2)如图2中，连接AD,OD．
∵AD
̂=BD̂,
∴AD＝BD,∠AOD＝∠BOD,
由翻折的旋转可知，∠OBP＝∠PBD,∵PD∥OB,
∴∠DPB＝∠OBP,
∴∠DPB ＝∠PBD ,
∴DP ＝DB ＝AD ,
∴∠DAP ＝∠APD ＝∠AOB ,
∵AO ＝OD ＝OB ,AD ＝DB ,
∴△AOD ≌△BOD ,
∴∠OBD ＝∠OAD ＝∠AOB ＝2∠BOD ,
∵OB ＝OD ,
∴∠OBD ＝∠ODB ＝2∠DOB ,
∴∠DOB ＝36°,
∴∠AOB ＝72°，
∴AB ̂的长=72π⋅6180=12π5。

4．（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M 经过原点O ，分别交x 轴、y 轴于点A （2，0），B （0，
8），连结AB ．直线CM 分别交⊙M 于点D ，E （点D 在左侧），交x 轴于点C （17，0），连结AE ．
（1）求⊙M 的半径和直线CM 的函数表达式；
（2）求点D ，E 的坐标；
（3）点P 在线段AC 上，连结PE ．当∠AEP 与△OBD 的一个内角相等时，求所有满足条件的OP 的长．
【分析】（1）点M 是AB 的中点，则点M （1,4），则圆的半径AM =√(2−1)2+42=√17，再用待定系数法即可求解；
（2）由AM =√17得：（x ﹣1）2+（−14x +174
−4）2＝（√17）2，即可求解； （3）①当∠AEP ＝∠DBO ＝45°时，则△AEP 为等腰直角三角形，即可求解；②∠AEP ＝∠BDO 时，则△EAP ∽△DBO ，进而求解；③∠AEP ＝∠BOD 时，同理可解．
【详解】解：（1）∵点M 是AB 的中点，则点M （1,4），
则圆的半径为AM =√(2−1)2+42=√17，
设直线CM 的表达式为y ＝kx +b ，则{17k +b =0k +b =4，解得{k =−14b =174
， 故直线CM 的表达式为y =−14x +174；
（2）设点D 的坐标为（x ，−14x +
174）， 由AM =√17得：（x ﹣1）2+（−14x +174−4）2＝（√17）2，
解得x ＝5或﹣3，
故点D 、E 的坐标分别为（﹣3,5）、（5,3）；
（3）过点D 作DH ⊥OB 于点H ，则DH ＝3，BH ＝8﹣5＝3＝DH ，
故∠DBO ＝45°，
由点A 、E 的坐标，同理可得∠EAP ＝45°；
由点A 、E 、B 、D 的坐标得，AE =√(5−2)2+(0−3)2=3√2，
同理可得：BD ＝3√2，OB ＝8，
①当∠AEP ＝∠DBO ＝45°时，
则△AEP 为等腰直角三角形，EP ⊥AC ，
故点P 的坐标为（5,0），
故OP ＝5；
②∠AEP ＝∠BDO 时，
∵∠EAP ＝∠DBO ，
∴△EAP ∽△DBO ，
∴AE BD =AP BO ，即√2
3√2=AP
BO =AP
8，解得AP ＝8，
故PO ＝10；
③∠AEP ＝∠BOD 时，
∵∠EAP ＝∠DBO ， ∴△EAP ∽△OBD ，
∴AE OB =AP
BD ，即3√28=3√2
，解得AP =94， 则PO ＝2+94=174， 综上，OP 为5或10或17
4．
5．（2021•台州）如图，BD 是半径为3的⊙O 的一条弦，BD ＝4√2，点A 是⊙O 上的一个动点（不与点B ，D 重合），以A ，B ，D 为顶点作▱ABCD ．
（1）如图2，若点A 是劣弧BD
̂的中点． ①求证：▱ABCD 是菱形；
②求▱ABCD 的面积．
̂上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．
（2）若点A运动到优弧BD
①求AB的长；
②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．
【分析】（1）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
②求出AC的长，可得结论．
（2）①分两种情形：当CD与⊙O相切时，当BC与⊙O相切时，分别利用相似三角形的性质求解即可．②如图3﹣1中，过点A作AJ⊥BD于J．想办法求出AJ,HJ即可．如图3﹣2中，同法可得▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．
̂=AB̂,
【详解】（1）①证明：∵AD
∴AD＝AB,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
②解：连接OA交BD于J,连接OC．
̂=AB̂,
∵AD
∴OA⊥BD,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴A,O,C共线，
