高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行课时作业北师大版选修2-1(2021年整

2018-2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.4 用向量讨论垂直与平行课时作业北师大版选修2-1
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2.4 用向量讨论垂直与平行
[基础达标］
1。

若错误!＝(1，2，3），错误!＝(－1,3,4)，则以下向量中能成为平面OAB 的法向量的是（ )
A ．(1，7，5)
B ．(1，－7，5）
C ．（－1,－7，5)
D ．（1，－7，－5）
解析:选C 。

因为（－1，－7，5）·(1,2，3）＝－1－14＋15＝0，(－1，－7，5)·（－1，
3，4)＝1－21＋20＝0，
所以向量(－1，－7，5）能成为平面OAB 的法向量．
错误!若直线l 的方向向量为a ＝（1，0,2）,平面α的法向量为u ＝（－2，0，－4),则( )
A ．l ∥α
B ．l ⊥α
C ．l
α
D ．l 与α斜交
解析：选B.∵u ＝－2a ,a 与u 共线，∴l ⊥α。

3.已知A （1，－2，11)，B （4，2,3），C （6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形
解析：选C.错误!＝(－5，－1，7),错误!＝（－2，3，－1），由于错误!·错误!＝0且|错误!｜
≠｜错误!|，故选C.
4.已知平面α与β的一个法向量分别是a ＝(x ，2，2)，b ＝（1，3,y ),若α⊥β，且|a ｜＝2错误!，则y ＝（ )
A ．－5
B ．－1
C ．4或－4
D ．－5或－1
解析：选D.∵α⊥β，∴a ⊥b ，即x ＋6＋2y ＝0①,
又｜a |＝2错误!，∴x 2
＋22
＋22
＝24②，由①②解得y ＝－5或y ＝－1。

5。

在直三棱柱ABC .A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1，AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，则A 1E 与平面AB 1C 1
的位置关系是( ）
A ．相交但不垂直
B ．A 1E ∥平面AB 1
C 1 C ．A 1E ⊥平面AB 1C 1
D ．A 1E
平面AB 1C 1
解析:选A 。

建立如图所示的空间直角坐标系．
取｜AB|＝1，则A(0，0，0)，B(1,0，0）,C(0，1，0),E（错误!，错误!，0）,A1(0，0，1），B
(1，0，1)，C1（0,1，1)，错误!＝(错误!，错误!,－1）。

错误!＝(1,0，1)，错误!＝(0，1，1), 1
由于错误!·错误!≠0，错误!·错误!≠0，故选A。

错误!已知点A(2，4，0)，B(1，3，3），则直线AB与平面yOz交点C的坐标是________．解析：令C的坐标为(0，y，z)，
则由AB，→＝λ错误!，得错误!解得错误!
答案:(0，2,6)
错误!设平面α的一个法向量为（3，2,－1）,平面β的一个法向量为（－2，－错误!，k），若α∥β,则k等于________．
解析：∵α∥β，∴(3，2，－1）＝λ(－2，－错误!，k），即错误!，解得k＝错误!.
答案：错误!
错误!平面α与平面β的法向量分别是m，n，直线l的方向向量是a，给出下列论断:
①m∥n⇒α∥β；②m⊥n⇒α⊥β；③a⊥m⇒l∥α；④a∥m⇒l⊥α.
其中正确的论断为________（把你认为正确论断的序号填在横线上）．
解析：m∥n⇒α∥β或α、β重合，①不正确；②m⊥n⇒α⊥β，②正确；③a⊥m⇒l∥α或lα，③不正确；a∥m⇒l⊥α,④正确．
答案:②④
9。

如图，在四棱锥S.ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别为AB、
SC的中点．证明：EF∥平面SAD。

证明：建立如图所示的空间直角坐标系．
设A (a ，0,0)，S (0,0,b )，则B (a ,a ，0），C （0，a ，0),E 错误!，F 错误!.错误!＝错误!。

取SD 的中点G 错误!,连接AG ，则错误!＝错误!. 因为错误!＝错误!，所以EF ∥AG ， 又AG
平面SAD ，E F ⃘平面SAD ，
所以EF ∥平面SAD 。

错误!如图，正方体ABCD .A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是B 1B ,AB ，BC 的中点．证明：D 1F ⊥平面
AEG 。

证明:设错误!＝a ，错误!＝b ，错误!＝c ，则错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝－错误!－错误!＋错误!
错误!＝错误!a －b －c ，
错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝a ＋错误!b ， 错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝a ＋错误!c ，
∴D 1F →·错误!＝(错误!a －b －c )·（a ＋错误!b )＝0， ∴错误!⊥错误!，即D 1F ⊥AG 。

