吉林省榆树一中等五校2018-2019学年高二上学期期末联考数学(理)试题

2018－2019学年度第一学期期末考试
高二数学（理）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.“||0a ≠”的含义是 A ．a 、b 全不为0 B ．a 、b 不全为0
C ．a 、b 至少有一个为0
D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0
2.已知a R ∈，245p a a =-+，2
(2)q a =-，则p 与q 的大小关系为
A ．p q ≤
B ．p q ≥
C ．p q <
D ．p q >
3.空间任意五个点A 、B 、C 、D 、E ，则DA AE CD CB EA ++-+等于 A ．DB B ．AC C ．AB D ．BA
4.数列{}n a 满足112a =，111n n
a a +==，那么2018a = A ．-1 B ．
1
2
C. 1 D ．2 5.若焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程是1
2
x y =-，则该双曲线的离心率是
A D 6.在ABC ∆中，内角A ，
B ，
C 所对的边分别是a ，b ，c .若222
26c ab a b +=++，23
C π
=
，则ABC ∆的面积是
A ．3
B ．7.设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、
C 为该抛物线上三点，A 、B 、C 三点坐标分别为11(,)x y 、
22(,)x y 、33(,)x y .若||||||9FA FB FC ++=，则123x x x ++=
A ．9
B ．6 C. 4 D ．3
8.在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 为BAC ∠的平分线，2AB AC =，则 A ．2AB AD =
B ．3AB AD = C. 2AB AD =或3AB AD =
D ．5AB AD =
9.已知数列{}n a 是公比为3的等比数列，且2469a a a ++=，则13793
log ()a a a ++的值是
A ．
15 B ．1
5
- C. 5 D ．-5 10.命题p ：函数()lg 1f x x =+有零点；命题q ：存在α、β，使cos()cos cos αβαβ-=-，在p q ∨，
p q ∧，p ⌝，q ⌝，p q ⌝∨中真命题有
A ．1个
B ．2个 C. 3个 D ．4个
11.多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截得到的，建立下图的空间直角坐标系，已知
(0,0,0)D 、(2,4,0)B 、(2,0,0)A 、(0,4,0)C 、(2,4,1)E 、1(0,4,3)C .若1AEC F 为平行四边形，则点C
到平面1AEC F 的距离为
A ．
33 B ． D
12.已知0x >，0y >，4322x y
⋅=，则
11
25x y
+
的最小值是 A ．2 B ．8 C. 4 D ．6
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.写出命题“若0ac ≤，则方程220170(0)ax x c a -+=≠的两根不全大于0”的一个等价命题是 ．
14.设x ，y 满足约束条件33,
1,0,x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
则z x y =+的最小值为 ．
15.我舰在岛A 南偏西50︒方向相距12nmile 的B 处发现敌舰正从岛A 沿北偏西10︒的方向航行，若我舰以
28/nmile h 的速度用1小时追上敌舰，则敌舰的速度为 /nmile h ．
16.下列四个命题中，正确的有 ．
①如果a 、b 与平面α共面且n a ⊥，n b ⊥，那么n 就是平面α的一个法向量；
②设p ：实数x ，y 满足22
(1)(1)2x y ---≤；q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩
则p 是q 的充分不必要条
件；
③已知椭圆2212:1(1)x C y m m +=>与双曲线22
22:1(0)x C y n n
-=>的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的
离心率，则m n >，且121e e >；
④菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在ABC ∆
中，如果1c a -=，且45B =︒，求A ∠的度数.
18. 已知命题3
13:()m p f x x
-=
在区间(0,)+∞上是减函数：命题q ：不等式2
44x x m ->-的解集为R .
若命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围.
19. 已知数列{}n a 满足12a =，*122()n n n a a n N +-=∈，数列{}n b 满足2n
n n
a b =. 求数列{}n a 的前n 项和n S .
20. 设1F 、2F 分别是椭圆2
2
2:1(01)y E x b b
+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 与
E 相交于A 、B 两点，且4
||3
AB =
.若直线l 的斜率为1，求椭圆E 的标准方程. 21. 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，且1abc =. 求证：22
2111a b c a b c
++<
++. 22.如图，BC ⊥平面CDP ，四边形ABCD 是正方形，CDP ∆为等腰直角三角形，CP AD >，E 是PC 的中点.