在Rt△OJD中，DJ＝BJ＝2√2,OD＝3,∴OJ=√OD2−DJ2=√32−(2√2)2=1,∴AJ＝OA＝OJ＝3﹣1＝2,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AJ＝CJ＝2,
∴S菱形ABCD=1
2•AC•BD=
1
2
×4×4√2=8√2．
（2）①解：当CD与⊙O相切时，连接AC交BD于H,连接OH,OD,延长DO交AB于P,过点A作AJ⊥BD于J．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD,
∵CD∥AB,
∴DP⊥AB,
∴P A＝PB,
∴DB＝AD＝4√2,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DH＝BH＝2√2,
∴OH⊥BD,
∴∠DHO＝∠DPB＝90°,
∵∠ODH＝∠BDP,
∴△DHO∽△DPB,
∴
DH DP =DO DB =OH PB , ∴2√2DP =4√2=1PB
, ∴DP =163,PB =4√23,
∴AB ＝2PB =8√23
, 当BC 与⊙O 相切时，同法可证AB ＝BD ＝4√2．
综上所述，AB 的长为4√2或8√23
． ②解：如图3﹣1中，过点A 作AJ ⊥BD 于J ． ∵12•AB •DP =1
2•BD •AJ , ∴AJ =329,
∴BJ =√AB 2−AJ 2=(8√23)2−(329)2=8√29, ∴JH ＝BH ＝BJ ＝2√2−
8√29=10√29, ∴tan ∠AHJ =AJ HJ =32
910√29=8√25
, 如图3﹣2中，同法可得▱ABCD 对角线所夹锐角的正切值为8√2
5，
综上所述，▱ABCD 对角线所夹锐角的正切值为8√25， 6．（2021•宁波）如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 为直径，AD
̂上存在点E ，满足AE ̂=CD ̂，连结BE 并延长交CD 的延长线于点F ，BE 与AD 交于点G ．
（1）若∠DBC ＝α，请用含α的代数式表示∠AGB ．
（2）如图2，连结CE ，CE ＝BG ．求证：EF ＝DG ．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG ，AD ＝2．
①若tan ∠ADB =√32，求△FGD 的周长．
②求CG 的最小值．
【分析】(1)利用直径所对的圆周角为90°和在同一圆中，等弧所对的圆周角相等，即可得结果．
(2)证线段相等只需证线段所在的两个三角形全等即可．利用全等三角形的判定可得△CFE ≌△BDG (ASA )可得结论，
（3）①连接DE ，AD ̂=CE ̂，由弧相等得出弧所对的弦相等，在Rt △ABG 中，sin ∠AGB =AB BG =√32
,得EF ＝1，在Rt △DEG 中，∠EGD ＝60°，可得EG =12，DE =
√32, 在Rt △FED 中，由勾股定理得DF =√72,即可求得周长的值．②如图，过点C 作CH ⊥BF 于H ，可得△BAD ≌△CHF (AAS )，得FH ＝AD ，由相似三角形的判定可得△BHC ∽△CHF ,设GH ＝x ,由相似的性质得CH 2＝2(2﹣x )，在Rt △GHC 中，由勾股定理知CG 2＝GH 2+CH 2)＝(x ﹣1)2+3，即可得最小值．
【详解】解：（1）∵BD 为⊙O 的直径，
∴∠BAD ＝90°，
∵AE
̂=CD ̂， ∴∠ABG ＝∠DBC ＝α，
∴∠AGB ＝90°﹣α；
（2）∵BD 为⊙O 的直径，
∴∠BCD ＝90°，
∴∠BEC ＝∠BDC ＝90°﹣α，
∴∠BEC＝∠AGB，
∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，∴∠CEF＝∠BGD，
又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD，
∴△CFE≌△BDG(ASA)，
∴EF＝DG；
（3）①如图，连接DE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A＝∠BED＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB=√3
2，AD＝2，
∴AB=√3
2,AD=√3，
∵AE
̂=CD̂，
∴AE
̂+DÊ=CD̂+DÊ，即AD
̂=CÊ，
∴AD＝CE，
∵CE＝BG，
∴BG＝AD＝2，
∵在Rt△ABG中，sin∠AGB=AB
BG
=√32,
∴∠AGB＝60°，AG=1
2BG＝1，
∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，
∵在Rt△DEG中，∠EGD＝60°，
∴EG=1
2DG=
1
2，DE=
