15.1.1 从分数到分式.pptx
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15.1.1从分数到分式
例3：（1）当x_____时，分式
1 x2
的值为正；
1 x （2）当x______时，分式 x2 1 的值为负；
(3)已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于零，则k_______。
解：
3x 2
（1）由题意，得 1 0 ，根据实数的运算法则，同号两数 x 2 相除得正，异号两数相除得负，
(1)
x
x 2
1
;
(2)
x5 x2
; (3)
x2 1; (4) x 1
2 x2
5
解解：：((31))当当xx+21+≠1≠0，0，即即x≠x2≠-1-时1时，，分分式式有有意意义义
由x∵2-1x=2为0，非得负x数=±，1不，可但能x≠等-于1时-1，分式才有意义 因此∴，对当于x任=1意时实，数分x式，的分值式为都零有.意义 (4)∵当对x=一0时切，实分数式，的x2值≥为0 零. (∴2)x当2+x52≥≠50>，0，即∴x≠当0x时为，任分意式实有数意时义，分式有意义 由 这当于 样x分的-5子x=值0为，不2即存，x在永=5.远时不，为分零式，的所值以为分零式. 的值永远不为零，
3
3x 5
2 （3）当∣x∣-1≠0,即x≠±1时，分式 x 1 有意义。
（4）因为x无论取什么实数，x2+2>0,所以x取任何实数，
分式 x 2 都有意义。 x2 2
1. 填空：
2
(1)当x______时，分式 3x 有意义；
x
(2)当x______时，分式 x 1 无意义；
(3)当b______时，分式 1 有意义；
且B≠0时，分式 A 0 B
15.1.1从分数到分式课件2024-2025学年八年级上学期数学人教版
x 3
x3
的值是零.
提升：当求使分式值为零的字母的取值时，我们可以先求满足分子的值为零
时字母的值，再代入分母，检验是否为零，舍掉使分母为零的值；也可以直
接利用分子的值为零、分母的值不为零这两个条件共同确定字母的取值.
x 1
的值为1，求x的值.
3x 2
x 1
（2）若分式 3 x 2 的值为正数，求x的取值范围.
2
思考1：分式概念中的关键词是什么？
2.当x取何值时，下列分式有意义？
5
x
（1） ；（2）
；
2x
x 4
2x
x2
（3） 2 ；（4）
.
x +1
x 31 x
思考2：分式有意义、无意义的条件是什么？
3.当x取何值时，下列分式的值为零？
x +3
（1）
;
2x 7
x 2
（2）
x4
x 5x 6
x3
3.求当x取何值时，分式
的值：
x5
（1）为正数；
（2）为负数
4.当x为何值时，分式
x 3
的值是非负数？
x2 1
6
5.若整数m满足
为正整数，求整数m的值.
1+m
1
6.如果对于任何实数x，分式 x 2 2 x c 总有意义. 求c的取值范围.
x
7.若对于任意数x，分式 2
都有意义. 求m的取值范围.
x +m
(2) 5a 5b3c 15a 4b ;
(3) 12a 3 6a 2 3a 3a .
除法分为单项式除单项式；多项式除单项式的形式，整式除法的计算
15.1.1 从分数到分式
V
的圆柱形容器中,水面高度为______; S
S
V
思考
议一议：请大家观察式子 和 ，有S 什么V特点？
aS
请大家观察式子
和100 ，有什60么特点？
20 u 20 u
他们与分数有什么相同点和不同点？
相同点 都具有分数的形式
不同点 （观察分母） 分母中有字母
分式的定义
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称
解：x≠±1，且x≠－2
x 1xx有意11义x； 2
(2)当x取何值时，分式
无4意x义？5
3x 7
解：根据题意，得3x－7＝0，解得x＝ .
7
所以当x＝
时，7 分式
3
无意34 xx义-+．75
3
知识模块三 分式的值为零的条件
想一想： 分式 A的值为零应满足什么条件？
B
当A=0而 B≠0时， 分式 BA的值为零.
有意义；2
3x
有意义；x x 1
有意义；1 5 3x
取全体实数时，分式
有意义；x 1 x2 1
时32，分式
有意义x .1
2x 3
合作探究
1.分式
x2
x2
4x的9值3为零，求x的值；
解：
x2 – 9 = 0, x2 – 4x+3 ≠ 0.
解得x＝－3.
