大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案

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一、填空题
1．微分方程0)(
22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 答：1
2．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 答：)()1)((y M
x N y M φ=-∂∂-∂∂ 3．_________________________________________ 称为齐次方程.
答：形如)(x
y g dx dy =的方程 4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则
),(y x f dx dy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0 上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ= ,其中
=h _______________________ .
答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),min(m
b a h = 5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使 ______________________ ,则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.
答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-
6．方程22y x dx
dy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上 ,则经过点 )0,0(的解的存在区间是 ___________________ 答：
4141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i =是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程 ___________________________________
答：0)(1'=+w t a w
8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________
答：x x c x n i i i +=
∑=1
9．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{
})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________ 答：1)!
1(++n n
h n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程． 答：形如)()()(2x r y x q y x p dx
dy ++=的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是 区间．
答：开
12．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）
13．方程y x x
y sin d d 2=的所有常数解是 ． 答： ,2,1,0,±±==k k y π
14．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 在区间I 上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．
答：充分
15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ． 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）
16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．
答：x x x e ,e
17．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程
y x x y )(d d ϕ=的任一非零解 与x 轴相交． 答：不能
18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上 与x 轴相切．
答：不能
19．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．
答：没有
20．方程21d d y x
y -=的常数解是 ．
答：1±=y
21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．
答：必要
22．方程22d d y x x y
+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 答： xoy 平面
23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 ．
答：1,1±=±=x y
24．方程04=+''y y 的基本解组是 ．
答：x x 2cos ,2sin
25．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 答：2
二、单项选择题
1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．
（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2
2．如果),(y x f ，y y x f ∂∂)
,(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y
=的任一解的存在区间（
D ）．
（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+
（C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定
3．方程y x x y
+=-31
d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．
（A ）上半平面 （B ）xoy 平面
（C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面
4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．
（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解
（C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解
5. 方程21d d y x y
-=过点)1,2(π
共有（ B ）个解．
（A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三
6. 方程2d d +-=y x x
y （ B ）奇解． （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个
7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．
（A ）n 维 （B ）1+n 维 （C ）1-n 维 （D ）2+n 维
8．方程323d d y x
y =过点（ A ）． （A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解0=y （D ）只有两个解 9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（ B ）条件．
（A ）充分 （B ）充分必要 （C ）必要 （D ）必要非充分
10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．
（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间
（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间
11．方程y x y =d d 的奇解是（ D ）
． （A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y
12．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ C ）．
（A ）)()(21x x ϕϕ- （B ）)()(21x x ϕϕ+
（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （D ）)()(21x x C ϕϕ+
13．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f x
y =初值解唯一的（ D ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分
14. 方程1d d +=y x y （ C ）奇解．
（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个
15．方程32
3d d y x
y =过点(0, 0)有（ A ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、求下列方程的通解或通积分
1．3y
x y dx dy += 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以 cy y x +=2
3
另外 0=y 也是方程的解
2．求方程2y x dx
dy +=经过)0,0(的第三次近似解 解：0)(0=x ϕ
[]20
20121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ []5202
1
220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ []8115202
23160
14400120121)()(x x x x dx x x x x
+++=+=⎰ϕϕ 3．讨论方程
2y dx dy = ，1)1(=y 的解的存在区间 解：dx y dy =2
两边积分 c x y
+=-1 所以 方程的通解为 c
x y +-=
1 故 过1)1(=y 的解为 21--=x y 通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到 ２，
所以解的存在区间为 )2,(-∞
4． 求方程01)(22=-+y dx
dy 的奇解 解: 利用p 判别曲线得
⎩
⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得 12=y 即 1±=y 所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以 1±=y 是方程的奇解
5．0)1()1(cos 2=-++dy y
x y dx y x 解: y M ∂∂=2--y , x
N ∂∂=2--y , y M ∂∂=x N ∂∂ , 所以方程是恰当方程.