√3
2DG=
√3
2,
在Rt △FED 中，DF =√EF 2+DE 2=
√72, ∴FG +DG +EF =5+√72
， ∴△FGD 的周长为
5+√72； ②如图，过点C 作CH ⊥BF 于H ，
∵△BDG ≌△CFE ，
∴BD ＝CF ，∠CFH ＝∠BDA ，
∵∠BAD ＝∠CHF ＝90°，
∴△BAD ≌△CHF (AAS )，
∴FH ＝AD ，
∵AD ＝BG ,
∴FH ＝BG ,
∵∠BCF ＝90°,
∴∠BCH +∠HCF ＝90°,
∵∠BCH +∠HBC ＝90°,
∴∠HCF ＝∠HBC ,
∵∠BHC ＝∠CHF ＝90°,
∴△BHC ∽△CHF ,
∴BH CH =CH FH ,
设GH ＝x ,
∴BH ＝2﹣x ，
∴CH 2＝2(2﹣x )，
在Rt △GHC 中，CG 2＝GH 2+CH 2,
∴CG 2＝x 2+2(2﹣x )＝(x ﹣1)2+3，
当x ＝1时，CG 2的最小值为3，
∴CG 的最小值为√3．
7．（2020•金华）如图，AB
̂的半径OA ＝2，OC ⊥AB 于点C ，∠AOC ＝60°． （1）求弦AB 的长．
（2）求AB
̂的长．
【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得AC 的长，然后即可得到AB 的长；
（2）根据∠AOC ＝60°，可以得到∠AOB 的度数，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：（1）∵AB
̂的半径OA ＝2，OC ⊥AB 于点C ，∠AOC ＝60°， ∴AC ＝OA •sin60°＝2×
√32=√3， ∴AB ＝2AC ＝2√3；
（2）∵OC ⊥AB ，∠AOC ＝60°，
∴∠AOB ＝120°，
∵OA ＝2，
∴AB ̂的长是：120π×2180=4π3．
8．（2020•台州）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 沿直线AB 翻折得到△ABD ，连接CD 交AB 于点M ．E 是线段CM 上的点，连接BE ．F 是△BDE 的外接圆与AD 的另一个交点，连接EF ，BF ．
（1）求证：△BEF 是直角三角形；
（2）求证：△BEF ∽△BCA ；
（3）当AB ＝6，BC ＝m 时，在线段CM 上存在点E ，使得EF 和AB 互相平分，求m 的值．
【分析】（1）想办法证明∠BEF＝90°即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明）．（2）根据两角对应相等两三角形相似证明．
（3）证明四边形AFBE是平行四边形，推出FJ=1
2BD=
m
2，EF＝m，由△ABC∽△CBM，可得BM=
m2
6，
由△BEJ∽△BME，可得BE=
√2，由△BEF∽△BCA，推出
AC
EF
=
BC
BE
，由此构建方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵∠EFB＝∠EDB，∠EBF＝∠EDF，
∴∠EFB+∠EBF＝∠EDB+∠EDF＝∠ADB＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴△BEF是直角三角形．
（2）证明：∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD，
∵∠EFB＝∠EDB，
∴∠EFB＝∠BCD，
∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB⊥CD，
∴∠AMC＝90°，
∵∠BCD+∠ACD＝∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠BCD＝∠CAB，
∴∠BFE＝∠CAB，
∵∠ACB＝∠FEB＝90°，
∴△BEF ∽△BCA ．
（3）解：设EF 交AB 于J ．连接AE ．
∵EF 与AB 互相平分，
∴四边形AFBE 是平行四边形，
∴∠EF A ＝∠FEB ＝90°，即EF ⊥AD ，
∵BD ⊥AD ，
∴EF ∥BD ，
∵AJ ＝JB ，
∴AF ＝DF ，
∴FJ =12BD =
m 2
， ∴EF ＝m ，
∵△ABC ∽△CBM ，
∴BC ：MB ＝AB ：BC ，
∴BM =m 26， ∵△BEJ ∽△BME ，
∴BE ：BM ＝BJ ：BE ，
∴BE =m √2
， ∵△BEF ∽△BCA ，
∴AC EF =BC
BE ，
即√36−m 2
m =m m √2
，
解得m ＝2√3（负根已经舍弃）．