合作探究 2．当x取什么值时，分式
40
则高为 c7m；三角形的面积为S，底边为a，
2S
则高为 ；a
2．王老师骑自行车用了m小时到达距离家n千米的学校，则王老师
的平均速度是
n
千米/时；若乘公共汽车则可m少用0.2小时，则
的圆柱形容器中,水面高度为______; S
S
V
思考
议一议：请大家观察式子 和 ，有S 什么V特点？
aS
请大家观察式子
和100 ，有什60么特点？
20 u 20 u
他们与分数有什么相同点和不同点？
相同点 都具有分数的形式
不同点 （观察分母） 分母中有字母
分式的定义
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称
解：x≠±1，且x≠－2
x 1xx有意11义x； 2
(2)当x取何值时，分式
无4意x义？5
3x 7
解：根据题意，得3x－7＝0，解得x＝ .
7
所以当x＝
时，7 分式
3
无意34 xx义-+．75
3
知识模块三 分式的值为零的条件
想一想： 分式 A的值为零应满足什么条件？
B
当A=0而 B≠0时， 分式 BA的值为零.
有意义；2
3x
有意义；x x 1
有意义；1 5 3x
取全体实数时，分式
有意义；x 1 x2 1
时32，分式
有意义x .1
2x 3
合作探究
1.分式
x2
x2
4x的9值3为零，求x的值；
解：
x2 – 9 = 0, x2 – 4x+3 ≠ 0.
解得x＝－3.
合作探究 2．当x取什么值时，分式
40
则高为 c7m；三角形的面积为S，底边为a，
2S
则高为 ；a
2．王老师骑自行车用了m小时到达距离家n千米的学校，则王老师
的平均速度是
n
千米/时；若乘公共汽车则可m少用0.2小时，则
从分数到分式PPT精品课件1
1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你努力的不够多。 2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。 3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力 ! 4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂 不自在，哪里来的尘埃! 5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。 6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。 7、生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中; 像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。 8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受; 有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。 9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有; 不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。 10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。 11、人生的某些障碍，你是逃不掉的。与其费尽周折绕过去，不如勇敢地攀登，或许这会铸就你人生的高点。 12、有些压力总是得自己扛过去，说出来就成了充满负能量的抱怨。寻求安慰也无济于事，还徒增了别人的烦恼。 13、认识到我们的所见所闻都是假象，认识到此生都是虚幻，我们才能真正认识到佛法的真相。钱多了会压死你，你承受得了吗 ?带，带不走，放，放不下。时时刻刻发悲心，饶益众生为他人。 14、梦想总是跑在我的前面。努力追寻它们，为了那一瞬间的同步，这就是动人的生命奇迹。 15、懒惰不会让你一下子跌倒，但会在不知不觉中减少你的收获; 勤奋也不会让你一夜成功，但会在不知不觉中积累你的成果。人生需要挑战，更需要坚持和勤奋 ! 16、人生在世：可以缺钱，但不能缺德;可以失言，但不能失信; 可以倒下，但不能跪下; 可以求名，但不能盗名 ; 可以低落，但不能堕落; 可以放松，但不能放纵;可以虚荣，但不能虚伪; 可以平凡，但不能平庸; 可以浪漫，但不能浪荡;可以生气，但不能生事。 17、人生没有笔直路，当你感到迷茫、失落时，找几部这种充满正能量的电影，坐下来静静欣赏，去发现生命中真正重要的东西。 18、在人生的舞台上，当有人愿意在台下陪你度过无数个没有未来的夜时，你就更想展现精彩绝伦的自己。但愿每个被努力支撑的灵魂能吸引更多的人同行。 19、积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会中看到了某种忧患。莫找借口失败，只找理由成功。 20、每一个成就和长进，都蕴含着曾经受过的寂寞、洒过的汗水、流过的眼泪。许多时候不是看到希望才去坚持，而是坚持了才能看到希望。
【数学课件】15.1.1从分数到分式
分母中不含有字母的式子是整式． 解：分式有 2x , 2x ；
x x y
整式有 3a2，x 2 , a 2b , 3 . 2 π+2
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
判断一个式子是否是分式的方法：首先要具
有
A B
的形式，其次A，B是整式，最后看分母是
不是含有字母，分母含有字母是判定分式的关键
条件．
（来自《点拨》）
而与分式的分子的值是否为0无关．
（来自《点拨》）
知2－讲
【例2】下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
2 （1） 3 x ;
（2）
x
x
1
;（3）
5
1 3b
;
x y （4）x y .
解：（1）要使分式
2 3x
有意义，则分母3x≠0，即x ≠0.