（1）证明：PA ∥平面BDE . （2）求二面角B DE C --的余弦值.
试卷答案
一、选择题
1-5: BDDAA 6-10: CBBDC 11、12：DC
二、填空题
13. 若方程2
20170(0)ax x c a -+=≠的两根均大于0，则0ac > 14. 1 15. 20 16. ③④
三、解答题
17.
解：由1c a -=
，得2
a c =
.
由正弦定理得：
sin sin 2
A C =
，
即2sin(135)C C ︒-=，
即2(sin135cos cos135sin )C C C ︒-︒=. 所以cos 0C =，得：90C =︒. 又因为45B =︒，所以45A =︒， 从而A ∠的度数为45︒. 18. 解：对于命题p ，由313()m f x x -=
在区间(0,)+∞上是减函数，得130m ->，解得：1
3
m <；对于命
题q ，不等式2
44x x m ->-的解集为R 等价于不等式2(2)x m ->的解集为R ， 因为2
(1)0x -≥恒成立，所以0m <.
因为命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，所以命题p 和命题q 一真一假.
当命题p 为真，命题q 为假时，1,
30m m ⎧
<⎪⎨⎪≥⎩得：103m ≤<；
当命题p 为假，命题q 为真时，1,30
m m ⎧
≥⎪
⎨⎪<⎩此时m 不存在，
故实数m 的取值范围是1(0,)3
. 19.解：由2n n n a b =
，得：1112n n n a b +++=，即1111
222
n n n n
n n a a b b +++-=-=， 所以数列{}n b 是等差数列，首项11b =，公差为1
2
. 所以111(1)22
n n b n +=+
-=，所以12(1)2n n n n a b n -==+⨯. 所以12n n S a a a =+++=12132(1)2n n -⨯+⨯+
++⨯①
所以2n S =22232(1)2n n ⨯+++
++⨯②
①-②得：n S -=22121222(1)2n n -⨯++++-+⨯2(1)22n n n n n =-+⨯=-.
即2n n S n =.
20. 解：设l 的方程式为y x c =+
，其中c =设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则两点坐标满足222,1
y x c y x b =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
，化简得：222(1)2120b x cx b +++-=.
则12221c x x b -+=+，2
122
121b x x b -=+.
因为直线AB 的斜率为1
，所以21|||AB x x =-，
即214|3x x =-，则212128()49x x x x =+-22422222
4(1)4(12)8(1)1(1)
b b b b b b --=-=+++，解得：2
12b =. 所以所求的椭圆E 的标准方程为：2
2
112
y x +=. 21. 证明：因为a ，b ，c 都是正实数，且1abc =， 所以
221122c a b ab +≥=，221122a b c bc +≥=，221122b a c ac
+≥=， 以上三个不等式相加，得：2221112(
)2()a b c a b c ++≥++，即222111
a b c a b c
++≥++， 因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中的“=”不都成立， 所以22
2111
a b c a b c
++<
++. 22. 解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD DC =. ∵BC ⊥平面CDP ，∴BC PD ⊥. ∵CDP ∆为等腰直角三角形，CP AD >， ∴CD PD ⊥，PD DC =.∴PD ⊥平面ABCD .
建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -
.
设PD DC a ==，则(0,0,0)D 、(,0,0)A a 、(0,0,)P a 、(,,0)B a a 、(0,,)22
a a
E 、(0,,0)C a . ∴(,0,)AP a a =-、(,,0)DB a a =、(0,
,)22
a a
DE =、(0,,0)DC a =. （1）设平面BDE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则有110,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1
1110,022
ax ay a a
y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩. ∴111
1,
1,1x y z =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩，∴1(1,1,1)n =-.100AP n a a ⋅=-++=，∴1AP n ⊥， 又∵AP ⊄平面BDE ，∴AP ∥平面BDE .
（2）设平面CDE 的一个法向量为2(1,0,0)n =
.12cos ,n n ==，
∴二面角B DE C --。