9．（2020•温州）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连接CD交AB于点E，G是AĈ上一点，∠ADC＝∠G．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）点C关于DG的对称点为F，连接CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1=2
5，求⊙O的
半径．
【分析】（1）根据圆周角定理和AB为⊙O的直径，即可证明∠1＝∠2；
（2）连接DF，根据垂径定理可得FD＝FC＝10，再根据对称性可得DC＝DF，进而可得DE的长，再根据锐角三角函数即可求出⊙O的半径．
【详解】解：（1）∵∠ADC＝∠G，
∴AC
̂=AD̂，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC
̂=BD̂，
∴∠1＝∠2；
（2）如图，连接DF，
∵AC
̂=AD ̂，AB 是⊙O 的直径， ∴AB ⊥CD ，CE ＝DE ，
∴FD ＝FC ＝10，
∵点C ，F 关于DG 对称，
∴DC ＝DF ＝10，
∴DE ＝5，
∵tan ∠1=25，
∴EB ＝DE •tan ∠1＝2，
∵∠1＝∠2，
∴tan ∠2=25，
∴AE =DE tan∠2=252
， ∴AB ＝AE +EB =292
， ∴⊙O 的半径为294．
10．（2020•杭州）如图，已知AC ，BD 为⊙O 的两条直径，连接AB ，BC ，OE ⊥AB 于点E ，点F 是半径OC 的中点，连接EF ．
（1）设⊙O 的半径为1，若∠BAC ＝30°，求线段EF 的长．
（2）连接BF ，DF ，设OB 与EF 交于点P ，
①求证：PE ＝PF ．
②若DF ＝EF ，求∠BAC 的度数．
【分析】（1）解直角三角形求出AB ，再证明∠AFB ＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
（2）①过点F 作FG ⊥AB 于G ，交OB 于H ，连接EH ．想办法证明四边形OEHF 是平行四边形可得结论．
②想办法证明FD ＝FB ，推出FO ⊥BD ，推出△AOB 是等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】（1）解：∵OE ⊥AB ，∠BAC ＝30°，OA ＝1，
∴∠AOE ＝60°，OE =12OA =12，AE ＝EB =√3OE =
√32， ∵AC 是直径，
∴∠ABC ＝90°，
∴∠C ＝60°，
∵OC ＝OB ，
∴△OCB 是等边三角形，
∵OF ＝FC ，
∴BF ⊥AC ，
∴∠AFB ＝90°，
∵AE ＝EB ，
∴EF =12AB =
√32．
（2）①证明：过点F 作FG ⊥AB 于G ，交OB 于H ，连接EH ．
∵∠FGA ＝∠ABC ＝90°，
∴FG ∥BC ，
∴△OFH ∽△OCB ，
∴FH BC =OF OC =12，同理OE BC =12， ∴FH ＝OE ，
∵OE ⊥AB ．FH ⊥AB ，
∴OE ∥FH ，
∴四边形OEHF 是平行四边形，
∴PE ＝PF ．
解法二：可以作OB 中点G ，连接FG ，EG ，证明OEFG 是平行四边形即可，得对角线互相平分．
②∵OE∥FG∥BC，
∴EG
GB =
OF
FC
=1，
∴EG＝GB，
∴EF＝FB，
∵DF＝EF，
∴DF＝BF，
∵DO＝OB，
∴FO⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°．
解法二：可以过E点作OB的平行线，EQ∥OB，构造A字型加A字型相似，AQ：QO＝1：1，QO：OF ＝1：1．
11．（2020•嘉兴）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：
证明：连接OC，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
又∵OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC，
∴AC＝BC．
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
【分析】连接OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：证法错误；
证明：连接OC，
∵⊙O与AB相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AC＝BC．
12．（2020•宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为
该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
