高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1 求函数8
|3x |15
x 2x y 2-+--=
的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足
⎩⎨
⎧≠-+≥--②①
8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。

③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④
③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。

故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。

例2 求函数2
x
161
x sin y -+=的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足
⎩
⎨⎧>-≥②①0x 160
x sin 2
由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③
由②解得4x 4<<-
④
由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。

（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。

例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。

解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而
3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。

（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求
g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。

即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。

三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。

分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项
的系数是m ，所以应分m=0或0m ≠进行讨论。

解：当m=0时，函数的定义域为R ；
当0m ≠时，08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是
1
m 00)8m (m 4)m 6(0m 2
≤<⇒⎩⎨⎧≤+--=∆> 综上可知1m 0≤≤。

评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。

例6 已知函数3
kx 4kx 7
kx )x (f 2+++=
的定义域是R ，求实数k 的取值范围。

解：要使函数有意义，则必须3kx 4kx 2++≠0恒成立，因为)x (f 的定义域为R ，即
03kx 4kx 2=++无实数
①当k ≠0时，0k 34k 162<⨯-=∆恒成立，解得4
3k 0<<； ②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。

综上k 的取值范围是4
3k 0<
≤。

四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。

例7 将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函数的定义域。

解：设矩形一边为x ，则另一边长为
)x 2a (2
1
-于是可得矩形面积。

2x ax 21
)x 2a (21x y -=-⋅=
ax 2
1
x 2+-=。

由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
⎩⎨
⎧>->⇒⎪⎩⎪
⎨⎧>->0x 2a 0x 0)x 2a (2
10
x 2
a
x 0<<⇒。

故所求函数的解析式为ax 2
1
x y 2+
-=，定义域为（0，2a ）。

例8 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x ，
求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并求定义域。

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。

因为CD=AB=2x ，所以x CD π=⋂
，所以2
x
x 2L 2CD AB L AD π--=
--=
⋂
， 故2
x 2x x 2L x 2y 2
π+
π--⋅= Lx x )2
2(2+π
+-=
根据实际问题的意义知
2L x 002x
x 2L 0
x 2+π<<⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧>π--> 故函数的解析式为Lx x )2
2(y 2+π
+-=，定义域（0，2L +π）。

五、参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例9 已知)x (f 的定义域为［0，1］，求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。

解：因为)x (f 的定义域为［0，1］，即1x 0≤≤。

故函数)x (F 的定义域为下列不等式组的解集：
⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0，即⎩
⎨
⎧+≤≤-≤≤-a 1x a a
1x a 即两个区间［－a ，1－a ］与［a ，1+a ］的交集，比较两个区间左、右端点，知
（1）当0a 2
1
≤≤-
时，F （x ）的定义域为}a 1x a |x {+≤≤-； （2）当21
a 0≤≤时，F （x ）的定义域为}a 1x a |x {-≤≤；
（3）当21a >或2
1
a -<时，上述两区间的交集为空集，此时F （x ）不能构成函数。

六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。

因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。

例10 求函数)3x 2x (log y 22++-=的单调区间。

解：由03x 2x 2>++-，即03x 2x 2<--，解得3x 1<<-。

即函数y 的定义域为（－1，3）。

函数)3x 2x (log y 22++-=是由函数3x 2x t t log y 22++-==，复合而成的。

4)1x (3x 2x t 22+--=++-=，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t 在区间]1(，-∞上是增函数；在区间)1[∞+，上是减函数，而t log y 2=在其定义域上单调增；
3)[1)[1)31(]11(]1()31(，，，，，，，=∞+--=-∞- ，
所以函数)3x 2x (log y 2
2++-=在区间]11(，
-上是增函数，在区间)31[，上是减函数。