（2）要使分式 x 有意义，则分母x-1≠0，即x ≠1. x1
1
y
;
（2） x 1 ; x1
（5） 2a b ; 3a b
（3） 2m ; 3m 2
（6）
2 x2 1.
（来自教材）
知识点 3 分式的值为零的条件
知3－导
分式值为零的条件及求法： (1)条件：分子为0，分母不为0. (2)求法：①利用分子等于0，构建方程．②解方程
求出所含字母的值．③代入验证：将所求的值 代入分母，验证是否使分母为0，若分母不为0， 所求的值使分式值为0；否则，应舍去．
（来自教材）
知1－练
2 下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式 子的区别是什么？
1 ，x x3
,
4 3b2
5
,
2a 3
15.1.1从分数到分式.1.1从分数到分式课件 人教新课标版
A 有意义 B
2、分式
A B
的应满足什么条件，分式无意义？
分母B=0时，分式
A B
无意义
(1)当 x__0 _时 _,分 _ 式 32x有意 . 义 牛 (2)当 x__1 _时 _,分 _ 式 x 有意 . 义 刀 (3)当 b_ _53 _时 _,分 _ x5 式 113b有意 . 小 试义
S
V
请大家观察式子
S a
v,Βιβλιοθήκη ,90, 60
s 30 v 30 v
与分数 10 7
, 200 33
有什么相同点和不同点？
都是 A （即A÷B）的形式 B
分数的分子A与分母B都是整数 这些式子中的A与B都是整式，
并且分母 B中含有字母
分式定义:
一般地，如果A、B表示两个整式
，并且B中含有字母，那么式子 A B
问题1一艘轮船在静水中的速度为30千米/时，水流速度为 3千米/时，请问这艘轮船顺流航行的速度为（33km/h ）， 逆流航行的速度为（ 27km/h ）
问题2 一艘轮船在静水中的最大航速是30千米/时,它沿江
以最大船速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流
航行60千米所用的时间相等，江水的流速是多少?
思考填空
1.长方形的面积为10cm²,长为7cm.宽应为
10
___7 ___cm;长方形的面积为S,长为a,宽应
S
为__a____;
S
?
a
2.把体积为200cm³的水倒入底面积为
33cm²的圆柱形容器中,水面高度为
200 __3_3 __cm;把体积为V的水倒入底面积为S
v 的圆柱形容器中,水面高度为___s ___;
15.1.1+从分数到分式 课件 -2024—-2025学年人教版数学八年级上册
−
不
同
点
+
−
分数
形如
形如
分数
从形式上
的形式
的形式
从分子上
从分母上
整式
整式
且含有字母
整数
整数
练习1.判断下列式子是否是分式？并说明理由.
1
(1) ;
x
是
x
2 ;
2
不是
x y
(3)
;
x
是
1
c
(4) x y ; (5)
.
4
a b
不是
是
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
2
(1) ;
3x
x
2
;
x 1
1
(3)
;
5 3b
x y
(4)
.
x y
• 例2：当取何值时，下列分式的
值为零.
• （1）x 2 （2） x 3
x 1
x3
练习2. 填空：
2
m
（1）当
3 时，分式
2m
有意义；
3m 2
（2）实际完成造林任务用了多少个月？
固沙造林总面积
原计划每月固沙造林面积
实际完成时间=
实际每月固沙造林面积
问题1
填空：
10
（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为 7 cm；
若长方形的面积为 ，长为 ,宽应为
a
S
.
S
a
（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容
不
同
点
+
−
分数
形如
形如
分数
从形式上
的形式
的形式
从分子上
从分母上
整式
整式
且含有字母
整数
整数
练习1.判断下列式子是否是分式？并说明理由.
1
(1) ;
x
是
x
2 ;
2
不是
x y
(3)
;
x
是
1
c
(4) x y ; (5)
.
4
a b
不是
是
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
2
(1) ;
3x
x
2
;
x 1
1
(3)
;
5 3b
x y
(4)
.
x y
• 例2：当取何值时，下列分式的
值为零.
• （1）x 2 （2） x 3
x 1
x3
练习2. 填空：
2
m
（1）当
3 时，分式
2m
有意义；
3m 2
（2）实际完成造林任务用了多少个月？
固沙造林总面积
原计划每月固沙造林面积
实际完成时间=
实际每月固沙造林面积
问题1
填空：
10
（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为 7 cm；
若长方形的面积为 ，长为 ,宽应为
a
S
.
S
a
（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容
从分数到分式课件
• 课后思考： 分式的值为正数需要什么条件？分式值为
负数又需要什么条件？
【例题】
下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义.