̂=BD̂，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD
接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC＝180°，得出∠FDE＝∠FBC，证得∠ABF＝∠FBC，
证出∠ACD＝∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；
（3）①连接CF，由条件得出∠BFC＝∠BAC，则∠BFC＝2∠BEC，得出∠BEC＝∠F AD，证明△FDE
≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE＝DA，则∠AED＝∠DAE，得出∠ADC＝90°，则可求
出答案；
②过点A 作AG ⊥BE 于点G ，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，证得△EGA ∽△ADC ，得出
AE AC =AG CD ，求出AD AC =45，设AD ＝4x ，AC ＝5x ，则有（4x ）2+52＝（5x ）2，解得x =53，求出ED ，CE 的长，求出DM ，由等腰直
角三角形的性质求出FM ，根据三角形的面积公式可得出答案．
【详解】解：（1）∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，
∴∠E ＝∠ECD ﹣∠EBD =12（∠ACD ﹣∠ABC ）=12∠A =12
α，
（2）如图1，延长BC 到点T ，
∵四边形FBCD 内接于⊙O ，
∴∠FDC +∠FBC ＝180°，
又∵∠FDE +∠FDC ＝180°，
∴∠FDE ＝∠FBC ，
∵DF 平分∠ADE ，
∴∠ADF ＝∠FDE ，
∵∠ADF ＝∠ABF ，
∴∠ABF ＝∠FBC ，
∴BE 是∠ABC 的平分线，
∵AD
̂=BD ̂， ∴∠ACD ＝∠BFD ，
∵∠BFD +∠BCD ＝180°，∠DCT +∠BCD ＝180°，
∴∠DCT ＝∠BFD ，
∴∠ACD ＝∠DCT ，
∴CE 是△ABC 的外角平分线，
∴∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角．
（3）①如图2，连接CF，
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠F AD，
∴∠BEC＝∠F AD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC ＝90°，
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠F AC ＝∠EBC =12∠ABC ＝45°，
∵∠AED ＝45°，
∴∠AED ＝∠F AC ，
∵∠FED ＝∠F AD ，
∴∠AED ﹣∠FED ＝∠F AC ﹣∠F AD ，
∴∠AEG ＝∠CAD ，
∵∠EGA ＝∠ADC ＝90°，
∴△EGA ∽△ADC ，
∴AE AC =AG CD ，
∵在Rt △ABG 中，AB ＝8，∠ABG ＝45°，
∴AG =√22AB =4√2，
在Rt △ADE 中，AE =√2AD ，
∴
√2AD AC =4√25， ∴AD AC =45
， 在Rt △ADC 中，AD 2+DC 2＝AC 2，
∴设AD ＝4x ，AC ＝5x ，则有（4x ）2+52＝（5x ）2，
∴x =53
，
∴ED ＝AD =203，
∴CE ＝CD +DE =353， ∵∠BEC ＝∠FCE ，
∴FC ＝FE ，
∵FM ⊥CE ，
∴EM =12CE =356，
∴DM ＝DE ﹣EM =56
，
∵∠FDM ＝45°，
∴FM ＝DM =56，
∴S △DEF =12DE •FM =259．
13．（2020•湖州）如图，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 的直径，连接BD ，BC 平分∠ABD ．
（1）求证：∠CAD ＝∠ABC ；
（2）若AD ＝6，求CD ̂的长．
【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC ＝∠ABC ＝∠CAD ；
（2）由圆周角定理可得CD
̂=AC ̂，由弧长公式可求解． 【详解】解：（1）∵BC 平分∠ABD ，
∴∠DBC ＝∠ABC ，
∵∠CAD ＝∠DBC ，
∴∠CAD ＝∠ABC ；
（2）∵∠CAD ＝∠ABC ，
∴CD
̂=AC ̂， ∵AD 是⊙O 的直径，AD ＝6，
∴CD ̂的长=12×12×π×6=32
π． 14．（2019•绍兴）在屏幕上有如下内容：
如图，△ABC 内接于⊙O ，直径AB 的长为2，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．
