7.序列相关问题

σ 2 Ω, 这 里 Ω 为 一 对 称 的 正 定 矩 阵 。
由 线 性 代 数 ， 存 在 一逆 可 矩 阵 D, 使 得 Ω DD 用 D - 1左 乘 模 型Y Xβ μ ，得 新 模 型 D - 1Y D - 1 Xβ D - 1 μ
令 Y D -1Y, X D -1 X, μ D -1 μ , 则 新 模 型 Y X β μ cov μ , μ cov D μ , D μ D cov , D
自相关产生的原因： （1）模型的数学模型不妥。所建立的数学模型与变
量间的真实关系不一致，误差项表现出自相关。
例 如 ： 边 际 成 本 与 产的 量函 数 关 系 式 为 ： Yt β0 β1 X t β2 X t2 μt 如 果 所 建 模 型 为 直 线式 形 ：Yt β0 β1 X t v t . 这 时 v t β2 X t2 μt 包 含 了 X t2 对 边 际 成 本 的 系 统 影 ， 响 vt 很 可 能 存 在 自 相 关 。
3 .样本容量一般要满 足 n 15.
另 ：由 D.W. 2 1 ρe 可 得一 阶自 相 关 系 数 ~， e ~ t t -1 D.W. ρ 1 2


3.拉格朗日乘数（Lagrange Mutiplier）检 验
LM检验（又称GB检验）主要是通过建立如下辅助 回归模型：
~ β β X β X β X e t 0 1 1,t 2 2,t k k,t ~ ~ ~ ρ1et 1 ρ2 et 2 ρ p et p εt
2 ~ ~ et et 1 t 2 2 ~ et t 2 n
n
平方项展开，化简为
D.W. 2 1 ρe 0， 4 ~， e ~ t t -1


据此判断得
ρ 与 D.W 的对应关系及意义
ρ 与 D.W 的对应关系及意义
=0 =1 = -1
0<<1
Yt β0 β1 X 1t βk X kt μt
Yt 1 β0 β1 X 1,t 1 βk X k,t 1 μt 1 Yt p β0 β1 X 1,t p βk X k,t p μt p ; 建立差分模型
cov μ1 , μn cov μ2 , μn 2 σn
1 2 ρ σ ρ n1
ρ 1 ρ
n 2
ρ n1 ρ n 2 2 σ Ω 1
0 1 ρ 2 ρ 1 ρ ρ 0 ρ 1 ρ2 1 1 可得 Ω 2 1 ρ 0 0 0 0 0 0 0 0 0
t
00
正序列相关
6 4 2 0 -2
~ e t
-4
-6
来自百度文库
t
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
负自相关的序列图
2.
~ 与e ~ 的散点图。 绘制 e t t -1
4
~ et
2
0
-2
-4 -4 -2 0 2
~ e t -1
4
(1)不存在序列相关性
6 4 2 0 -2 -4 -6 -6
2 2 2 k 1个 参 数 0，1， σ1 ,σ2 , , σ n 的 估 计 .还 有 , βk，
这是比较困难的。
实际当中是这样来处理的。
对模型中随机 误 差 项 序 列 相 关 的 形给 式出 一阶序列相关的假定 . 即 假设 序 列 相 关 的 形 式 为 μ ： t ρμt 1 εt
-1 -1 -1



-1

σ D DDD
2 -1
1
σ 2 I ， 同 方 差 ， 无 序 列 相 关
对新模型可以利用OLS
所以， 新 模 型 Y X β μ 中 -1 1 -1 -1 -1 ˆ X X Y X D D X D X D Y βOLS X

0
0 0 0 ρ 1 ρ2 ρ
0 0 1 ρ2 ρ 0
0 0 0 0 ρ 1
据此可得 D .
-1
2.广义差分法
假设原模型存在形式为 μt ρ1 μt 1 ρ2 μt 2 ρ p μt p εt 的 序 列 相 关 . 其 中 εt 为 满足 基 本 假 设 的 随 机 误项 差。
构造统计量 nR2 ~ χ 2 p; 在假设 ρ1 ρ2 ρp 0 成立时
S4.2.4 解决带有序列相关的线性模型 的参数估计问题
1.广义最小二乘方法（GLS） GLS是最普遍意义的最小二乘估计，在这种 意义下，OLS 和 WLS 都是GLS 的 特例。
GLS 本质上仍然是通过模型变换，得到 一个新的随机误差项满足无序列相关性的线性回 归模型。 具体如下：
检验方法:
1.图示检验法.
3
1.
~ 与 t 的散点图。 e t
2
1 0 -1 -2 -3
~ et
t
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
非自相关的序列图
4
~ et
2
0
-2
-4 10 20 30 40 50 60 70 80
t
90 100
正自相关的序列图
150 RESID 100 50 0 -50 -100 -150 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98
-1 < < 0
DW DW = 2 DW = 0 DW = 4
0 < DW < 2 2 < DW < 4
ut的表现 ut 非自相关 ut完全正自相关 ut完全负自相关
ut 有某种程度的正自相 关 ut 有某种程度的负自相 关
无法判定
正 自 相 关
0
负
无序列相关性
自 相 关
4
DW
dL
dU
2
4 - dU 4 - d L
(X
i 1
n
i
X)(Yi Y )
2
(X
i 1
n
i
X)
(Y
i 1
n
i
Y)
2
可得 ρe ~， e ~ t t -1 ~e ~ e t t -1
t 2 n 2 ~ et t 2 n