函数值域求法十一种
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数的值域。

解：∵
∴
显然函数的值域是： 例2. 求函数的值域。

解：∵
故函数的值域是： 2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数
的值域。

解：将函数配方得：
∵
由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时， 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法
例4. 求函数
的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程 （1）当时，
解得： （2）当y=1时，，而 故函数的值域为
例5. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：
（1） ∵
∴
x
1
y =
0x ≠0x 1≠),0()0,(+∞-∞ x 3y -=0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴]3,[-∞]2,1[x ,5x 2x y 2
-∈+-=4)1x (y 2
+-=]2,1[x -∈4y min =1x -=8y max =22x 1x x 1y +++=
0x )1y (x )1y (2=-+-1y ≠R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆23y 2
1≤
≤0x =⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡∈23,211⎥
⎦⎤⎢⎣⎡23,21)x 2(x x y -+=0y x )1y (2x 222=++-R x ∈0y 8)1y (42
≥-+=∆
解得：
但此时的函数的定义域由，得
由，仅保证关于x 的方程：
在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵
代入方程（1）
解得：
即当
时，
原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例6. 求函数值域。

解：由原函数式可得：
则其反函数为：
，其定义域为：
故所求函数的值域为：
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：
∵
21y 21+≤≤-0)x 2(x ≥-2x 0≤≤0≥∆0y x )1y (2x 222=++-0
≥∆⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡23,212x 0≤≤0
)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +
==∴]
2,0[2
2
222x 41∈-+=
22222x 41-+=
]21,0[+6x 54
x 3++3y 5y
64x --=
3x 5y 64y --=
53
x ≠
⎪
⎭⎫ ⎝⎛
∞-53,1e 1e y x
x +-=1
y 1y e x -+=
0e x
>
∴
解得：
故所求函数的值域为
例8. 求函数
的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：
即 ∵
∴
即 解得：
故函数的值域为 6. 函数单调性法 例9. 求函数的值域。

解：令 则在[2，10]上都是增函数 所以在[2，10]上是增函数 当x=2时，
当x=10时，
故所求函数的值域为：
例10. 求函数的值域。

解：原函数可化为：
令，显然在上为无上界的增函数 所以，在上也为无上界的增函数
01
y 1
y >-+1y 1<<-)1,1(-3x sin x
cos y -=
y 3x cos x sin y =-y 3)x (x sin 1y 2=β++1
y y 3)x (x sin 2+=
β+R x ∈]1,1[)x (x sin -∈β+1
1y y 312
≤+≤
-4
2y 42≤≤-
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡-42,42)10x 2(1x log 2y 35
x ≤≤-+=-1x log y ,2y 325
x 1-==-21y ,y 21y y y +=8112log 2y 33min =
-+=-339log 2y 3
5
max =+=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡33,811x 1x y --+=
1x 1x 2
y -++=
1x y ,1x y 21-=+=21y ,y ],1[+∞1y y =2y ],1[+∞
所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值 显然，故原函数的值域为 7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数的值域。

解：令，
则
∵
又，由二次函数的性质可知
当时， 当时， 故函数的值域为 例12. 求函数
的值域。

解：因 即
故可令 ∴
∵
故所求函数的值域为
例13. 求函数的值域。

解：原函数可变形为：
可令，则有
2
1y y y +=22
22
=0y >]2,0(1x x y -+=t 1x =-)0t (≥1t x 2
+=43
)21t (1t t y 22+
+=++=0t ≥0t =1y min =0t →+∞→y ),1[+∞2
)1x (12x y +-++=0)1x (12
≥+-1)1x (2
≤+],0[,cos 1x π∈ββ=+1
cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β=1
)4sin(2+π
+β=π≤π+
β≤π≤β≤45
40,02
11)4sin(201)4
sin(22+≤+π
+β≤∴≤π+β≤-
∴]21,0[+
1x 2x x x y 2
4
3++-=2
22x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯=β=tg x β=+-β=+22
22cos x 1x 1,2sin x 1x 2
当
时，
当时，
而此时有意义。