（1）在屏幕内容中添加条件∠D ＝30°，求AD 的长．请你解答．
（2）以下是小明、小聪的对话：
小明：我加的条件是BD ＝1，就可以求出AD 的长
小聪：你这样太简单了，我加的是∠A ＝30°，连接OC ，就可以证明△ACB 与△DCO 全等．
参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD＝90°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD＝2，然后计算OA+OD即可；
（2）添加∠DCB＝30°，求AC的长，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明∠A＝∠DCB＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求AC的长．
【详解】解：（1）连接OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝2，
∴AD＝AO+OD＝1+2＝3；
（2）添加∠DCB＝30°，求AC的长，
解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠DCB＝90°，
∴∠ACO＝∠DCB，
∵∠ACO＝∠A，
∴∠A＝∠DCB＝30°，
在Rt△ACB中，BC=1
2AB＝1，
∴AC=√3BC=√3．
15．（2019•衢州）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
̂的长．
（2）若DE=√3，∠C＝30°，求AD
【分析】（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；
（2）连接AD，根据AC是直径，得到∠ADC＝90°，利用AB＝AC得到BD＝CD，解直角三角形求得BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD，根据题意证得△AOD是等边三角形，即可OD＝AD，然后利用弧长公式求得即可．
【详解】（1）证明：连接OD；
∵OD＝OC，
∴∠C＝∠ODC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∴∠ODE＝∠DEB；
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B ＝∠C ＝30°，BD ＝CD ，
∴∠OAD ＝60°，
∵OA ＝OD ，
∴△AOD 是等边三角形，
∴∠AOD ＝60°，
∵DE =√3，∠B ＝30°，∠BED ＝90°，
∴CD ＝BD ＝2DE ＝2√3，
∴OD ＝AD ＝tan30°•CD =√33×2√3=2，
∴AD ̂的长为：60π⋅2180=2π3．
16．（2019•金华）如图，在▱OABC 中，以O 为圆心，OA 为半径的圆与BC 相切于点B ，与OC 相交于点D ．
（1）求BD
̂的度数． （2）如图，点E 在⊙O 上，连接CE 与⊙O 交于点F ，若EF ＝AB ，求∠OCE 的度数．
【分析】（1）连接OB ，证明△AOB 是等腰直角三角形，即可求解；
（2）△AOB 是等腰直角三角形，则OA =√2t ，HO =√OE 2−EH 2=√2t 2−t 2=t ，即可求解．
【详解】解：（1）连接OB ，
∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，∴OB⊥OA，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
∴BD
̂的度数为45°；
（2）连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH＝t，
∵OH⊥EC，
∴EF＝2HE＝2t，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB＝CO＝EF＝2t，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=√2t，
则HO=√OE2−EH2=√2t2−t2=t，
∵OC＝2OH，
∴∠OCE＝30°．
17．（2019•温州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连接DE并延长交AB于点G，连接CD，CF．
（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．
（2）当BE＝4，CD=3
8AB时，求⊙O的直径长．
