广东省湛江一中2010--2011学年度第二学期期中考试高二级理科数学试卷

广东省湛江一中2010—2011学年度第二学期期中考试
高二级理科数学试卷
考试时间：120分钟，满分：150分 命题人：
一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.请把答案填写在答题卷中）.
1．复数
1
2i -+的虚部是（ ） A ．15- B ．15i - C ．15 D ．15
i
2．已知函数,93)(2
3-++=x ax x x f 3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．曲线3
x y =与直线x y =所围成的平面图形的面积是（ ）
A ．
⎰
--1
1
3)(dx x x B ．
⎰
--1
1
3)(dx x x C ．130
2()x x dx -⎰ D ．0
31
2()x x dx --⎰
4．设曲线2
ax y =在点(1,)a 处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）
A ．1
B ．
12
C ．1
2
-
D ．1- 5．设x x f cos )(= ，1()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()()n n f x f x n N *
-'=∈ 则2011()f x =（ ）
A ．x cos
B ． x sin -
C ．x cos -
D ．x sin
6．下列四个函数中，图像如右图所示的只能是（ ） A ．x x y lg +=. B ．x x y lg -=. C ．x x y lg +-=. D ． x x y lg --=.
7．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，……这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如下图）
则第七个三角形数是( ) A ．27
B ．28
C ．29
D ．30
8．若()ln(2)f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A. [1,)+∞ B. (1,)+∞ C. (,1]-∞ D. (,1)-∞
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）.
9．若复数2
(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为
1 3 6 10 15 ……
10．直线1
2
y x b =
+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b = 11
．根据定积分的几何意义，计算
=⎰
12．半径为r 的圆的面积2
()S r r π=,周长()2C r r π=，若将r 看作(0,)+∞上的变量，则
2()2r r ππ'=①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R 的球，若将R 看作(0,)+∞上的变量，
请你写出类似于①的式子： ② ②式可以用语言叙述为： 13．．如图，函数()2
1()5
g x f x x =+的图象在点P 处的切线方程是 8+-=x y ，则)5()5(f f '+= ．
14．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝;则第n 件首饰所用珠宝总数为__________________________颗.(结果用n 表示)
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分） 已知函数3
2
()f x x bx cx d =+++的图象过点(0,2)P ，且在点(1,(1))M f --处的切线方程为076=+-y x . 求函数)(x f y =的解析式
图1 图2
图3
16．（本小题满分12分）
已知函数3
2
()39f x x x x a =-+++ （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；
（Ⅱ）若()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 17．（本小题满分14分）
求抛物线2
43y x x =-+-及在点(0,3)-，(3,0)处的切线所围成的面积.
18．（本小题满分14分）
一种计算装置，有一数据入口A 和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A 口输入
自然数1时，从B 口得到
13 ，记为1
(1)3
f =；②当从A 口输入自然数(2)n n ≥时，在B 口得到的结果()f n 是前一个结果(1)f n -的2(1)1
2(1)3
n n ---+倍.
（Ⅰ）当从A 口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B 口分别得到什么数？ （Ⅱ）试猜想()f n 的关系式，并证明你的结论.
19．（本小题满分14分）
某旅游用品商店经销某种广州亚运会记念品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向税务部门上交a 元（36a ≤≤）的税收，预计当每件产品的售价为x 元（1116x ≤≤）时，一年的销售量为2
(18)x -万件.
（Ⅰ）求该商店一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该商店一年的利润L 最大，并求出L 的最大值)(a Q .
20．（本小题满分14分）
已知x
x
x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=
∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （Ⅰ）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，()()f x xg x >;
（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.
高二级理科数学期中考试试卷参考答案
一、选择题答题卡（共8个小题，每小题5分，共40分）。

9．2a = 10. ln21- 11. π
12.
3
2443
R R ππ'（）＝ “球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