（1） 2
3x
解：要使分式有意义，分母 3x≠0 ， 即 x≠0
（2） x
x 1
解：要使分式有意义，分母 x－1≠0 ，
即 x≠1
下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义.
（3） 1
5 3b
解：要使分式有意义，分母 5－3b≠0 即b≠ 5
分式的特点：
• 分式和分数相比较，形式相同。分数的分 子和分母都是整数；分式的分子和分母都 是整式，并且分母中含有字母。
• 分式和整式相比较，整式可以没有分母， 或者有分母，但分母中没有字母；分式一 定有分母，并且分母中含有字母。
分式的特点：分母中含有字母
【例题】
判断：下面的式子哪些是整式？哪些是分式？
（4） x y 3
xy
解：要使分式有意义，分母 x－y≠0
即 x≠y
【跟踪训练】
已知分式 x2 -4 ,
x+2
(1) 当x为何值时，分式无意义? (2) 当x为何值时，分式有意义?
解：(1) 当分母等于零时,分式无意义.
即 x+2=0 ∴ x =-2， ∴当x = -2时分式 x2 -4 无意义.
,c
3(a
b)
.
解：整式有：2a 5 , a .
3 2π
分式有： x x2 y2
,
mn mn
,
x2 x2
2y 1 2y 1
,c
3(a b)
.
知识点2（重点）： 分式有意义的条件:
分式
A B
的分母有什么条件限制（类比分数）
负数又需要什么条件？
【例题】
下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义.
（1） 2
3x
解：要使分式有意义，分母 3x≠0 ， 即 x≠0
（2） x
x 1
解：要使分式有意义，分母 x－1≠0 ，
即 x≠1
下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义.
（3） 1
5 3b
解：要使分式有意义，分母 5－3b≠0 即b≠ 5
分式的特点：
• 分式和分数相比较，形式相同。分数的分 子和分母都是整数；分式的分子和分母都 是整式，并且分母中含有字母。
• 分式和整式相比较，整式可以没有分母， 或者有分母，但分母中没有字母；分式一 定有分母，并且分母中含有字母。
分式的特点：分母中含有字母
【例题】
判断：下面的式子哪些是整式？哪些是分式？
（4） x y 3
xy
解：要使分式有意义，分母 x－y≠0
即 x≠y
【跟踪训练】
已知分式 x2 -4 ,
x+2
(1) 当x为何值时，分式无意义? (2) 当x为何值时，分式有意义?
解：(1) 当分母等于零时,分式无意义.
即 x+2=0 ∴ x =-2， ∴当x = -2时分式 x2 -4 无意义.
,c
3(a
b)
.
解：整式有：2a 5 , a .
3 2π
分式有： x x2 y2
,
mn mn
,
x2 x2
2y 1 2y 1
,c
3(a b)
.
知识点2（重点）： 分式有意义的条件:
分式
A B
的分母有什么条件限制（类比分数）
人教版八年级上册数学课件 15.1.1 从分数到分式(共20张PPT)
.
解：分式：1 ， 4 , m n x 3b2 5 m n
整式：x ，2a 5 ,3 x y ,2x y
334
π
两类式子的区别在于整式的分母中不含字母，
而分式的分母中含有字母.
3.当x取什么值时，下列分式有意义？
(1) 1 ;(2) 1 ;(3) x 5 ;(4) 1 ;(5) x . 3x 3 x 3x 5 x2 16 x 3
在经历探索、思考、类比的过程中，体会分式的意义，感受分式是刻画现实问题中数 量关系的一种模型. （三）情感态度
进一步增强从特殊到一般的认知过程，发展学生的数学思维能力. 二、教学重点 理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围的判别方法. 三、教学难点 在分式有意义的条件下，分式值为0的字母的取值情况.
第十五章 分式
15.1 分式
15.1.1 从分数到分式
5÷3可以写成分数 5，那么x÷y可以写成这样 的形式吗？如果你认为3 行，那么这个式子是我
们以前学习的整式吗？那它是什么式子呢？通
过今天的学习，我们会进一步认识它.
一、教学目标 （一）知识与技能
理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取 值范围或字母之间的相互关系. （二）过程与方法】
（4）填空：
（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应
10 为 7 cm；长方形的面积为S，长为a，宽 应为 S cm.
a
（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积200为33 cm2 的圆柱形容器中，水面高度为 33 cm；
把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形
容器中，水面高度为 V . S
追问1 上面问题中得到的式子 10 ，S ，200 ，V
#15. 1 . 1从分数到分式
.