【分析】（1）连接AE ，由∠BAC ＝90°，得到CF 是⊙O 的直径，根据圆周角定理得到∠AED ＝90°，即GD ⊥AE ，推出CF ∥DG ，推出AB ∥CD ，于是得到结论；
（2）设CD ＝3x ，AB ＝8x ，得到CD ＝FG ＝3x ，于是得到AF ＝CD ＝3x ，求得BG ＝8x ﹣3x ﹣3x ＝2x ，求得BC ＝6+4＝10，根据勾股定理得到AB =√102−62=8＝8x ，求得x ＝1，在Rt △ACF 中，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接AE ，
∵∠BAC ＝90°，
∴CF 是⊙O 的直径，
∵AC ＝EC ，
∴CF ⊥AE ，
∵AD 是⊙O 的直径，
∴∠AED ＝90°，
即GD ⊥AE ，
∴CF ∥DG ，
∵AD 是⊙O 的直径，
∴∠ACD ＝90°，
∴∠ACD +∠BAC ＝180°，
∴AB ∥CD ，
∴四边形DCFG 是平行四边形；
（2）解：由CD =38AB ，
设CD ＝3x ，AB ＝8x ，
∴CD ＝FG ＝3x ，
∵∠AOF ＝∠COD ，
∴AF ＝CD ＝3x ，
∴BG ＝8x ﹣3x ﹣3x ＝2x ，
∵GE ∥CF ，
∴BE EC =BG GF =23， ∵BE ＝4，
∴AC ＝CE ＝6，
∴BC＝6+4＝10，
∴AB=√102−62=8＝8x，
∴x＝1，
在Rt△ACF中，AF＝3，AC＝6，
∴CF=√32+62=3√5，
即⊙O的直径长为3√5．
18．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，
①求证：OD=1
2OA．
②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．
（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．
【分析】（1）①连接OB、OC，则∠BOD=1
2BOC＝∠BAC＝60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC
面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；
（2）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx=1
2∠BOC＝∠DOC，而∠AOD＝∠COD+∠AOC
＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，即可求解．【详解】解：（1）①连接OB、OC，
则∠BOD=1
2∠BOC＝∠BAC＝60°，
∴∠OBC＝30°，
∴OD=1
2OB=
1
2OA；
②∵BC长度为定值，
∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，
当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD=3 2，
△ABC面积的最大值=1
2
×BC×AD=12×2OB sin60°×32=3√34；
（2）如图2，连接OC，
设：∠OED＝x，
则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，
则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx=1
2∠BOC＝∠DOC，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，
即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，
化简得：m﹣n+2＝0．
备注：此题还可采用以下解法：
连接OB ，延长DO 交AB 于点K ，
设∠PED ＝α，则∠AOK ＝2α，
∴∠BKD ＝90°﹣m α，
则∠BAO ＝90°﹣2∠BAO ＝2m α+4α＝2∠C ＝2n α，
∴m ﹣n +2＝0．
19．（2019•宁波）如图1，⊙O 经过等边△ABC 的顶点A ，C （圆心O 在△ABC 内），分别与AB ，CB 的延长线交于点D ，E ，连接DE ，BF ⊥EC 交AE 于点F ．
（1）求证：BD ＝BE ．
（2）当AF ：EF ＝3：2，AC ＝6时，求AE 的长．
（3）设AF EF =x ，tan ∠DAE ＝y ．
①求y 关于x 的函数表达式；
②如图2，连接OF ，OB ，若△AEC 的面积是△OFB 面积的10倍，求y 的值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和圆周角定理解答即可；
（2）过点A 作AG ⊥BC 于点G ，根据等边三角形的性质和勾股定理解得即可；