”
13. 5- 14. 66 2
2n n -
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过(0,2)P ，知2d =，
所以,2)(2
3
+++=cx bx x x f ………………3分
2()32.f x x bx c '=++……………………………5分
由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，
知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即 ………………………8分
326,23,
3.12 1.0,b c b c b c b c b c -+=-=⎧⎧∴==-⎨⎨-+-+=-=⎩⎩即解得
………………11分 故所求的解析式是 .233)(2
3
+--=x x x x f ………………12分 16．（本小题满分12分）
解：（I ） ()f x '＝－3x 2＋6x ＋9．………………………1分
令()0f x '<，解得x <－1或x >3，……………………3分
所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1）和（3，＋∞）．…………5分 （II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，
f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， 所以f (2)>f (－2)．……………………7分 因为在（－1，3）上()0f x '>，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增， 又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，
因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，………………10分 于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．
故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．………………………………12分 17．（本小题满分14分）
解：依题意得∴+-=',42x y 在点(0,3)-处的切线是:34y x += 即：43y x =- 在点(3,0)处的切线是：2(3)y x =-- 即：26y x =-+ ……………………5 分
解方程组4326
y x y x =-⎧⎨=-+⎩得两切线的交点为)3,23( …………………………7 分
3
3
2
2230
2
[43(43)[62(43)]S x x x dx x x x dx =---+-+---+-⎰⎰……………………10分
33
22230
2
(69)x dx x x dx =+-+⎰⎰ ……………………11分
33233119
(39)23334
02
x x x x =+-+= …………………………14分 18．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知得()()()23
12,21n f n f n n n N n *-=
-≥∈+ ……1分
当2n =时，()()43111
21415315f f -=⨯=⨯=+， ……2分
同理可得()()11
3,43563
f f == ………………………… 4分
（Ⅱ）猜想()()()
1
2121f n n n =-+ …………7分
下面用数学归纳法证明()()()
1
2121f n n n =
-+成立
①当1n =时，由已知可知()()()
1
2121f n n n =
-+成立 ……8分
②假设()
1,n k k k N *=≥∈时，猜想成立，即()()()
1
2121f k k k =-+ …………9分
那么当1n k =+时，()()()()
21211
123232121k k f k f k k k k k --+==⋅++-+……………12分
即()()()1
1211211f k k k +=
+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
∴当1n k =+时，()()()
1
2121f n n n =
-+也成立 ………………13分
综合①②所述，对n N *
∀∈ ，()()()
1
2121f n n n =
-+成立。

…………14分
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）商店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为：2
(3)(18)L x a x =---，
[11, 16]x ∈.（无定义域扣1分） ……………………6分
（Ⅱ）2
(3)(18)L x a x =---＝2
2
(18)(3)(18)x x a x --+-
2()(18)2(18)2(3)(18)(18)(2423)L x x x x a x x a x '=---++-=-+-.
令0='L 得2
83
x a =+
或18x =(不合题意，舍去). ∵36a ≤≤， ∴2
108123
a ≤+
≤. …………………………8分 所以（1）当2
108113a ≤+
<，即2
93<≤a 时，()0L x '<，函数L 在[11, 16]是减函数∴max (11)49(8)49(8)L L a a ==-=-. ……………………10分
（2）当2
118123
a ≤+
≤即962a ≤≤时，则有
当21183x a ≤<+
时，()0L x '>；当2
8163
a x +<≤时，()0L x '< ∴23max 2221
(8)(83)[18(8)]4(5)3333L L a a a a a =+=+---+=-， ………………12分
所以=)(a Q 39
49(8),32
19
4(5),632
a a a a ⎧
-≤≤
⎪⎪
⎨
⎪-≤≤⎪⎩
. …………………………13分
答：若2
9
3<
≤a ，则当每件售价为11元时，商店一年的利润L 最大，最大值()49(8)Q a a =-(万元)；若
962a ≤≤，则当每件售价为2
(8)3
a +元时，商店一年的利润L 最大，最大值3
1()4(5)3
Q a a =-(万元). …………………………14分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） x x x f ln )(-=，x
x x x f 1
11)(-=
-
=' ……1分 ∴当10<<x 时，/
()0f x <， ()f x 单调递减区间为()0,1
当e x <<1时，/
()0f x >，此时()f x 单调递增区间为()1,e ……3分
∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分 （Ⅱ）令()()()2ln h x f x xg x x x =-=-，2
()x h x x
-'=
， ……6分 当02x <<时，()0h x '<，()h x 在(0,2)上单调递减 当2x e <<时，0)(>'x h ，()h x 在(2,)e 上单调递增
∴min ()(2)22ln 2h x h ==- ……8分
min ()22ln 20h x =->，()0h x ∴>
∴在（1）的条件下，()()f x xg x > ……9分 （Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，
/1()f x a x =-
x
ax 1-= ……10分 ① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e
a 4
=
（舍去），
所以，此时)(x f 无最小值. ……11分 ②当e a <<
10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1
(e a
上单调递增 3ln 1)1
()(min =+==a a
f x f ，2e a =，满足条件. ……12分
③ 当
e a ≥1时，)(x
f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e
a 4
=（舍去）
，所以，此时)(x f 无最小值. ……13分 综上，存在实数2
e a =，使得当],0(e x ∈时()
f x 有最小值3. ……14分。