错误!·错误!＝（错误!a －b －c ）·(a ＋错误!c ）＝0，
∴错误!⊥错误!，即D 1F ⊥AE ，又AE ∩AG ＝A ， ∴D 1F ⊥平面AEG .
［能力提升]
错误!已知平面α内有一点A （2,－1,2），它的一个法向量为n ＝(3,1，2)，则下列点P 中,
在平面α内的是( )
A ．（1，－1,1）
B ．（1，3，错误!)
C ．（1，－3,错误!)
D ．（－1，3，－错误!）
解析：选B 。

要判断点P 是否在平面内,只需判断向量错误!与平面的法向量n 是否垂直,即判断错误!·n 是否为0即可,因此，要对各个选项进行逐个检验．
对于选项A ，错误!＝(1，0，1)，则错误!·n ＝（1，0，1)·(3,1，2)＝5≠0，故排除A ； 对于选项B ，错误!＝(1，－4,错误!）,则错误!·n ＝（1，－4，错误!）·（3，1，2)＝0，故选B.
2.如图,以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，有以下四个结论：
①错误!·错误!≠0； ②∠BAC ＝60°；
③三棱锥D .ABC 是正三棱锥；
④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．
其中正确结论的序号是________(请把正确结论的序号都填上）．
解析：∵DA 、DB 、DC 两两垂直，且｜DA ｜＝|DB |＝|DC ｜，∴△ABC 为正三角形；D 在平面
ABC 上的射影在△ABC 中心，故三棱锥D .ABC 为正三棱锥，故①④不正确，②③正确．
答案：②③
错误!(1)如图所示,已知平行六面体
ABCD 。

A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD
＝∠BCD ＝60°.求证：CC 1⊥BD .
（2）如图，已知平行四边形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝错误!BD ，AN ＝错误!AE ,求证：MN ∥平面CDE .
证明:(1）设错误!＝a ，错误!＝b ，
错误!＝c ,则|a ｜＝｜b |。

∵错误!＝错误!－错误!＝b －a ，
∴错误!·错误!＝（b －a )·c ＝b ·c －a ·c ＝|b |｜c |cos 60°－｜a ||c ｜cos 60°＝0， ∴CC 1→⊥BD ，→，即CC 1⊥BD . （2）错误!＝错误!＋错误!＋错误! ＝错误!错误!＋错误!＋错误!错误!
＝错误!(错误!＋错误!）＋错误!＋错误!（错误!＋错误!）
＝1
3
错误!＋错误!错误!＋错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!. 又错误!与错误!不共线,根据共面向量定理，可知错误!，错误!,错误!共面．因为MN 不在平面
CDE内，所以MN∥平面CDE.
4．（1）在三棱柱ABC。

A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝2，AA1＝3,D是AC的中点,问在侧棱AA1上是否存在点P,使CP⊥平面BDC1，并证明你的结论．
（2)已知：四棱锥P。

ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且PA＝AB＝2，∠ABC ＝60°，BC，PD的中点分别为E，F。

在线段AB上是否存在一点G，使得AF∥平面PCG?若存在,指出G在AB上的位置并给出证明;若不存在，请说明理由．
解：（1）不存在．证明如下：以C1为原点，C1A1,C1C，C1B1所在直线分别为x，y，z轴，建
立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，3,2），C（0，3,0），D(1，3，0），
∴C1B，→＝（0，3，2)，错误!＝(1，3，0）．
假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3）使CP⊥平面BDC1,错误!＝（2，y－3，0），∴错误!即错误!
∴错误!这样的y不存在．
∴侧棱AA1上不存在点P,使CP⊥平面BDC1。

(2)由题意知PA⊥平面ABCD，又因为底面ABCD是菱形，得AB＝BC且∠ABC＝60°，所以△ABC是正三角形，连接AE,又E是BC的中点,∴BC⊥AE，故AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE，AD,AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（图略），
∵PA＝AB＝2,故A（0，0，0)，B(错误!，－1，0)，P(0，0，2)，F(0,1，1）,C(错误!,1，0)，
∴错误!＝(0，0，－2），错误!＝（错误!,1，－2),错误!＝(0，1，1）．
假设在线段AB上存在点G，使得AF∥平面PCG，
则错误!＝λ错误!（0≤λ≤1)，
∵错误!＝（错误!，－1,0)，
∴错误!＝λ错误!＝(错误!λ,－λ，0）．
∴错误!＝错误!＋错误!＝(错误!λ,－λ，－2)，
设平面PCG的法向量为n＝（x，y，z),
由错误!
即错误!令y＝1，
得n＝（错误!,1，错误!）．
∵AF∥平面PCG，∴错误!·n＝0，
解得λ＝错误!，
故在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG.。