故所求函数的值域为 例14. 求函数，的值域。

解：
令，则
由
且
可得： ∴当时，
，当时，
故所求函数的值域为。

例15. 求函数的值域。

解：由
，可得 故可令
∵
当时， 当时，
故所求函数的值域为：
β
-=β⨯β-=∴4sin 41
2cos 2sin 21y 82k π-π=β41y max =
8
2k π+π=
β4
1y min -
=βtan ⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡-41,41)1x )(cos 1x (sin y ++=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡ππ-∈2,12x )1x )(cos 1x (sin y ++=1x cos x sin x cos x sin +++=t x cos x sin =+)
1t (21
x cos x sin 2-=2
2)1t (21
1t )1t (21y +=++-=)4/x sin(2x cos x sin t π+=
+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 2t 22
≤≤2t =
223y max +=
2
2
t =2
2
43y +=
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡++223
,22432
x 54x y -++=0x 52
≥-5|x |≤],0[,cos 5x π∈ββ=4
)4sin(10sin 54cos 5y +π
+β=β++β=π≤β≤04
544π
≤π+β≤π∴4/π=β104y max +=π=β54y min -=]104,54[+
-
8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例16. 求函数
的值域。

解：原函数可化简得： 上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），间的距离之和。

由上图可知，当点P 在线段AB 上时，
当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，
故所求函数的值域为： 例17. 求函数的值域。

解：原函数可变形为：
上式可看成x 轴上的点到两定点的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，
，
故所求函数的值域为
例18. 求函数的值域。

解：将函数变形为： 上式可
看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点到点的距离之差。

即： 由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有
2
2)8x ()2x (y ++-=|8x ||2x |y ++-=)8(B -10|AB ||8x ||2x |y ==++-=10|AB ||8x ||2x |y =>++-=],10[+∞5x 4x 13x 6x y 22
+++
+-=2
222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=)0,x (P )1,2(B ),2,3(A --43
)12()23(|AB |y 22min =+++==],43[+∞5
x 4x 13x 6x y 22++-+-=
2
222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=)1,2(B -)0,x (P |BP ||AP |y -='P 'ABP ∆26
)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-
即：
（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有
综上所述，可知函数的值域为：
注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。

如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），，在x 轴的同侧。

9. 不等式法
利用基本不等式
，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例19. 求函数
的值域。

解：原函数变形为：
当且仅当 即当
时，等号成立
故原函数的值域为：
例20. 求函数的值域。

解：
26y 26<<-26
|AB |||BP ||AP ||==-]26,26(-)1,2(--)1,2(-abc 3c b a ,ab 2b a 3
≥++≥+)R c ,b ,a (+∈4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 2
2-+++
=5
2x cot x tan 3x cot x tan 3x sec x ces 1x
cos 1x sin 1)x cos x (sin y 22322222222=+≥++=++=+
++=x cot x tan =4k x π
±
π=)z k (∈),5[+∞x 2sin x sin 2y =x cos x sin x sin 4y =x cos x sin 42=
当且仅当，即当时，等号成立。

由可得：
故原函数的值域为：
10. 一一映射法 原理：因为
在定义域上x 与y 是一一对应的。

故两个变
量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例21. 求函数的值域。

解：∵定义域为
由
得 故或
解得
故函数的值域为
11. 多种方法综合运用
例22. 求函数的值域。

解：令，则
（1）当时，
，当且仅当t=1，即时取等号，
所以 27
64
]3/)x sin 22x sin x [(sin 8)
x sin 22(x sin x sin 8x
cos x sin 16y 3
22222224=-++≤-==x sin 22x sin
22-=32x sin 2=2764
y 2≤938y 938≤≤-⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-938,938)0c (d cx b ax y ≠++=1x 2x
31y +-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<21x 21x |x 或1x 2x 31y +-=3y 2y 1x +-=213y 2y 1x ->+-=213y 2y 1x -<+-=23y 23y ->-<或⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-∞-,2323, 3
x 2x y ++=)0t (2x t ≥+=1t 3x 2+=+0t >21t 1t 11t t y 2≤+=+=1x -=21
y 0≤<
（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法
例23. 求函数
的值域。

解：
令，则
∴当时，
当时，
此时
都存在，故函数的值域为 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0424
32x x 21x x x 2x 1y ++++-+=423
4242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-=2222x 1x x 1x 1++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2tan x β=β=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2222cos x 1x 1β=+sin 21x 1x 21sin 21sin sin 21cos y 22+β+β-=β+β=∴161741sin 2
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-β-=41sin =β1617y max =1sin -=β2y min -=2tan β⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1617,2βsin。