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos y
x y y v y x x u 得 )(sin y y x x u ϕ++= )('2y xy y
u ϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为 c y y
x x =++ln sin 6． x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+
解: x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为
2z dx dz -= , c x z +=1 即 c x x y +=-1sin , 故 c
x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy
解: 两边同除以2y 得
037322
=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--y
d xy d dx 所以 c y xy x =-
-732 , 另外 0=y 也是方程的解 8．2
1d d x xy x y += 解 当0≠y 时，分离变量得
x x x y y d 1d 2
+= 等式两端积分得
C x y ln )1ln(2
1ln 2++=
即通解为
21x C y +=
9. x y x
y 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为
x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为
x x C y 3e )(-=
代入原方程，确定出 C x C x +=
5e 51)( 原方程的通解为
x C y 3e -=+x 2e 51 10. 5d d xy y x
y += 解 方程两端同乘以5-y ，得
x y x
y y +=--45
d d 令 z y =-4，则x
z x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z x z =--d d 41 通解为
41e 4+
-=-x C z x 原方程通解为
41e 44+
-=--x C y x 11．0)d (d 222=-+y y x x xy
解 因为x
N x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为
C y y x xy y
x
=-⎰⎰020d d 2 即 C y y x =-
3231 12． y y x
y ln d d = 解：当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得
C x y
y y +=⎰⎰d ln d 通积分为 x C y e ln = 13．03)(22=+'+''x y y y
解 原方程可化为
0)(2='+'x y y 于是 12d d C x x
y y =+ 积分得通积分为
23123
121C x x C y +-= 14．x
y x y x y +-=2)(1d d 解：令xu y =，则
x
u x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x u x -= 分离变量，取不定积分，得
C x
x u u
ln d 1d 2+=-⎰⎰ （0≠C ） 通积分为： Cx x
y ln arcsin
= 15． x
y x y x y tan d d += 解 令u x
y =，则x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u x
u x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得
C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln +=
即通积分为： Cx x y =sin
16． 1d d +=x
y x y 解：齐次方程的通解为
Cx y = 令非齐次方程的特解为
x x C y )(=
代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为
Cx y =+x x ln
17. 0d d )e (2=+-y x x y x y
解 积分因子为
21
)(x x =μ
原方程的通积分为
1012d d )(e C y x x y y x x
=+-⎰⎰
即 1e ,e C C C x y
x +==+
18．0)(2='+''y y y
解：原方程为恰当导数方程，可改写为
0)(=''y y
即
1C y y ='
分离变量得
x C y y d d 1=
积分得通积分
21221
C x C y +=
19．1)ln (='-'y x y
解 令p y ='，则原方程的参数形式为
⎪⎩⎪⎨⎧
='+=p
y p p x ln 1
由基本关系式 y x y
'=d d ，有
p p p
p x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p
)d 11(-= 积分得 C p p y +-=ln
得原方程参数形式通解为
⎪⎩
⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 1
20．022=+'+''x y y y
解 原方程可化为
0)(2='+'x y y
于是 12d d C x x
y y =+ 积分得通积分为
23123121C x x C y +-= 21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解：由于x
N xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为
103023d d )(C y y x xy x y
x
=++⎰⎰ 即 C y y x x =++42242
四、计算题
1．求方程x y y e 2
1=-''的通解． 解 对应的齐次方程的特征方程为：
012=-λ
特征根为： 1,121-==λλ
故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21
因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为
x Ax x y e )(1=
代入原方程，有 x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=
-+， 可解出 41=A ． 故原方程的通解为 x x x x C C y e 4
1e e 21+