解⑴： 由分子x+2=0，得 x=-2。
而当 x=-2时，分母 2x－5=-4－５≠0。
所以当x=-2时，分式
x2 2x 5
的值是零。
解⑵ ：由分子|x|－2=0，得 x=±2。
当x=2时，分母 2x+4=4+4≠0。
当x=-2时，分母 2x+4=-4+4=0。
所以当x=2时，分式
|x 2x
|
2 4
的值是零。
•分式有意义的条件：
• 分式的分母不等于零
•分式的值为零的条件：
• 分式的分子等于零 且分母不等于零
•分式无意义的条件：
分式的分母等于零
1.判断下列代数式是否为分式？
（ 1） m,m,1x2,
5 a2b2 xy , ,
8 a3 x6 2 5x2y
（2）5，a2 ,a1 a b
V
S
cm.
1、上面的问题出现了代数式:
90 x
,
60 x
6
,
m n
,
2400 x
,
2400 x 30
,
S a
V S
它们有什么共同特征？类似分数 , 分母中都有字母.
它们与分数有什么相同点和不同点？
相同点: 这些式子与分数一样都是
A B
(即A÷B)
的形式
不同点:分数的分子A与分母B都是整数,而这些式 子中的A,B都是整式,并且B中含有字母.
15.1 .1从分数到分式
1、下列两个整数相除如何表示成分数的形式：
3
10
3÷4= 4 , 10 ÷ 3= 3 ,
2、在代数式中，整式的除法也可以类似地表示。
15.1.1从分数到分式
的分子，B为分式的分母。 注意：分式是不同于整式的另一类有理
式，且分母中含有字母是分式的一大特 点。
类比分数，分式的概念及表达形式:
被除数÷除数=商数
被除式÷除式=商式
如:
3
÷5
3
=5
类比 如: (v-v0) ÷ t
=
v-v0
t
整数 整数 分数
整式(A) 整式(B) 分式(AB )
判断：下面的式子哪些是分式？
即 x+2=0
∴ x = -2
∴当x = -2时分式:
x2 4 无意义。
x2
(2)由（１）得 当x ≠-2时，分式有意义
试一试
x2 4 2. 已知分式 x 2 ,
(3) 当x为何值时，分式的值为零?
(4) 当x= - 3时，分式的值是多少?
解：(３)当分子等于零而分母不 等于零时,分式的值为零。
第十五章 分式
15.1 分式
15.1.1 从分数到分式
双甸中学806 王春梅
思考填空
1.长方形的面积为10cm²,长为7cm.宽应为
10
___7___cm;长方形的面积为S,长为a-20,宽应
S
为__a____2; 0
S
?
a-20
2.把体积为200cm³的水倒入底面积为
33cm²的圆柱形容器中,水面高度为
2.分式 A 无意义的条件是____B_=_0____．
B
3.分式
A B
值为0的条件是__A_≠_0_且_B_=_0_____．
．
再见
（４）当x ＝ -３时，
x2 4
则 x2 - 4=0
∴x =
∴ x ≠ -2
式，且分母中含有字母是分式的一大特 点。
类比分数，分式的概念及表达形式:
被除数÷除数=商数
被除式÷除式=商式
如:
3
÷5
3
=5
类比 如: (v-v0) ÷ t
=
v-v0
t
整数 整数 分数
整式(A) 整式(B) 分式(AB )
判断：下面的式子哪些是分式？
即 x+2=0
∴ x = -2
∴当x = -2时分式:
x2 4 无意义。
x2
(2)由（１）得 当x ≠-2时，分式有意义
试一试
x2 4 2. 已知分式 x 2 ,
(3) 当x为何值时，分式的值为零?
(4) 当x= - 3时，分式的值是多少?
解：(３)当分子等于零而分母不 等于零时,分式的值为零。
第十五章 分式
15.1 分式
15.1.1 从分数到分式
双甸中学806 王春梅
思考填空
1.长方形的面积为10cm²,长为7cm.宽应为
10
___7___cm;长方形的面积为S,长为a-20,宽应
S
为__a____2; 0
S
?
a-20
2.把体积为200cm³的水倒入底面积为
33cm²的圆柱形容器中,水面高度为
2.分式 A 无意义的条件是____B_=_0____．
B
3.分式
A B
值为0的条件是__A_≠_0_且_B_=_0_____．
．
再见
（４）当x ＝ -３时，
x2 4
则 x2 - 4=0
∴x =
∴ x ≠ -2