（3）①过点E 作EH ⊥AD 于点H ，根据三角函数和函数解析式解得即可；
②过点O 作OM ⊥BC 于点M ，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC ＝∠C ＝60°，
∵∠DEB ＝∠BAC ＝60°，∠D ＝∠C ＝60°，
∴∠DEB ＝∠D ，
∴BD ＝BE ；
（2）如图1，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，
∵△ABC 是等边三角形，AC ＝6，
∴BG =12BC =12AC =3，
∴在Rt △ABG 中，AG =√3BG ＝3√3，
∵BF ⊥EC ，
∴BF ∥AG ，
∴AF EF =BG EB ，
∵AF ：EF ＝3：2，
∴BE =23BG ＝2，
∴EG ＝BE +BG ＝3+2＝5，
在Rt △AEG 中，AE =√AG 2+EG 2=√(3√3)2+52=2√13；
（3）①如图1，过点E 作EH ⊥AD 于点H ，
∵∠EBD ＝∠ABC ＝60°，
∴在Rt △BEH 中，EH BE =sin60°=√32
，
∴EH =
√32BE ，BH =12BE ， ∵BG EB =AF EF
=x ， ∴BG ＝xBE ，
∴AB ＝BC ＝2BG ＝2xBE ，
∴AH ＝AB +BH ＝2xBE +12BE ＝（2x +12
）BE ，
∴在Rt △AHE 中，tan ∠EAD =EH AH =√32BE (2x+12)BE =√34x+1， ∴y =√34x+1；
②如图2，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，
设BE ＝a ，
∵BG EB =AF EF =x ，
∴CG ＝BG ＝xBE ＝ax ，
∴EC ＝CG +BG +BE ＝a +2ax ，
∴EM =12EC =12a +ax ，
∴BM ＝EM ﹣BE ＝ax −12a ，
∵BF ∥AG ，
∴△EBF ∽△EGA ，
∴BF AG =BE EG =a a+ax =11+x ，
∵AG =√3BG =√3ax ，
∴BF =1x+1AG =√3ax x+1
， ∴△OFB 的面积=
BF⋅BM 2=12×√3ax x+1(ax −12a)， ∴△AEC 的面积=EC⋅AG 2
=12×√3ax(a +2ax)， ∵△AEC 的面积是△OFB 的面积的10倍，
∴12×√3ax(a +2ax)=10×12×√3ax x+1(ax −12
a)， ∴2x 2﹣7x +6＝0，
解得：x 1=2，x 2=32，
∴y =√39或√37， 20．（2019•湖州）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1分别交x 轴和y 轴于点A （﹣3，0），B （0，3）．
（1）如图1，已知⊙P 经过点O ，且与直线l 1相切于点B ，求⊙P 的直径长；
（2）如图2，已知直线l 2：y ＝3x ﹣3分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线l 2上的一个动点，以Q 为圆心，2√2为半径画圆．
①当点Q 与点C 重合时，求证：直线l 1与⊙Q 相切；
②设⊙Q 与直线l 1相交于M ，N 两点，连接QM ，QN ．问：是否存在这样的点Q ，使得△QMN 是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明△ABC 为等腰直角三角形，则⊙P 的直径长＝BC ＝AB ，即可求解；
（2）证明CM ＝AC sin45°＝4×√22=2√2=圆的半径，即可求解；
（3）分点M 、N 在两条直线交点的下方、点M 、N 在两条直线交点的上方两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）如图1，连接BC ，
∵∠BOC＝90°，∴点P在BC上，
∵⊙P与直线l1相切于点B，
∴∠ABC＝90°，而OA＝OB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
则⊙P的直径长＝BC＝AB＝3√2；（2）过点作CM⊥AB，
由直线l2：y＝3x﹣3得：点C（1，0），
则CM＝AC sin45°＝4×√2
2
=2√2=圆的半径，
故点M是圆与直线l1的切点，
即：直线l1与⊙Q相切；
（3）如图3，
①当点M、N在两条直线交点的下方时，
由题意得：MQ＝NQ，∠MQN＝90°，
设点Q的坐标为（m，3m﹣3），则点N（m，m+3），
则NQ＝m+3﹣3m+3＝2√2，
解得：m＝3−√2；
②当点M、N在两条直线交点的上方时，
同理可得：m＝3+√2；
故点Q的坐标为（3−√2，6﹣3√2）或（3+√2，6+3√2）．。