+=- 2．求下列方程组的通解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t
y y x t x 43d d 2d d ． 解 方程组的特征方程为
04321=----=-λλ
λE A
即 0232=+-λλ
特征根为 11=λ，22=λ
11=λ对应的解为
t b a y x e 1111⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----00143
21111b a 可解得1,111-==b a ．
同样可算出22=λ对应的特征向量分量为 3,212-==b a ．
所以，原方程组的通解为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．
解：方程的特征根为01=λ，52=λ
齐次方程的通解为 x C C y 521e +=
因为i i 5±=±βα不是特征根。

所以，设非齐次方程的特解为
x B x A x y 5cos 5sin )(1+=
代入原方程，比较系数得
⎩
⎨⎧=--=+-025*******B A B A 确定出 501-
=A ， 50
1=B 原方程的通解为 )5sin 5(cos 501e 521x x C C y x -++= 4．求方程255x y y -='-''的通解．
解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，
特征根为01=λ，52=λ，
齐次方程的通解为 x C C y 521e +=
因为0=α是特征根。

所以，设非齐次方程的特解为
)()(21C Bx Ax x x y ++=
代入原方程，比较系数确定出
31=
A ，51=
B ，252=
C 原方程的通解为 x x x C C y x 25
25131e 23521++++= 五、证明题
1．在方程)()(d d y y f x
y ϕ=中，已知)(y f ，)(x ϕ'在),(∞+-∞上连续，且0)1(=±ϕ．求证：对任意0x 和10<y ，满足初值条件00)(y x y =的解)(x y 的存在区间必为),(∞+-∞．
证明:由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． 显然1±=y 是方程的两个常数解．
任取初值),(00y x ，其中),(0∞+-∞∈x ,10<y ．记过该点的解为)(x y y =，由上面分析可
知，一方面)(x y y =可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过1=y ，下方不能穿过1-=y ，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为),(∞+-∞．
2．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．
证明:如果)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是二阶线性齐次方程
0)()(=+'+''y x q y x p y
的解，那么由刘维尔公式有
⎰=-x 0d )(0e
)()(x t t p x W x W 现在，0)(≡x p 故有
C x W x W x W x t ==⎰=-)(e
)()(0d 00x 0
3．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，已知)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切．
证明:由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(∞+-∞．
显然，该方程有零解0)(≡x y ．
假设该方程的任一非零解)(1x y 在x 轴上某点0x 处与x 轴相切，即有)()(01
01x y x y '== 0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(≡x y 可知),(,0)(1∞+-∞∈≡x x y ，这是因为零解也满足初值条件
)()(01
01x y x y '== 0，于是由解的惟一性，有∈≡≡x x y x y ,0)()(1,(-∞ )∞+．这与)(1x y 是非零解矛盾．
4．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．
证明: 设)(1x y ，)(2x y 是方程的基本解组，则对任意),(∞+-∞∈x ，它们朗斯基行列式在),(∞+-∞上有定义，且0)(≠x W ．又由刘维尔公式
⎰=-x 0d )(0e )()(x s s p x W x W ，),(0∞+-∞∈x
)(e )()(x 0d )(0x p x W x W x s s p ⎰='-
由于0)(0≠x W ，0)(≠x p ，于是对一切),(∞+-∞∈x ，有
0)(>'x W 或 0)(<'x W
故 )(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．
5．试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解 证明: 设黎卡提方程的一个特解为 y y =
令 y z y += , dx y d dx dz dx dy += 又 )()()(2x r y x q y x p dx
dy ++= dx
y d x r y z x q y z x p dx dz -++++=)())(())((2 由假设 )()()(2x r y x q y x p dx y d ++= 得 []
z x q y x p z x p dx dz )()(2)(2++= 此方程是一个2=n 的伯努利方程,可用初等积分法求解
6．试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程)()(x Q y x P dx
dy += , 当 )(x P , )(x Q 在[]βα,上连续时,其解存在唯一
证明: 令R : x ∈[]βα, , R y ∈
)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续, 则
)()(),(x Q y x P y x f += 显然在R 上连续 ,
因为 )(x P 为[]βα,上的连续函数 , 故)(x P 在[]βα,上也连续且存在最大植 , 记为 L
即 )(x P L ≤ , x ∈[]βα,
1y ∀,R y ∈2 2121)()(),(),(y x P y x P y x f y x f -=-=)(x P 21y y -21y y L -≤ 因此 一阶线性方程当)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续时,其解存在唯一。