~e ~ e t t -1
t 2 n 2 ~ et t 1
n
D.W.
k 元 模 型 Y Xβ μ 若 存 在 序 列 相 关 性
2 σ1 cov μ1 , μ2 2 σ2 cov μ2 , μ1 cov μ, μ cov μ , μ cov μ , μ n 1 n 2
即
cov μ1 , μn cov μ2 , μn 2 σn
~ et
~ e t -1
-4 -2 0 2 4 6
(2)存在正序列相关性
6
4
2 0 -2
~ e t
-4
-6 -6 -4 -2 0 2 4
~ e t -1
6
(3)存在负序列相关性
2 . DW Durbin - Watson检 验 法 .
德 宾- 沃 森 检 验 法
n
~ 这是一种比较正式的验 检方法，它本质上是用 利e t 构 造 了 一 个DW 统 计 量 D.W. ~ e ~ 2 e t t 1
cov μ1 , μn σ 2 0 cov μ2 , μn 0 σ 2 ≠ 0 0 σ2
序列相关性又称自相关性（autocorrelation）。
若
cov μi , μi 1 0 ; i 1,2,, n - 1 即 cov μi , μi 1 Eμi μi 1 0 ;
t 2 2 ~ et t 2 n
虽 然 D.W.的 具 体 分 布 很 难 精 确 出 推，但两个人得 到 了 临 界 值 d L 和 dU 。
与 n 和 k有 关，显 著 性 水 平 0.05或 0.01。
~ 求出 D.W.的值。 通过近似残差 e t
由样本相关系数公式 ρ X,Y
参数的满足就可以得到未知矩阵由推导看出如果知道可得自回归模型即时间序列一阶序列相关的假定给出误差项序列相关的形式对模型中随机其中的序列相关假设原模型存在形式为作差分模型时会损失p个样本观测称为普通最小二乘估计估计量式进行得到的称为广义最小二乘估计
S4.2 序列相关性（serial correlation）
即 时 间 序 列ARP 自 回 归 模 型 1 2 可 得 D μt Dεt σ , 2 1- ρ 1 s s 2 cov μt , μt - s ρ Dεt ρ σ . 2 1- ρ
2 σ1 cov μ1 , μ2 2 σ2 cov μ2 , μ1 cov μ, μ cov μ , μ cov μ , μ n 1 n 1
4 .求得D.W,对照下表，做出判断。
无法判定
拒 绝H 0
接 受 H0
拒 绝H 0
DW
0
dL
dU
2
4 - dU 4 - d L
4
DW 检验
• 注意： 使用 DW 检验法应首先满足的三个条件 ：
1.误差项的自相关为 一阶自回归形式 μi ρμi -1 εi .
2.所 建 立 的 模 型 中 不 应 包含有滞后被解释变作 量 为解释变量。

-1

1


X D D X DD X X DD Y
X D D X
-1 -1 -1 1 -1 1 -1
Y
X Ω X
-1


1
X Ω - 1Y
以上是理论推导。
由推导看出，如果知矩 道 阵 Ω， 就 可 以 得 到 未 知 参数的满足 BLUE 性 质 的 估 计 。 但是，要知道 Ω ， 必 须 知 道Ω 中 的 n个 参 数
具 有 线 性 和 无 偏 性 ，不 但再 具 有 有 效 性 。
2
t 检验失效。
3预测不再精确可靠 失效。
S4.2.3序列相关性的检验
检验方法很多,但原理只有一个: ~ ~ e e 先利用 OLS 求出近似残差 i ,用 i 来代替无 ~ μ e 法测量的随机误差 t ,然后再分析诸残差 i 之间 的相关关系,以此判定模型是否存在序列相关性.
（2）惯性（inertia）。因为大多数经济时间 序列数据往往受滞后值的影响，如国民生产 总值、固定资产投资、国民消费、物价指数 等都随时间缓慢变化，突出特征是惯性和低 灵敏度。 （3）回归模型中漏掉了带有自相关的重要 解释变量。
S4.2.2 序列 相关带来的后果
1 当 μt
存 在 自 相 关 时 ， 模 型数 参 的 OLS 估 计 仍 然
DW 检验
1 .提 出 假 设 ， H 0 : ρ 0, 即 不 存 在 一 阶 自 相 关 即 存 在 一 阶 自 相 关 H 1 : ρ 0；
2 .构 造 统 计 量 D.W 3 .查 表 得 到 d L和d U .课 本 P 3 7 7 ~388页附表.
D.W检 验 的 方 法 步 骤 ：
S4.2.1 序列相关性定义
• 序列相关性；随机误差项不满足无序列相关性
即 cov μi , μ j ≠ 0 ; (i ≠j ).
(
)
用矩阵表示 σ2 cov μ1 , μ2 σ2 cov μ2 , μ1 协 方 差 矩 阵 cov μ, μ cov μn , μ1 cov μn , μ2 σ2 cov μ1 , μ2 σ2 cov μ2 , μ1 cov μn , μ1 cov μn , μ2 cov μ1 , μn cov μ2 , μn σ2 0 0 σ2
。 则 称 存 在 一 阶 序 列 相 关 一阶自相关
一阶自相关常常写成 μi ρμi -1 εi 的线性形式 。
ρ 称为自相关系数 ，ρ - 1， 1. 诸 εi 是满足假定的一切性质 的随机干扰项。
注意：
（1）经济问题中的自相关主要表现为正自相关。 （2）自相关多发生于时间序列数据。